2021-2022学年江西省吉安市八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年江西省吉安市八年级上学期期中数学试题及答案，共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在7个实数﹣，，0，，﹣π，，1.101001000100001中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，2，B．2，3，4C．1，，D．，，
4．将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣2x﹣5B．y＝﹣2x﹣3C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x+3
5．在平面直角坐标系中，点A（2，m）和点B（n，3）关于x轴对称，则的值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
6．对于函数y＝﹣2x+2，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，0）
B．它的图象经过第二、三、四象限
C．y的值随x值的增大而增大
D．当x＞1时，y＜0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．的平方根是 ．
8．点（3+a，5）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，4﹣b），则ba＝ ．
9．若实数x，y满足（2x﹣3）2+|9+4y|＝0，则xy的立方根为 ．
10．已知一次函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1的图象经过原点，那么m＝ ．
11．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ．
12．Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以AC为边，在△ABC的外部作等腰直角△ACD，则线段BD的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2；
（2）解方程：﹣8（x+1）3＝27．
14．已知x+3的立方根为2，3x+y﹣1的平方根为±4，求3x+5y的算术平方根．
15．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣+﹣．
16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点别按下列要求画出图形．
（1）在图①中画一个三角形，使得该三角形的三边长分别为5，，2．
（2）在图②中画出一个正方形，使得该正方形的面积为10．
17．铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知y+2与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当y＝1时，求x的值．
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣5，4）、B（﹣2，2）、C（﹣4，1）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请在答题卷上作出△A1B1C1，并写出△A1B1C1的三个顶点坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）若点P为y轴上一点，要使CP+BP的值最小，请在答题卷上作出点P的位置．（保留作图痕迹）
20．阅读材料：像（+2）（﹣2）＝1，×＝a（a≥0）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如：＝＝；＝＝3+2．
解答下列问题：
（1）的有理化因式是 ，+2的有理化因式是 ．
（2）观察下面的变形规律，请你猜想：＝ ．
，，…
（3）利用上面的方法，请化简：…+．
五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，P为等边△ABC内一点，分别连接PA，PB，PC，PA＝6，PB＝8，PC＝10，以PA为边作等边△APD，连接BD．
（1）求证：BD＝PC．
（2）求∠APB的度数．
22．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长．
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出此时AC+CE的最小值．
（3）根据（2）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值．
六.（本大题1小题，共12分)
23．如图，直线y＝kx﹣2与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1．
（1）求k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx﹣2上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，探索：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是1；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本小题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确答案）
1．在7个实数﹣，，0，，﹣π，，1.101001000100001中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：是分数，属于有理数；
0，，，是整数，属于有理数；
1.101001000100001是有限小数，属于有理数；
无理数有，﹣π，共2个．
故选：B．
2．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
解：A、是三次根式，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、原式＝2，故此选项不符合题意；
D、原式＝，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，2，B．2，3，4C．1，，D．，，
【分析】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是．
解：A、22+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不合题意；
B、12+32≠42，故不是直角三角形，不合题意；
C、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，符合题意；
D、∵（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不合题意；
故选：C．
4．将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣2x﹣5B．y＝﹣2x﹣3C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x+3
【分析】根据函数图象向上平移加，向下平移减，可得答案．
解：直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，所得的直线是y＝﹣2x+1，
