初中数学6.3 角精品练习

这是一份初中数学6.3 角精品练习，文件包含专题63角原卷版doc、专题63角解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。

专题6.3 角
课节学习目标
1.理解角的两种定义和相关概念，掌握角的表示方法.
2.会正确使用量角器测量角的大小.
3.认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算.
4.掌握角的大小的比较方法.
5.理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题.
6.会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
7.了解余角、补角的概念.掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.
8.了解方位角的概念，初步掌握方位角的判别；并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
课节知识点解读
知识点1. 角
1. 角的概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
2.角的表示方法
(1)角通常用三个字母及符号“∠”来表示，如图中角可以表示为∠AOB或∠BOA，表示顶点的字母O必须放在中间，其他两个字母A，B分别表示角的两边上的点.
(2)当顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示角，这个字母应标在顶点上. 如图的角可以表示为∠O.
(3)用一个数字表示一个角，如图的角可以表示为∠1.
(4)用一个字母(希腊字母α、β、γ等)表示一个角，如图的角可以表示为∠α.
注意：（3）（4）这两种方法必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角
3. 角的单位及换算关系
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，
如：∠α的度数是48度56分37秒，记作∠α=48°56′37″.
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.此外，还有其它度量角的单位制.例如，我们以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等.
4.角的分类及余角补角的定义
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（3）余角和补角的性质: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角也相等.
注意：对余角、补角问题可以利用下面表格加深理解
知识点2. 角的平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
OB是∠AOC的平分线
∵OB是∠AOC的角平分线，
∴∠AOB＝∠BOC=∠AOC
∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC
知识点3．方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
要点诠释：
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
课节知识点例题讲析
考点1. 角的概念
【例题1】下列关于角的说法正确的是( )
A.由两条射线组成的图形叫做角
B.角的边画得越长，角越大
C.在角一边延长线上取一点
D.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
【答案】D
【解析】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
考点2.角的度量及换算
【例题2】填空:
(1)5400″=______°；
(2)25.72°=_____°______′______″；
(3)45°12′36″=________°.
【答案】见解析
【解析】(1)5400″=(5400/60)′=90′，90′=(90/60)°=1.5°；
5400″=1.5°；
(2)0.72°=0.72×60′=43.2′，0.2′=0.2×60″= 12″
25.72°=25°43′12″；
(3)36″=(36/60)′=0.6′，12.6′=(12.6/60)°=0.21°.
45°12′36″=45°+12′+36″=45°+12′+0.6′=45°+12.6′=45°+0.21°=45.21°
考点3. 余角补角
【例题3】已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于( )
A.45° B.60° C.90° D.180°
【答案】C
【解析】已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，则∠α+∠β=180°
∠β=180°-∠α
∠α与∠γ互余，则∠α+∠γ=90°
∠γ=90°-∠α
则∠β-∠γ=（180°-∠α）-（90°-∠α）=90°
考点4. 角的平分线
【例题4】如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（ ）
A．35° B．70° C．110° D．145°
【答案】C
【解析】∵射线OC平分∠DOB．∴∠BOD=2∠BOC，
∵∠COB=35°， ∴∠DOB=70°， ∴∠AOD=180°﹣70°=110°
【点拨】本题考查角的平分线性质和平角的特点。
考点5. 方位角
【例题5】如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东72°方向，则∠ACB的度数是 ．
【答案】78°
【解析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．
∵AE，DB是正南和正北方向，
∴BD∥AE，
∵B处在A处的南偏西42°方向，
∴∠BAE＝∠DBA＝42°，
∵C处在A处的南偏东30°方向，
∴∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝42°+30°＝72°，
又∵C处在B处的北偏东72°方向，
∴∠DBC＝72°，
∴∠ABC＝72°﹣42°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣72°＝78°．
故答案为：78°．
【点睛】本题考查的是方向角的概念，用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．
【答案】55．
【解析】若两角互余，则两角和为90°，从而可知∠α的余角为90°减去∠α，从而可解．
解：∵∠α＝35°，
∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°
【点拨】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单．
2. 把18°30′化成度的形式，则18°30′= 度．
【答案】18.5．
【解析】∵30′=0.5度，
∴18°30′=18.5度。
【点拨】本题考查的角度之间换算，记住角度单位之间基本关系．
3．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，则∠AOE= ．
【答案】40°
【解析】∠BOD和∠AOC是对顶角，所以∠BOD=∠AOC=40°，
OA平分∠COE，则∠AOE=∠BOD
所以∠AOE=∠BOD=40°
4. 如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【答案】B
【解析】∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，
∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵射线EB平分∠CEF，
∴，
∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°
5.观察图形并回答下列问题:
(1)∠AOC是哪两个角的和?∠DOB是哪两个角的和?
