初中数学人教版（2024）九年级上册25.2 用列举法求概率精品课后复习题

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（一）学习目标：
1.掌握用列表法求简单事件概率的方法。
2.渗透数学建模的思想方法，感知数学的应用价值。
3.培养学生有条理的思考并增强数学的应用意识。
（二）学习重难点：
学习重点：用列举法求概率
学习难点：掌握用列表法求简单事件概率的方法
基础梳理
阅读课本，识记知识：
(1)直接列举法：求简单随机事件的概率，容易得到所有等可能的结果总数n和事件A包含的结果数m，可直接套用公式 求出其概率.例如：抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率是，用符号表示就是P(正面)
(2)用列表法求概率：
列表法是指用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
(3)用树状(形)图法求概率：
树状（形）图法是指用树状（形）图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
①树状（形）图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题.
②在求可能事件的概率用列表法或画树状（形）图法时，应注意各种情况出现的可能性务必相同
③在列表或画树状（形）图求概率时，各种情况出现的可能性不能重复，也不能遗漏。
典例探究
【例1】 七年级一班同学组织了元旦联欢会，文艺委员准备在“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目中选择两个，则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目分别用A、B、C、D表示，画出树状图如下;
共有12种等可能的情况数，其中她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的有2种，
则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为．
故选：B
【例2】 枣庄某中学联谊会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小亮同学同时转动A盘和B盘，他赢得游戏的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．列出表格，得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得．
【详解】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，
∴B盘中红色扇形区域所占的圆心角是，相当于2个蓝色部分，
列出表格如下：
由表可知，一共有9种情况，
∵红色和蓝色可配成紫色，转到红色和蓝色的情况有3种，
∴他赢得游戏的概率，
故选：C．
达标测试
选择题
1．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数字所在的扇形区域上的机会是相等的，那么两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查列表法求解概率，熟练掌握列表法求解概率是解题的关键；由题意可列出表格，然后概率可求解．
【详解】解：由题意可得如表所示：
∴两个指针落在圆盘上的区域一共有25种情况，其中两个指针同时落在偶数所在的区域有6种情况，
∴两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上的概率是；
故选B．
2．一个不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“2”、“”，除数外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录上面的数后放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录上面的数，那么两次记录的数之和为0的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了概率的知识，熟练掌握树状图法求解概率是解题的关键．
结合题意，根据树状图求概率，即可得到答案．
【详解】如图，总共有四种等可能结果，其中两次记录的数之和为0的情况有两种，

两次记录的数之和为0的概率是：
故选：A
3．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》（如图），它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和画树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键；
用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可；
【详解】记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为，，画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》(即)和《大学》(即)的可能结果有2种可能，
∴(抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果，
故选：A．
4．口袋里装有五个大小形状都相同，所标数字不同的小球，小球所标的数字分别是，，，2，3，先随机抽取一个球得到的数字记为k，放回后再抽一个球得到的数字记为b，则满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了一次函数的性质．画树状图，共有25个等可能的结果，满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的结果有6个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
当时，不经过第四象限，
即当时，不经过第四象限，
画树状图如图：
共有25个等可能的结果，满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的结果有6个，
∴满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率为，
故选：D．
5．盒玩的贩售方式是将一款玩具装在盒子中贩卖，购买者只能从外盒知道购买的是哪一系列玩具，但无法知道是系列中的哪一款，图1、图2分别为动物系列，汽车系列盒玩中所有可能出现的款式．
已知小友喜欢图1中的款、款，喜欢图2中的款，若他打算购买图1的盒玩一盒，且他买到图1中每款玩具的机会相等；他也打算购买图2的盒玩一盒，且他买到图2中每款玩具的机会相等，则他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的概率为何（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表知，共有30种等可能结果，其中他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的有2种结果，
所以他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的概率为，
故选：A．
6．欣欣快餐店备有6种价格不同的菜，每份价格（元）分别为1，2，3，4，5，6．若某人任选两种不同价格的菜各一份，两种菜的价格和超过6元的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表知，共有种等可能结果，其中两种菜的价格和超过元的有种，
所以两种菜的价格和超过元的概率为，
故选：B．
7．有A，B两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“细”“冷”的字样，B袋中的两只球上分别写了“静”、“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了列表法与树状图法, 画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出能组成”细心“字样的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中能组成“细心”字样的结果数为1，
所以刚好能组成“细心”字样的概率．
故选：B．
8．年月，河南省将设立所高校的消息备受关注．现有张卡片，正面分别写有代表新建高校位置的汉字——“南阳”“濮阳”“商丘”“周口”，它们除此之外完全相同，把这张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面汉字均含汉字“阳”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了列表法与树状图法，先画树状图所有种等可能的结果数，找出这两张卡片正面汉字均含汉字“阳”的结果数，然后根据概率公式求解，解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
【详解】如图，

