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苏科版（2024）九年级上册第1章 一元二次方程1.1 一元二次方程精品ppt课件
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这是一份苏科版（2024）九年级上册第1章 一元二次方程1.1 一元二次方程精品ppt课件，共38页。PPT课件主要包含了写出完整的答案，体积类，S矩形ab，S正方形a2，S圆πr2，V正方体a3，V长方体abc，V圆柱sh，巩固练习，增长率类等内容，欢迎下载使用。
会根据具体问题中数量之间的相等关系列出一元二次方程并求解，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
知识点六 一元二次方程的应用
用一元二次方程解决问题的基本步骤是什么？
审 找 设 列 解 验 答
审题，分析题中已知量,未知量，明确他们之间的关系.
设未知数(一般求什么就设什么）,有直接设和间接设,写好单位名称.
把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程.
解方程,求出未知数的值(x=a).
找出一个能表示问题中全部意义的相等关系.
未知数的值既要代入原方程检验，又要检验所求解是否符合题意.
用一元二次方程解决问题的关键是什么？
常用的面积、体积公式：
例1 如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽为多少米？
解：设人行通道的宽为xm，则将两块矩形绿地合在一起构成的长为 (30-3x)m，宽为(24-2x) m.根据题意，得 (30-3x)(24-2x)=480，整理，得 x2-22x+40=0，解这个方程，得 x1=2，x2=20，当 x=20 时，30-3x=-30，24-2x=-16，不符合题意，舍去，所以 x=2，即人行通道的宽为 2m.答：人行通道的宽为2m.
A.10 cmB.13 cmC.14 cmD.16 cm
1.将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为( )
解：设正方形铁皮的边长是xcm ，则没有盖的长方体盒子的长、宽为(x-3×2) cm，高为3cm，根据题意列方程得 (x-3×2)(x-3×2)×3=300，解得 x1=16，x2=-4(不合题意，舍去)；所以正方形铁皮的边长是16cm．
3.某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN的最大可用长度为25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300m2时，求AB的长．
解：设AB的长为xm，则BC的长为(50－2x)m.依题意可列方程x(50－2x)＝300.解得x1＝10，x2＝15.(1)当x＝10时，AD＝50－2x＝50－2×10＝30＞25，不符合实际，舍去；(2)当x＝15时，AD＝50－2x＝50－2×15＝20＜25，所以x＝15满足题意．答：AB的长为15m.
1. 两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2 若原来为a, 平均增长率是x, 增长后的量为b 则 第1次增长后的量是 a(1+x)1=b 第2次增长后的量是 a(1+x)2=b … 第n次增长后的量是 a(1+x)n=b
2. 反之，若为两次降低，则平均降低率公式为：a(1-x)2=b
3. 平均增长(降低两次率)公式：a(1±x)2=b
4. 注意：(1) 1与x的位置不要调换
(2) 解这类问题用直接开平方法
例1 某商店“十一黄金周”期间进行促销活动，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．(1)求该商店“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店8、9月份营业额的月增长率．
(2)设该商店8、9月份营业额的月增长率为x，由题意，得350(1＋x)2＝504，解得x1＝0.2=20％，x2=－2.2（舍去），答：该商店8、9月份营业额的月增长率为20％．
解：(1)450＋450×12％＝504（万元）， 答：该商店“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
2. 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意列方程为( )A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
1．一种药品原价为每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足( )A . 16(1＋2x)＝25 B . 25(1－2x)＝16 C . 16(1＋x2)＝25 D . 25(1－x)2＝16
3.某厂一月份生产化肥848吨，已知月增长率为x%，则二月份的产量是____________吨，三月份的产量是_______________吨．
例1 李经理从百货大楼服装柜的销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)设每件童装降价x元，那么平均每天就可多售出____件，现在一天可售出________件，每件盈利________元．(2)如果平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
解：(2)由题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，即x2－30x＋200＝0，解得x1＝10，x2＝20.∵要扩大销售量，减少库存，∴x1＝10不符合题意，舍去．答：每件童装应降价20元．
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价0.5元，每星期可多卖出10件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元?
