初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）综合与实践 进位制的认识与探究精品课后复习题

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专题2.4 综合与实践：进位制的认识与探究
课节学习目标
1.各进位制表示数的方法。
2.掌握不同进位制间的转化方法。
3.学习进位制的判断。
4.学习运用进位制的转化进行算式的简化计算。
课节知识点解读
进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n位制，对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0−（n-1）进行计数，特点是逢n进一，现在我们通常使用的是十进位制（十进位制不用标角标，其他要标角标）
一、数的进制及其表示方法
1. 十进制
我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。
我们知道十进制数写成展开式的形式为：
例如：234=2×102+3×101+4×100
2. 二进制
在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、、、、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：
。
3. k进制
一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，…，共k个数码组成，且“逢k进一”。进位制计数单位是，，，……。如二进位制的计数单位是，，，……，八进位制的计数单位是，，，……。
4. k进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式
；
十进制表示形式：；
二进制表示形式：；
为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k，表示是k进位制的数。
如：，，,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数。
二、进制间的转换
1. 进制数转化成与其相等的十进制数方法：
各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的相应正整数次幂，然后将这些乘积相加，就可以得到与其相等的十进制数。
（1）将七进制数转化成十进制数举例
（2）化为十进制是多少？
。
（3）化为十进制是多少？
。
2. 十进位制转化为与其相等的进位制方法
将十进位制数化成与其相等的七进制数，用十进制的数除以7，然后将商继续除以7，知道商为1，将所得的余数按照倒序从低位到高位排序即可，如：
方法总结：一般地，十进制整数化为k进制数的方法是：除以k取余数，一直除到被除数小于k为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数。反过来，k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果。
三、k进制的四则混合运算和十进制一样
二进制的四则运算的与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一。
二进制的四则运算规则如下：
加法：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10
减法：0-0=0，1-0=1，1-1=0，（同一个数位不够减时，向高一位借1当2）
先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意非零自然数n,我们有。
四、进位制的判断
探究过程：
提问1：k进制数化为十进制数的一般方法是什么？
首先将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果。
提问2：虽然不知道1030是几进制数，但是可以先把它按照n的次幂展开，展开结果是多少？
。
提问3：我们还知道它转化为十进制数是140，接下来怎么做？
，可以把140分解质因数为，因为1030中最大的数字是3，所以n不可能等于2，且n不超过10，依次把4、5、7带入n中，只有5符合。
探究结论：已知一个k进制数转化为十进制数的结果，判断它是几进制时，先把它按k的次幂形式展开，根据它和转化后的十进制数相等，判断k的取值，最后把k的可能值带入计算得出最终结果。
重点方法总结：
1. k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果。
2. 做k进制混合运算时，可以先把k进制数转化为十进制数进行计算，最后把结果再转化为k进制数。
3. 已知一个k进制数转化为十进制数的结果，判断它是几进制时，先把它按k的次幂形式展开，根据它和转化后的十进制数相等，判断k的取值，最后把k的可能值带入计算得出
课节知识点例题讲析
【例题1】如果一个十进位制两位数，交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数，如果原数减去新数所得的差为18，那么我们称这样的数为“青春数”，问是否存在这样的“青春数”使得该数转化为六进制数是一个各数位上的数字全是都为a的三位数？若存在，请求出这样的“青春数”；若不存在，请说明理由
【答案】见解析
【解析】存在.根据题意
因为43a是一个十进制的两位数，所以a=1或a=2，当a=1时，
原数为43，新数为34，则43-34=9≠18，不是“青春数”，不符合题意；当a=2时，原数为86，新数为68，86-68=18，是“青春数”，符合题意.所以这样的“青春数”存在，这个“青春数”是86.
【例题2】将十进制数22转化成二进制数是多少？
【答案】
【解析】将十进位制数化成与其相等的二进制数，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，知道商为1，将所得的余数按照倒序从低位到高位排序即可，如：
【例题3】在几进制中，2224化成十进制是520？
【答案】6
【解析】，4＜n＜10，。
【例题4】在几进制中有125×125＝16324？
【答案】7
【解析】如果125是在十进制中，那125×125的结果是多少？
125×125=15625。
根据16324和15625这两个结果，大家可以得到一个什么信息？
假设这个算式在k进制中，因为15625＜16324，说明k小于10；并且个位上的5×5=25，而得数的个位是4，说明在k进制中，向前进位为21，则k是21的约数。
21的约数有几个？分别是几？
一个数的约数个数的求法：首先对这个数分解质因数，然后每个质因数的指数加1再连乘。
首先对21分解质因数，21=3×7，则它的约数个数是(1+1)×(1+1)=4，它的约数分别是1、3、7、21。
k是几？
因为6＜k＜10，所以k=7。经过验证，在七进制中125×125=16324。
【例题5】若×＝，那么n的取值是多少？