画树状图所有种等可能的结果数，两张卡片正面汉字均含汉字“阳”的结果数有种，
∴两张卡片正面汉字均含汉字“阳”的概率是，
故选：．
9．用两个转盘设计一个“配紫色”的游戏，则获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：红色和蓝色组合即可得出紫色，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况数，其中红色和蓝色组合的有3种，
获胜的概率为．
故选：C
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
B．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．拋掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
【答案】A
【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．
【详解】A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故A符合题意；
B．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故B不符合题意；
C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；
D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，列表法与树状图法，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
填空题
11．有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字都是奇数的概率为
【答案】/
【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．列表法展示所有36种等可能的结果数，再找出两次抽取的数字都是奇数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：列表如下：
共有36种等可能的结果数，其中两次抽取的数字都是奇数的结果数为9，
所以随机抽取一张，两次抽取的数字都是奇数的概率．
故答案为：．
12．将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率．根据题意依次列举出可能出现的情况即可算出本题答案．
【详解】解：根据题意将情况一一列举出来，如图所示：
设：两次摸出的球上的汉字组成“强国”的事件为A，
共有12种等可能的结果，其中事件A发生有2种结果，
∴，
故答案为：．
13．有三张完全一样的卡片，正面分别标有数字，1，2，将其背面朝上洗匀，从中抽出一张记为P点的横坐标x，放回后洗匀，再从中抽出一张记为P点的纵坐标y，则点在第一象限的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中点在第一象限的有4种结果，
所以点在第一象限的概率为．
故答案为：
14．一个口袋中装有两个红球，一个白球，从口袋中随机摸出两球．若规定：是同一颜色，甲获胜；不是同一颜色，乙获胜，则可知甲、乙两人中 获胜的机会大．
【答案】乙
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：画出树状图如图：
，
共有6种等可能出现的结果，其中摸出的两球是同一颜色的结果有2种，不同颜色的结果有4种，
甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
，
甲、乙两人中乙获胜的机会大，
故答案为：乙．
15．有四张正面分别标有数字，1的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为，放回后洗匀，再从中抽一张，将该卡片上的数字记作b．
（1），b的和不小于的概率是 ；
（2）若，b使得二次函数，当1时y随x的增大而减小，且一元二次方程有解的概率为
【答案】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式：
（1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到，b的和不小于的结果数，最后依据概率计算公式求解即可；
（2）先求出二次函数对称轴，再根据开口向上的函数在对称轴左侧y随x的增大而减小推出，利用根的判别式和一元二次方程的定义得到且，由此可得a只能取或1，再求出a取和1时，符合条件的b的值，即可利用概率计算公式求出答案．
【详解】解：（1）画树状图如下：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中，b的和不小于的结果数有10种，
∴，b的和不小于的概率为，
故答案为：；
（2）∵二次函数对称轴为直线，且函数开口向上，
∴当时y随x的增大而减小，则，
∴；
∵一元二次方程有解，
∴，
∴且，
综上所述，，，不等于，
由题意得a只能取或1，
当时，，则b可以取，1；
当时，，则b可以取；
∴满足题意的情况数一共有5种，
由（1）可知一共有16种情况，
∴，b使得二次函数，当1时y随x的增大而减小，且一元二次方程有解的概率为，
故答案为：．
三、解答题
16．为培养学生的阅读兴趣，某中学在世界读书日当天组织读书会，学生们在读书会上可以分享自己最喜欢读的书．小颖最喜欢读的四本书为《西游记》、《三国演义》、《钢铁是怎样炼成的》、《爱的教育》，假设小颖分享每本书的可能性相同．
(1)若选择其中一本书进行分享，求小颖分享《爱的教育》的概率；
(2)若选择其中两本书进行分享，求小颖分享的两本书分别为《西游记》和《爱的教育》的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可，即．
（1）根据共4本书，其中《爱的教育》即可求解；
（2）画出表格，用符合题意的结果数除以所有等可能得结果数即可．
【详解】（1）P（小颖分享《爱的教育》）；
（2）《西游记》、《三国演义》、《钢铁是怎样炼成的》、《爱的教育》分别记为A、B、C、D，
根据题意列表如下：
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中小颖分享图书A和D的结果有2种，
（小颖分享的两本书分别为《西游记》和《爱的教育》）．
17．月日卡塔尔世界杯闭幕小明搜集到三张如图所示的不透明的卡片，正面图案分别是吉祥物，足球和大力神杯，依次记为、、，卡片除正面图不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀小明从中随机抽取一张，记录图案放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张用画树状图或列表的方法，求小明两次抽到图案不相同的概率．

【答案】
【分析】本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，利用列表法或树状图法列举出两次抽到图案的所有可能结果，从中找出两次抽到图案不相同的可能情况，再利用等可能事件的概率公式求出即可．熟悉列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键，注意本题是放回抽图案．
【详解】解：画树状图如下：

从树状图中可知，一共有种等可能的结果，其中两次抽到图案不相同的结果数有种可能，
两次抽到图案不相同．
18．近期沈阳鸡架被推上热搜，成为了沈阳城的“特色食品”，为了迎接“新年购物节”，方便外地游客品尝沈阳鸡架，政府临时创建了鸡架美食广场，里面有最有名的老迟家（A）、玖福记（B）、老四季（C）三家鸡架，小明和小颖每人想随机选一个品尝（选择每种鸡架的机会是相同的），请用树状图或列表法求至少有一人选到老四季（C）鸡架的概率．
【答案】
【分析】本题主要考查了画树状图法求概率，熟练掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
画树状图得出所有等可能的结果数以及至少有一人选到老四季（C）鸡架的结果数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中至少有一人选到老四季（C）鸡架的结果有：，共有5种，
∴至少有一人选到老四季（C）鸡架的概率为．
自学反思
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
A盘
B盘
黄
红
蓝
蓝
（蓝，黄）
（蓝，红）
（蓝，蓝）
红
（红，黄）
（红，红）
（红，蓝）
红
（红，黄）
（红，红）
（红，蓝）
1
2
3
4
5
2
3
4
6
7
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
A
B
C
D
A
B
C
D