解法1：设降价x元,则售价为(60-x)元.
∴定价为60-4=56元.
∵要使顾客实惠，∴x=56.
答：应将销售单价定为56元.
1. 宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天的定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲1间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元，则可列方程为( )
2. 某商户购进某种电子产品的进价是每个50元，根据市场调研发现，当销售单价是80元时，每周可卖出160个.若销售单价每降低2元，则每周可多卖出20个.设销售单价降低x元.
(1)每周可卖出 （10x＋16个（用含x的代数式表示）；
(2)要使该商户每周销售该商品的利润达到5280元，且更有利于减少库存，则销售单价应降低多少元？
解：根据题意，得(80－x－50)(10x＋160)＝5280，解得x1＝6，x2＝8.∵ 要更有利于减少库存，∴ x＝8.答：销售单价应降低8元
3.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在网上对一款成本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件60元销售，那么每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件商品售价每降低5元，日销售量增加10件.
(1) 若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)小明的线下实体商店也销售同款商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该款商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该款商品至少需打几折销售？
例 在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点都停止运动．设运动时间为t s.(1)填空：BQ＝____cm，PB＝________cm(用含t的代数式表示)．
解：(1)∵点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，∴AP＝t cm.∵AB＝5 cm，∴PB＝(5－t)cm.∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，∴BQ＝2t cm.
例 在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点都停止运动．设运动时间为t s.(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm(初始位置除外)?
解：(2)由题意，得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t1＝0(不合题意，舍去)，t2＝2.当t＝2时，PQ的长度等于5 cm.
解：(3)存在．当t＝1时，能够使得五边形APQCD的面积等于26 cm2.长方形ABCD的面积是5×6＝30(cm2)，若要使得五边形APQCD的面积等于26 cm2，则△PBQ的面积为30－26＝4(cm2)，即(5－t)×2t×＝4，解得t1＝4(不合题意，舍去)，t2＝1.即当t＝1时，五边形APQCD的面积等于26 cm2.
例 (3)是否存在t的值,使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
1.如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝24 cm，AC＝16 cm，现有动点P从点B出发，沿边BA向点A运动，动点Q从点C出发，沿边CA向点A运动，已知点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，经过多长时间，△APQ的面积是△ABC面积的一半？
2. 如图，矩形 ABCD 中，AB=16cm，AD=6cm，动点 P，Q 分别从 A、C 两点同时出发，点 P 以3cm/s 的速度向点B移动，一直到达点B为止，点 Q以2cm/s的速度向点 D 移动.(1) P，Q两点从出发开始，经过几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
2. 如图，矩形 ABCD 中，AB=16cm，AD=6cm，动点 P，Q 分别从 A、C 两点同时出发，点 P 以3cm/s 的速度向点B移动，一直到达点B为止，点 Q以2cm/s的速度向点 D 移动.(2) P，Q 两点从出发开始，经过几秒时，点 P 和点 Q 的距离为 10cm？
解：(2)设经过 ys 时，点 P 和 Q 的距离为10cm ，依题意得 62+(16-3y-2y)2=102，整理得 25y2-160y+192=0，解得 y1=1.6，y2=4.8，均符合题意，所以经过 1.6s或4.8s时，点 P 和 Q 的距离为10cm .
例1 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?
第1轮传染后人数x+1
第2轮传染后人数x(x+1)+x+1 =(1+x)2
x1= 10, x2=-12(不合题意,舍去).
答:平均一个人传染了10个人.
解:设每轮传染中平均一个人传染了x 个人.
如果按这样的传染速度，n 轮传染后有多少人患了流感？
(1+x)2+(1+x)2∙x=
经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感.