(2)∠AOB是哪两个角的差?
【答案】见解析
【解析】(1)∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，∠DOB是∠COD与∠BOC的和.
即∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠DOB=∠COD+∠BOC.
(2)∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，
或∠AOB是∠AOD与∠DOB的差.
即∠AOB=∠AOC-∠BOC=∠AOD-∠DOB.
6.如图，∠BOD=1/3∠COD=15°，OC平分∠AOB，求∠AOB的度数.
7.计算:
(1)56°18′+72°48′; (2)131°28′-51°32′15″;
(3)12°30′20″×2; (4)12°31′21″÷3.
【答案】见解析
【解析】(1)56°18′+72°48′=128°66′=129°6′;
(2)131°28′-51°32′15″
=130°87′60″-51°32′15″
=79°55′45″;
(3)12°30′20″×2
= 24°60′40″
= 25°40″;
(4)12°31′21″÷3
=4°+31′21″÷3
=4°10′+81″÷3
=4°10′27″.
8.如图，已知∠AOB=90°，∠COD=90°，OE为∠BOD的平线，∠BOE=15°，求∠AOD和∠BOC的度数.
【答案】见解析
【解析】因为OE为∠BOD的平分线，∠BOE=15°，
所以∠BOD=2∠BOE=30°，
所以∠AOD=∠AOB+∠BOD= 90°+30°=120°，∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-30°=60°.
9.如图，已知射线OC在∠AOB的内部，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.
(1)若∠AOC=50°，∠BOC=30°，求∠MON的度数;
(2)探究∠MON与∠AOB的数量关系.
【答案】见解析
【解析】(1)因为OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC,
所以∠COM=1/2∠AOC，∠CON=1/2∠BOC.
因为∠AOC=50°，∠BOC= 30°，
所以∠COM=25°，∠CON=15°
所以∠MON=∠COM+∠CON=40°.
(2)因为OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC,
所以∠COM=1/2∠AOC，∠CON=1/2∠BOC.
所以∠MON=∠COM+∠CON=1/2∠AOC+1/2∠BOC
=1/2 (∠AOC+∠BOC)=1/2∠AOB.
10. 如图，∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON=90°，求∠AOB的度数.
【答案】见解析
【解析】因为∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，
所以设∠AOC=(2x)°，∠COD=(3x)°，∠DOB=(4:x)°,
则∠AOB=∠.AOC+∠COD+∠DOB= (2x)°+(3x)°+(4x)°
=(9x)°.
因为OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，
所以∠MOC=1/2∠AOC=x°，∠NOD=1/2∠DOB=(2x)°，
11. 已知∠AOB=108°，∠BOC=22°，射线OD，OE分别是∠AOB和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数.
【答案】见解析
【解析】分两种情况讨论:
(1)当OC在∠AOB内部时，如图①，
∠DOE=∠BOD-∠BOE=54°-11°=43°;
(2)当OC在∠AOB外部时，如图②,
∠DOE=∠BOD+∠BOE=54°+11°=65°.
综上所述，∠DOE的度数为43°或65°.
12．一个角的余角比这个角的补角的还小，求这个角的余角及这个角的补角．
【答案】余角为，补角为°
【解析】设这个角为，则这个角的余角为，根据题意列出方程，解方程即可求解．
设这个角为，则这个角的余角为，
由题意得，，
解得：，
∴这个角是，
∴这个角的余角为，补角为．
【点睛】本题考查了求一个角的余角与补角，一元一次方程的应用，熟练掌握余角与补角的定义是解题的关键．
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0＜∠β＜90°
∠β=90°
90°<∠β<180°
∠β=180°
∠β=360°
名称
概念
性质
互为余角
如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.
（1）90°-α是α的余角；
（2）同角或等角的余角相等.
互为补角
如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。
（1）180°-α是α的补角；
（2）同角或等角的补角相等.