故选：C．
5．在平面直角坐标系中，点A（2，m）和点B（n，3）关于x轴对称，则的值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
【分析】点A（2，m）和点B（n，3）关于x轴对称，所以横坐标相等，纵坐标相反．
解：∵A、B两点关于x轴对称，
∴n＝2，m＝﹣3．
∴＝1．
故选：C．
6．对于函数y＝﹣2x+2，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，0）
B．它的图象经过第二、三、四象限
C．y的值随x值的增大而增大
D．当x＞1时，y＜0
【分析】代入x＝﹣1求出y值，进而可得出点（﹣1，0）不在一次函数y＝﹣2x+2的图象上，结论A不正确；由k＝﹣2＜0，b＝2＞0，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y＝﹣2x+2的图象经过第一、二、四象限，结论B不正确；由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质可得出y的值随x的增大而减小，即结论C不正确；代入x＝1求出y值，结合y的值随x的增大而减小，可得出当x＞1时，y＜0，即结论D正确．
解：解：A、当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+2＝4，
∴函数y＝﹣2x+2的图象经过点（﹣1，4），选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣2＜0，b＝2＞0，
∴函数y＝﹣2x+2的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；
C、∵k＝﹣2＜0，
∴y的值随x值的增大而减小，选项C不符合题意；
D、当y＜0时，﹣2x+2＜0，解得：x＞1，
∴当x＞1时，y＜0，选项D符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．的平方根是 ± ．
【分析】首先根据算术平方根的性质化简，再根据平方根的定义即可求出结果．
解：∵＝＝5，
∴的平方根是±．
故答案为：±．
8．点（3+a，5）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，4﹣b），则ba＝ 1 ．
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．
解：∵点（3+a，5）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，4﹣b），
∴3+a＝5，4﹣b＝5，
解得a＝2，b＝﹣1，
故ba＝（﹣1）2＝1．
故答案为：1．
9．若实数x，y满足（2x﹣3）2+|9+4y|＝0，则xy的立方根为 ．
【分析】直接利用偶次方以及绝对值的性质得出x，y的值，进而利用立方根的定义计算得出答案．
解：∵（2x﹣3）2+|9+4y|＝0，
∴2x﹣3＝0，9+4y＝0，
解得：x＝，y＝﹣，
故xy＝﹣，
∴xy的立方根为：﹣．
故答案为：﹣．
10．已知一次函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1的图象经过原点，那么m＝ ﹣1 ．
【分析】根据一次函数的定义及函数图象经过原点的特点列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
解：∵一次函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1的图象经过原点，
∴m2﹣1＝0且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1；
故答案为：﹣1．
11．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 130cm ．
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，
∴AB＝＝130（cm）．
答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
12．Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以AC为边，在△ABC的外部作等腰直角△ACD，则线段BD的长为 2或4或 ．
【分析】分三种情况讨论：①当AD为斜边时，如图1，BD＝2BE，求BE的长即可；②当CD为斜边时，如图2，BD就是两个AB的长；③当AC为斜边时，如图3，BD就是△BCD的斜边长．
解：①当AD为斜边时，如图1，
∴AC＝CD＝2，∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
∵AB＝2，
∴AB＝CD，
∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE≌△CDE，
∴BE＝DE，AE＝EC，
∴AE＝EC＝1，
由勾股定理得：BE＝，
∴BD＝2，
②当CD为斜边时，如图2，则AD＝AC＝2，∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAC＝90°+90°＝180°，
∴B、A、D共线，
∴BD＝AB+AD＝2+2＝4，
③当AC为斜边时，如图3，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝CD＝，
∵∠BCA＝45°，∠ACD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∵AB＝AC＝2，
由勾股定理得：BC＝，
BD＝，
综上所述：BD＝2或4或．
故答案为：2或4或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：﹣|﹣|+（﹣2）2﹣（π﹣3.14）0×（）﹣2；
（2）解方程：﹣8（x+1）3＝27．
【分析】（1）化简二次根式，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，然后计算乘方与乘法，最后再算加减；
（2）利用立方根的概念解方程．
解：（1）原式＝2﹣+12﹣1×4
＝+12﹣4
＝+8；
（2）﹣8（x+1）3＝27，
（x+1）3＝﹣，
x+1＝﹣，
x＝﹣．
14．已知x+3的立方根为2，3x+y﹣1的平方根为±4，求3x+5y的算术平方根．
【分析】根据立方根的立方得被开方数和平方根的平方等于被开方数，可得二元一次方程组，根据解方程组，可得x、y的值，再计算3x+5y的值，根据算术平方根的定义，可得答案．
解：由x+3的立方根为2，3x+y﹣1的平方根为±4，得：，
解得：，
∴3x+5y＝15+10＝25，
∵25的算术平方根为5，
∴3x+5y的算术平方根为5
15．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣+﹣．
【分析】直接利用数轴判断得出：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，进而化简即可．
解：如图所示：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，
则原式＝﹣a+a+c﹣（c﹣a）﹣b
＝a﹣b．
16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以格点为顶点别按下列要求画出图形．
（1）在图①中画一个三角形，使得该三角形的三边长分别为5，，2．