解：设参加聚会的有x人，则每个人都要握手_______次，可列方程为_______________．解得_____________________，经检验，x＝_______不符合题意，故舍去．答：参加聚会的有_____人．
x(x－1)÷2＝28
例2 一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次，若参加聚会的每个人和其余的每个人只握手一次，则参加聚会的共有多少人？
1.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )A．x（x+1）=28 B．x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28
2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为_____．
解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x.由题意，得(1＋x)2＝100，解得x1＝9，x2＝－11(舍去)．
3. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，求每个支干长出多少分支？
解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得1+x+x⋅x=13，整理得x2+x−12=0，解得x1=3，x1=−4(舍去).答：每个支干长出3个小分支.
4.某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，有益菌总和达24 000个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌．(1)每轮分裂中每个有益菌可分裂出多少个有益菌?(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌?
解：(1) 设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌， 根据题意，得60(1＋x)2＝24 000.解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)．答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌．(2) 60×(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)． 答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌．
解：设原来的两位数的十位数字为x，则个位数字为5－x.根据题意，得[10x＋(5－x)][10(5－x)＋x]＝736.整理，得x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.当x＝2时，5－x＝3，符合题意，原两位数是23；当x＝3时，5－x＝2，符合题意，原两位数是32.答：原来的两位数是23或32.
例 一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．
数字问题中数的表示方法：(1)已知十位数字为a，个位数字为b，则此两位数为10a＋b.(2)连续奇数、连续偶数、连续整数的表达方式(x为整数)： ①2x－1，2x＋1，2x＋3表示三个连续奇数； ②2x，2x＋2，2x＋4表示三个连续偶数； ③x－1，x，x＋1表示三个连续整数．
1.若两个连续奇数的积是143，则这两个连续奇数是( ) A．11和13 B．7和9 C．11和13或－11和－13 D．－7和－9
解：设这两个连续奇数为x，x＋2.依题意，得x(x＋2)＝143，解得x1＝11，x2＝－13.当x＝11时，x＋2＝13；当x＝－13时，x＋2＝－11，∴这两个连续奇数是－11和－13或11和13.
2.相邻的两个自然数，它们的平方和比这两数中较小数的2倍大51，则这两个自然数分别为________．
解：设较小的自然数为n.根据题意，得n2＋(n＋1)2＝2n＋51，解得n＝5或n＝－5(舍去)，所以这两个自然数为5，6.
会根据具体问题中数量之间的相等关系列出一元二次方程并求解，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
知识点六 一元二次方程的应用
用一元二次方程解决问题的基本步骤是什么？
审 找 设 列 解 验 答
审题，分析题中已知量,未知量，明确他们之间的关系.
设未知数(一般求什么就设什么）,有直接设和间接设,写好单位名称.
把相等关系中各个量转化成代数式,从而列出方程.
解方程,求出未知数的值(x=a).
找出一个能表示问题中全部意义的相等关系.
未知数的值既要代入原方程检验，又要检验所求解是否符合题意.
用一元二次方程解决问题的关键是什么？
常用的面积、体积公式：
例1 如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽为多少米？
解：设人行通道的宽为xm，则将两块矩形绿地合在一起构成的长为 (30-3x)m，宽为(24-2x) m.根据题意，得 (30-3x)(24-2x)=480，整理，得 x2-22x+40=0，解这个方程，得 x1=2，x2=20，当 x=20 时，30-3x=-30，24-2x=-16，不符合题意，舍去，所以 x=2，即人行通道的宽为 2m.答：人行通道的宽为2m.
A.10 cmB.13 cmC.14 cmD.16 cm
1.将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为( )
解：设正方形铁皮的边长是xcm ，则没有盖的长方体盒子的长、宽为(x-3×2) cm，高为3cm，根据题意列方程得 (x-3×2)(x-3×2)×3=300，解得 x1=16，x2=-4(不合题意，舍去)；所以正方形铁皮的边长是16cm．
3.某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN的最大可用长度为25m)，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300m2时，求AB的长．
解：设AB的长为xm，则BC的长为(50－2x)m.依题意可列方程x(50－2x)＝300.解得x1＝10，x2＝15.(1)当x＝10时，AD＝50－2x＝50－2×10＝30＞25，不符合实际，舍去；(2)当x＝15时，AD＝50－2x＝50－2×15＝20＜25，所以x＝15满足题意．答：AB的长为15m.
