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    2024-2025学年人教版初中数学七年级上册专题4.1 整式(解析版+原卷版)

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    人教版(2024)七年级上册(2024)4.1 整式精品同步练习题

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    这是一份人教版(2024)七年级上册(2024)4.1 整式精品同步练习题,文件包含专题41整式原卷版doc、专题41整式解析版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共9页, 欢迎下载使用。
    专题4.1 整式
    课节学习目标
    1.理解单项式及单项式系数、次数的概念;能用单项式表示具体问题中的数量关系。
    2.理解多项式的概念;
    3.能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数;
    4.能正确区分单项式和多项式.
    课节知识点解读
    知识点1. 单项式
    1. 整式的概念:单项式与多项式统称整式。
    2. 单项式的相关概念
    (1)单项式概念:由数或字母的积组成的代数式叫单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.
    注意:在代数式中,只含有乘法(包括乘方)运算,或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式(单项式中“只含乘除,不含加减”).
    (2)单项式的系数概念:单项式中的数字因数,叫做这个单项式的系数.
    (3)单项式的次数概念:一个单项式中,系数不为零时,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
    3. 确定单项式的系数及次数时,应注意:
    (1)圆周率π是常数;
    (2)当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写;
    (3)省略1的字母指数别漏掉;
    (4)单项式次数只与字母指数有关,单独一个非0数字的次数是0.
    (5)单项式的系数是带分数时,通常写成假分数.
    (6)一个单项式是一个常数时,它的系数就是它本身。
    知识点2. 理解多项式有关概念
    1.多项式:几个单项式的和叫做多项式.
    (1)多项式的项:多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
    (2)常数项:不含字母的项叫做常数项.
    (3)多项式的次数:多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数.
    2. 多项式应用
    用式子表示实际问题的数量关系时,首先要分清语言叙述中关键词的含义,理清它们之间的数量关系和运算顺序.
    课节知识点例题讲析
    考点1. 确定单项式
    【例题1】已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是( )
    A. ﹣2xy2 B. 3x2 C. 2xy3 D. 2x3
    【答案】D.
    【解析】单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。2x3符合。
    【例题2】下列说法中,正确的是( )
    A. ﹣x2的系数是 B.πa2的系数是
    C. 3ab2的系数是3a D. xy2的系数是
    【答案】D.
    【解析】本题考查了单项式的知识,单项式中的数字因数叫做单项式的系数,一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数.2根据单项式的概念求解.
    A.﹣x2的系数是﹣,故本选项错误;
    B.πa2的系数是π,故本选项错误;
    C.3ab2的系数是3,故本选项错误;
    D.xy2的系数,故本选项正确.
    【例题3】单项式﹣x2y3的次数是 .
    【答案】5.
    【解析】一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
    x 次数是2 ,y 的次数是3 ,所有字母次数之和为5。
    【例题4】按一定规律排列的单项式:x3,-x5,x7,-x9,x11,……第n个单项式是( )
    A.(-1)n-1x2n-1 B.(-1)nx2n-1 C.(-1)n-1x2n+1 D.(-1)nx2n+1
    【答案】C
    【解析】观察可知奇数项系数为正,偶数项为负,除符号外,底数均为x,指数比所在项序数的2倍多1。
    ∴可以用或,(为大于等于1的整数)来控制正负,
    指数为从第3开始的奇数,所以指数部分规律为,
    ∴第n个单项式是 (-1)n-1x2n+1
    考点2. 多项式
    【例题5】请你用代数式表示如图所示的长方体形无盖的纸盒的容积(纸盒厚度忽略不计)和表面积,这些代数式是整式吗?如果是,请你分别指出它们是单项式还是多项式.
    【答案】纸盒的容积为abc;表面积为ab+2bc+2ac(或ab+ac+bc+ac+bc). 它们都是整式;abc是单项式,ab+2bc+2ac(或ab+ac+bc+ac+bc)是多项式.
    【解析】容积是长×宽×高,表面积(无盖)是五个面的面积,在分辨它们是不是整式,是单项式还是多项式时,牵牵把握住概念,根据概念判断.
    纸盒的容积为abc;表面积为ab+2bc+2ac(或ab+ac+bc+ac+bc). 它们都是整式;abc是单项式,ab+2bc+2ac(或ab+ac+bc+ac+bc)是多项式.
    【例题6】写出下列各多项式的项数和次数,并指出是几次几项式.
    (1)eq \f(2,3)x2-3x+5;
    (2)a+b+c-d;
