人教A版2019高中数学高三复习学案解析几何 二定问题（定点、定值）

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（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过定点的直线与椭圆交于，两点（与，不重合），证明：直线，的交点的横坐标为定值．
2．已知原点到椭圆的上顶点与右顶点连线的距离为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线过点与椭圆交于，两点，点是椭圆的上顶点，求证：直线与的斜率之和为定值．
3．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过定点的直线与椭圆相交于、两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，求证：．
4．抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，弦的最小值为2．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设点是直线上的任意一点，过点的直线与抛物线交于，
两点，记直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值．
5．（2021•全国Ⅰ卷开学）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为62，且该双曲线经过点P(3，22)．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2均经过点Q（2，1），且直线l1，l2与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若k1+k2＝1，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由．
参 考 答 案
1．（1）由题意可得，解得：，，所以椭圆的标准方程为：；
（2）证明：由（1）可得，，
设过点的直线为，设，，，，
联立，整理可得：，
△，且，，
直线的方程：，直线方程为：，
两条直线联立①，将，，②
联立两条直线方程：，③，
①③联立，所以直线，的交点的横坐标为定值．
2．（1）椭圆的上顶点与右顶点连线的方程为，
所以，解得，则离心率；
（2）由（1）可得点，根据题意可得直线的斜率一定存在，
不妨设直线，即，椭圆方程可化为，
联立可得，
设，，，，则，，
又，所以
所以直线与的斜率之和为定值．
3．（1）因为椭圆离心率为，且过点，所以，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）若的斜率不存在，则，，此时，
若的斜率存在，设，，，，
设的方程为，
，得，
由韦达定理得，，则，，
所以，，
所以．
4．（1）对于，过焦点的弦最短时，弦垂直于轴，此时，两点的横坐标均为，
代入可求得纵坐标分别为，则此时，所以，即抛物线方程为．
（2）证明：设，，，，，
因为直线的斜率显然不为0，故可设直线的方程为，
联立方程，消去得．所以且
又
所以．
5、解：（1）由离心率为ca=62，且c2＝a2+b2，得c2＝3b2，a2＝2b2，
即双曲线方程为x22b2−y2b2=1．
又点P(3，22)在双曲线C上，∴32b2−12b2=1，
解得b2＝1，a2＝2，
∴双曲线C的方程为x22−y2=1；
（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），
则由k1+k2＝1，得y0−1x0−2+−y0−1x0−2=1，
即−2x0−2=1，解得x0＝0，不符合题意，故直线AB的斜率存在．
不妨设直线AB的方程为y＝kx+t，代入x22−y2=1，
整理得（2k2﹣1）x2+4ktx+2t2+2＝0（2k2﹣1≠0），Δ＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=−4kt2k2−1，x1x2=2t2+22k2−1
由k1+k2＝1，得y1−1x1−2+y2−1x2−2=1，即kx1+t−1x1−2+kx2+t−1x2−2=1，
整理得（2k﹣1）x1x2+（t﹣2k+1）（x1+x2）﹣4t＝0，
∴(2k−1)⋅2t2+22k2−1+(t−2k+1)⋅(−4kt2k2−1)−4t=0，
整理得：t2+（2k﹣2）t﹣1+2k＝0，即（t﹣1）（t+2k﹣1）＝0，
∴t＝1或t＝1﹣2k．
当t＝1时，直线AB的方程为y＝kx+1，经过定点（0，1）；
当t＝1﹣2k时，直线AB的方程为y＝k（x﹣2）+1，经过定点Q（2，1），不符合题意．
综上，直线AB过定点（0，1）．