【答案】7
【解析】在十进制中，132×132=17424,所以5＜n＜10；末尾2×2=4，得数的末尾也是4，所以判断不了n是哪一个的约数；从右往左第二位，写出乘法算式后可知第二位是6+6=12，但是得数的第二位是5，说明向前进位为7，则n是7的约数，因为5＜n＜10，所以n=7，经检验在七进制中，132×132=21054。
综合与实践问题训练
1．完成谢列填空
（1）在八进制中， ；
（2）在九进制中， 。
【答案】（1） 234 （2）4438
【解析】根据题意，应先把各个数转化成用十进制表示的数并计算即可。
（1）原式；
原式。
【点睛】熟练掌握把各个进位制的数转化成用十进制表示的数，是解答此题的关键。
2．填空。
（1） ；
（2） ；
【答案】（1） （2）
【解析】（1）可转化成十进制来计算；如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对进行除法计算，只是每次借位都是2，可得；
（2）十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在进制中也有“凑整法”，要凑的就是整。
【详解】（1）；
（2）
【点睛】熟练掌握十进制与各个进位制之间的转化方法，是解答此题的关键。
3．在下面16个6之间添上+、﹣、×、÷ ，使下面的算式成立：
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6=1997．
【答案】6×（ 6×6×6+6×6+6×6+6×6+6）+6+6+6﹣6÷6
【解析】根据题干，先用算式中前面一些6凑出一个比较接近1997的数，可将上面16个6这样连接，6×（6的3次方+108+6）+18﹣1，接着6的三次方=216，括号里的值为330，再乘上一个6=1980，最后加上17等于最终答案．
解答：根据题干可得：
6×（ 6×6×6+6×6+6×6+6×6+6）+6+6+6﹣6÷6，
=6×（216+36+36+36+6）+18﹣1，
=6×330+17，
=1980+17，
=1997，
答：在16个6之间添上+、﹣×、÷为6×（ 6×6×6+6×6+6×6+6×6+6）+6+6+6﹣6÷6，可以使等式成立．
点评：利用加减乘除法的意义，合理的运用四则混合运算的顺序即可解决问题．
4．一个自然数周游列国，它在七进制王国叫，在九进制王国叫，在八进制王国用数字表示，叫（ ）。（注∶相同的符号表示相同的数字，不同的符号表示不同的数字）
【答案】370
【解析】将七进制下的数和九进制下的数都转化成十进制后，二者相等，再确定□、△、○的值，再将其转化成八进制。
【详解】设七进制下的数是，那么九进制下的数是；
由于首位不能为0，且不能大于6，只有当，，时成立；
十进制下是248；
所以八进制下这个数是370。
【点睛】本题考查的是进制问题，倒取余数法是将十进制转化成其它进制的重要方法。
5．在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的。如果十进制中的147在20进制中的读音是“seyth ha seyth ugens”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens”，那么20进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数 。
【答案】182
【解析】根据二十进制数与十进制数之间的对应关系，据此可知，，，所以ha代表十位，ugens代表个位，dew代表9，naw代表2。，所以，20进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数是182。
【详解】
所以，20进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数是182。
【点睛】正确理解“不同的进制数与十进制数的对应关系”，是解答此题的关键。
6．记四位数为，由它的四个数字a，b，c，d组成的最小的四位数记为，如果，那么这样的四位数共有 个。
【答案】48
【解析】由a，b，c，d组成的最小值加上（1000－1）就为abcd这个数，（1000－1）只会改变a、d，只要d比a大1就会成立。
例如：2bc1－1bc2＝999 3bc2－2bc3＝999，共八组。
以a＝4，b＝3为例，有3004，3034，3044，3334，3344，3444这六个数，根据乘法原理，有8×6＝48种。
【详解】由，得到；
所以如果、、、组成的四位数末位数字不是0，那么等于将的千位数字加1，个位数字减1，反过来等于的千位数字减1，个位数字加1，所以为，与比较，和位置没有换，交换的是和，表示为，可以得到等式，即。所以和的取值组合，只有2和1，3和2，……，9和8，共8种情况。
对于其中任意一种组合，由于是由四个数字组成的最小的四位数，分别考虑、中有0的情况（可能两个都为0；若只有一个0，则，）；以及、都不为0的情况（此时），可知两种情况下各有3种可能，共6种可能：，，，，，。比如以，为例，可能的取值有3004，3034，3044，3334，3344，34444这6个数。根据乘法原理，满足条件的四位数一共有种。
如果、、、组成的最小的四位数末位数字是0，显然的百位、十位都是0，此时、、、无法组成其它的四位数，不合题意。
由于每一个对应一个，所以满足条件的四位数共有48个。
【点睛】此题难度较大，重在考查学生的分析推理能力。
7．某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几？
【答案】5
【分析】先将三进制数转化为十进制数，可以用每个数位上的数字乘对应的权重，累加后得出十进制，再根据“除K取余法”，降十进制数除以9，返回商继续除以9．直到商为0，然后将依次所得的余数，倒序排列即可得到答案。
【详解】（12120120110110121121）3
＝1×319＋2×318＋1×317＋2×316＋0×315＋1×314＋2×313＋0×312＋1×311＋1×310＋0×39＋1×38＋1×37＋0×36＋1×35＋2×34＋1×33＋1×32＋2×31＋1×30
＝1162261467＋774840978＋129140163＋86093442＋0＋4782969＋3188646＋0＋177147＋59049＋0＋6561＋2187＋0＋243＋162＋27＋9＋6＋1
＝（2160553057）10
2160553057÷9＝240061450……7
240061450÷9＝26673494……4
26673494÷9＝2963721……5
2963721÷9＝329302……3
329302÷9＝36589……1
36589÷9＝4065……4
4065÷9＝451……6
451÷9＝50……1
50÷9＝5……5
5÷9＝0……5
所以（2160553057）10＝（5516413547）9
所有：改写为九进制，其从左向右数第1位数字是5。
【点睛】本题考查的知识点是不同进制之间的转换，其中其它进制转为十进制方法均为累加数字×权重，十进制转换为其它进制均采用除K求余法。