1. 两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2 若原来为a, 平均增长率是x, 增长后的量为b 则 第1次增长后的量是 a(1+x)1=b 第2次增长后的量是 a(1+x)2=b … 第n次增长后的量是 a(1+x)n=b
2. 反之，若为两次降低，则平均降低率公式为：a(1-x)2=b
3. 平均增长(降低两次率)公式：a(1±x)2=b
4. 注意：(1) 1与x的位置不要调换
(2) 解这类问题用直接开平方法
例1 某商店“十一黄金周”期间进行促销活动，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．(1)求该商店“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店8、9月份营业额的月增长率．
(2)设该商店8、9月份营业额的月增长率为x，由题意，得350(1＋x)2＝504，解得x1＝0.2=20％，x2=－2.2（舍去），答：该商店8、9月份营业额的月增长率为20％．
解：(1)450＋450×12％＝504（万元）， 答：该商店“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
2. 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意列方程为( )A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
1．一种药品原价为每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足( )A . 16(1＋2x)＝25 B . 25(1－2x)＝16 C . 16(1＋x2)＝25 D . 25(1－x)2＝16
3.某厂一月份生产化肥848吨，已知月增长率为x%，则二月份的产量是____________吨，三月份的产量是_______________吨．
例1 李经理从百货大楼服装柜的销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)设每件童装降价x元，那么平均每天就可多售出____件，现在一天可售出________件，每件盈利________元．(2)如果平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
解：(2)由题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，即x2－30x＋200＝0，解得x1＝10，x2＝20.∵要扩大销售量，减少库存，∴x1＝10不符合题意，舍去．答：每件童装应降价20元．
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价0.5元，每星期可多卖出10件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元?
解法1：设降价x元,则售价为(60-x)元.
∴定价为60-4=56元.
∵要使顾客实惠，∴x=56.
答：应将销售单价定为56元.
1. 宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天的定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲1间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元，则可列方程为( )
2. 某商户购进某种电子产品的进价是每个50元，根据市场调研发现，当销售单价是80元时，每周可卖出160个.若销售单价每降低2元，则每周可多卖出20个.设销售单价降低x元.
(1)每周可卖出 （10x＋16个（用含x的代数式表示）；
(2)要使该商户每周销售该商品的利润达到5280元，且更有利于减少库存，则销售单价应降低多少元？
解：根据题意，得(80－x－50)(10x＋160)＝5280，解得x1＝6，x2＝8.∵ 要更有利于减少库存，∴ x＝8.答：销售单价应降低8元
3.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在网上对一款成本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件60元销售，那么每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件商品售价每降低5元，日销售量增加10件.
(1) 若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)小明的线下实体商店也销售同款商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该款商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该款商品至少需打几折销售？
例 在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点都停止运动．设运动时间为t s.(1)填空：BQ＝____cm，PB＝________cm(用含t的代数式表示)．
解：(1)∵点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，∴AP＝t cm.∵AB＝5 cm，∴PB＝(5－t)cm.∵点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动，∴BQ＝2t cm.
例 在长方形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点Q运动到点C时，两点都停止运动．设运动时间为t s.(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm(初始位置除外)?
解：(2)由题意，得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t1＝0(不合题意，舍去)，t2＝2.当t＝2时，PQ的长度等于5 cm.
解：(3)存在．当t＝1时，能够使得五边形APQCD的面积等于26 cm2.长方形ABCD的面积是5×6＝30(cm2)，若要使得五边形APQCD的面积等于26 cm2，则△PBQ的面积为30－26＝4(cm2)，即(5－t)×2t×＝4，解得t1＝4(不合题意，舍去)，t2＝1.即当t＝1时，五边形APQCD的面积等于26 cm2.