    (3)-a2+a2b+2a2b2.
    【答案】见解析。
    【解析】(1)多项式的项一定包括它的符号;(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数,而不是各项次数的和;(3)几次项是指多项式中次数是几的项.
    根据多项式的项数是多项式中单项式的个数,多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数,可得答案.
    (1)eq \f(2,3)x2-3x+5的项数为3,次数为2,二次三项式;
    (2)a+b+c-d的项数为4,次数为1,一次四项式;
    (3)-a2+a2b+2a2b2的项数为3,次数为4,四次三项式.
    【例题7】如果多项式x4-(a-1)x3+5x2-(b+3)x-1不含x3和x项,求a、b的值.
    【答案】a的值是1,b的值是-3.
    【解析】多项式不含x3和x项,则x3和x项的系数就是0. 根据这两项的系数等于0就可以求出a和b的值了.
    因为多项式不含x3项,
    所以其系数-(a-1)=0,
    所以a=1.
    因为多项式也不含x项,
    所以其系数-(b+3)=0,
    所以b=-3.
    深化对课节知识点理解的试题专炼
    1. 下列代数式2x,-eq \f(1,3)ab2c,eq \f(x+1,2),πr2,eq \f(4,x),a2+2a,0,eq \f(m,n)中,单项式有( )
    A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
    【答案】A
    【解析】数与字母的积的形式的代数式是单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.分母中含字母的不是单项式,分子中含加、减运算的式子也不是单项式.
    2x,-eq \f(1,3)ab2c,πr2,0,都符合单项式的定义,共4个.故选A.
    2. 若(m-2)x2yn是关于 x,y 的一个四次单项式,m,n应满足的条件?
    【答案】m≠ 2,n=2.
    【解析】由题意知m,n要满足
    2+n=4
    m-2 ≠ 0,
    所以m≠ 2,n=2.
    3. 分别写出下列单项式的系数和次数.
    (1)-ab2; (2)eq \f(5ab3c2,7); (3)eq \f(2πxy2,3).
    【答案】见解析。
    【解析】(1)当单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写;单项式的系数是带分数时,通常写成假分数.单项式的系数包括前面的符号.(2)我们把常数项的次数看做0.确定单项式的次数时,单项式中单独一个字母的指数1不能忽略,如-3x3y,它的指数是4而不是3.(3)π是圆周率,是一个确定的数,不是字母.
    单项式的系数就是单项式中的数字因数;单项式的次数就是单项式中所有字母指数的和,只要将这些字母的指数相加即可.
    (1)单项式的系数是-1,次数是3;
    (2)单项式的系数是eq \f(5,7),次数是6;
    (3)单项式的系数是eq \f(2π,3),次数是3.
    4. 用单项式表示下列各式,并指出其系数和次数.
    (1)王明同学买2本练习册花了n元,那么买m本练习册要花多少元?
    (2)正方体的棱长为a,那么它的表面积是多少?体积呢?
    【答案】见解析。
    【解析】此题考查了列代数式,用到的知识点是系数、次数、正方形的表面积公式、体积公式,根据题意列出式子是本题的关键.
    根据买2本练习册花了n元,得出买1本练习册花eq \f(n,2)元,再根据买了m本练习册,即可列出算式,再根据系数、次数的定义进行解答即可;
    根据正方体的棱长为a和表面积公式、体积公式列出式子,再根据系数、次数的定义进行解答.
    (1)∵买2本练习册花了n元,
    ∴买1本练习册花eq \f(n,2)元,
    ∴买m本练习册要花eq \f(1,2)mn元,
    ∴它的系数是eq \f(1,2),次数是2;
    (2)∵正方体的棱长为a,
    ∴它的表面积是6a2,系数是6,次数是2;
    它的体积是a3,系数是1,次数是3.
    5. 指出下列各式中哪些是单项式?哪些是多项式?哪些是整式?
    x2+y2,-x,eq \f(a+b,3),10,6xy+1,eq \f(1,x),eq \f(1,7)m2n,2x2-x-5,eq \f(2,x2+x),a7.
    【答案】见解析。
    【解析】(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式;(2)单项式和多项式都是整式;(3)单项式不含加、减运算,多项式必含加、减运算.
    根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断.
    eq \f(2,x2+x),eq \f(1,x)的分母中含有字母,既不是单项式,也不是多项式,更不是整式.
    单项式有:-x,10,eq \f(1,7)m2n,a7;
    多项式有:x2+y2,eq \f(a+b,3),6xy+1,2x2-x-5;
    整式有:x2+y2,-x,eq \f(a+b,3),10,6xy+1,eq \f(1,7)m2n,2x2-x-5,a7.
    6. 已知-5xm+104xm-4xmy2是关于x、y的六次多项式,求m的值,并写出该多项式.
    【答案】m=4,-5x4+104x4-4x4y2.
    【解析】此题考查了多项式,解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数.
    根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m+2=6,解得m=4,进而可得此多项式.
    由题意得m+2=6,
    解得m=4,
    此多项式是-5x4+104x4-4x4y2.

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