例 (3)是否存在t的值,使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
1.如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝24 cm，AC＝16 cm，现有动点P从点B出发，沿边BA向点A运动，动点Q从点C出发，沿边CA向点A运动，已知点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，经过多长时间，△APQ的面积是△ABC面积的一半？
2. 如图，矩形 ABCD 中，AB=16cm，AD=6cm，动点 P，Q 分别从 A、C 两点同时出发，点 P 以3cm/s 的速度向点B移动，一直到达点B为止，点 Q以2cm/s的速度向点 D 移动.(1) P，Q两点从出发开始，经过几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
2. 如图，矩形 ABCD 中，AB=16cm，AD=6cm，动点 P，Q 分别从 A、C 两点同时出发，点 P 以3cm/s 的速度向点B移动，一直到达点B为止，点 Q以2cm/s的速度向点 D 移动.(2) P，Q 两点从出发开始，经过几秒时，点 P 和点 Q 的距离为 10cm？
解：(2)设经过 ys 时，点 P 和 Q 的距离为10cm ，依题意得 62+(16-3y-2y)2=102，整理得 25y2-160y+192=0，解得 y1=1.6，y2=4.8，均符合题意，所以经过 1.6s或4.8s时，点 P 和 Q 的距离为10cm .
例1 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?
第1轮传染后人数x+1
第2轮传染后人数x(x+1)+x+1 =(1+x)2
x1= 10, x2=-12(不合题意,舍去).
答:平均一个人传染了10个人.
解:设每轮传染中平均一个人传染了x 个人.
如果按这样的传染速度，n 轮传染后有多少人患了流感？
(1+x)2+(1+x)2∙x=
经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感.
解：设参加聚会的有x人，则每个人都要握手_______次，可列方程为_______________．解得_____________________，经检验，x＝_______不符合题意，故舍去．答：参加聚会的有_____人．
x(x－1)÷2＝28
例2 一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次，若参加聚会的每个人和其余的每个人只握手一次，则参加聚会的共有多少人？
1.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )A．x（x+1）=28 B．x（x﹣1）=28C．x（x+1）=28 D．x（x﹣1）=28
2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为_____．
解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x.由题意，得(1＋x)2＝100，解得x1＝9，x2＝－11(舍去)．
3. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，求每个支干长出多少分支？
解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得1+x+x⋅x=13，整理得x2+x−12=0，解得x1=3，x1=−4(舍去).答：每个支干长出3个小分支.
4.某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，有益菌总和达24 000个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌．(1)每轮分裂中每个有益菌可分裂出多少个有益菌?(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌?
解：(1) 设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌， 根据题意，得60(1＋x)2＝24 000.解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)．答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌．(2) 60×(1＋19)3＝60×203＝480 000(个)． 答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌．
解：设原来的两位数的十位数字为x，则个位数字为5－x.根据题意，得[10x＋(5－x)][10(5－x)＋x]＝736.整理，得x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.当x＝2时，5－x＝3，符合题意，原两位数是23；当x＝3时，5－x＝2，符合题意，原两位数是32.答：原来的两位数是23或32.
例 一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．
数字问题中数的表示方法：(1)已知十位数字为a，个位数字为b，则此两位数为10a＋b.(2)连续奇数、连续偶数、连续整数的表达方式(x为整数)： ①2x－1，2x＋1，2x＋3表示三个连续奇数； ②2x，2x＋2，2x＋4表示三个连续偶数； ③x－1，x，x＋1表示三个连续整数．
1.若两个连续奇数的积是143，则这两个连续奇数是( ) A．11和13 B．7和9 C．11和13或－11和－13 D．－7和－9
解：设这两个连续奇数为x，x＋2.依题意，得x(x＋2)＝143，解得x1＝11，x2＝－13.当x＝11时，x＋2＝13；当x＝－13时，x＋2＝－11，∴这两个连续奇数是－11和－13或11和13.
2.相邻的两个自然数，它们的平方和比这两数中较小数的2倍大51，则这两个自然数分别为________．
解：设较小的自然数为n.根据题意，得n2＋(n＋1)2＝2n＋51，解得n＝5或n＝－5(舍去)，所以这两个自然数为5，6.
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