（2）在图②中画出一个正方形，使得该正方形的面积为10．
【分析】（1）根据勾股定理，结合网格特点求解即可；
（2）作出边长为，根据勾股定理，并结合网格作图即可．
解：（1）如图1，△ABC即为所求；
（2）如图2，正方形PQMN即为所求．
17．铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，将BC＝10代入关系式即可求得．
解：∵C、D两村到E站距离相等，
∴CE＝DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
∴AD2+AE2＝BE2+BC2．
设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，
将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+152＝（25﹣x）2+102，
整理得，50x＝500，
解得x＝10，
∴E站应建在距A站10km处．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．已知y+2与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当y＝1时，求x的值．
【分析】（1）已知y+2与x﹣1成正比例，即可以设y+2＝k（x﹣1），把x＝3，y＝4代入即可求得k的值，从而求得函数解析式；
（2）在解析式中令y＝1即可求得x的值．
解：（1）设y+2＝k（x﹣1），把x＝3，y＝4代入得：4+2＝k（3﹣1）
解得：k＝3，
则函数的解析式是：y+2＝3（x﹣1）
即y＝3x﹣5；
（2）当y＝1时，3x﹣5＝1．解得x＝2．
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣5，4）、B（﹣2，2）、C（﹣4，1）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，请在答题卷上作出△A1B1C1，并写出△A1B1C1的三个顶点坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）若点P为y轴上一点，要使CP+BP的值最小，请在答题卷上作出点P的位置．（保留作图痕迹）
【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A1B1C1；
（2）依据割补法进行计算，即可得到△A1B1C1的面积；
（3）连接CB1，交y轴于点P，则BP+CP＝B1P+CP＝B1C可得最小值．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．A1（5，4）、B1（2，2）、C1（4，1）；
（2）△A1B1C1的面积为；
（3）连接CB1（或BC1）与y轴交于点P，点P即为所求．
20．阅读材料：像（+2）（﹣2）＝1，×＝a（a≥0）…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如：＝＝；＝＝3+2．
解答下列问题：
（1）的有理化因式是 ，+2的有理化因式是 ．
（2）观察下面的变形规律，请你猜想：＝ ．
，，…
（3）利用上面的方法，请化简：…+．
【分析】（1）利用二次根式的性质和平方差公式确定有理化因式；
（2）通过观察等式发现数字的变化规律，从而求解；
（3）利用（2）中所得规律进行分母有理化，然后合并同类二次根式进行化简．
解：（1）∵＝7，（）（）＝5﹣4＝1，
故答案为：，﹣2；
（2）通过观察，可得，
故答案为：；
（3）利用（2）中的规律，可得：
原式＝﹣1+﹣+﹣+...+﹣
＝﹣1．
五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，P为等边△ABC内一点，分别连接PA，PB，PC，PA＝6，PB＝8，PC＝10，以PA为边作等边△APD，连接BD．
（1）求证：BD＝PC．
（2）求∠APB的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△APC，可得BD＝PC；
（2）由勾股定理的逆定理可求∠DPB＝90°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△APD是等边三角形，
∴AD＝AP，AB＝AC，∠DAP＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠CAP，
在△ADB和△APC中，
，
∴△ADB≌△APC（SAS），
∴BD＝PC；
（2）解：∵△APD是等边三角形，
∴∠APD＝60°，AP＝PD＝6，
∵BD＝PC＝10，
∴BD2＝100，
∵DP2+BP2＝100，
∴DP2+BP2＝BD2，
∴∠DPB＝90°，
∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝150°．
22．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长．
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出此时AC+CE的最小值．
（3）根据（2）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值．
【分析】（1）在Rt△ABC中，AC＝，在Rt△DEC中，CE＝，则可求AC+CE＝+；
（2）当C是AE和BD交点时，过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，则AC+CE＝AE＝13，即可求AC+CE的最小值；
（3）使AB＝5，ED＝1，DB＝8，连接AE交BD于点C，AE的长即为代数式最小值，在Rt△AEF中，由勾股定理可得AE＝10．
解：（1）∵AB⊥BD，AB＝3，CD＝x，
∴BC＝12﹣x，
在Rt△ABC中，AC＝＝，
∵ED⊥BD，DE＝2，
在Rt△DEC中，CE＝＝，
∴AC+CE＝+；
（2）如图1，当C是AE和BD交点时，
过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，
∴AC+CE＝AE＝＝＝13，
∴AC+CE的最小值为13；
（3）如图2，由（2），使AB＝5，ED＝1，DB＝8，连接AE交BD于点C，
∴，
∴AE的长即为代数式最小值，
∵四边形ABDF为矩形，
∴AB＝DF＝5，AF＝BD＝8，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，．
六.（本大题1小题，共12分)
23．如图，直线y＝kx﹣2与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1．
（1）求k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx﹣2上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，探索：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是1；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；
（2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；
（3）①利用三角形的面积求出求出点A坐标；
②设出点P（m，0），表示出AP，OP，计算出OA，分三种情况讨论计算即可得出点P坐标．
解：（1）∵OB＝1，
∴B（1，0），
∵点B在直线y＝kx﹣2上，
∴k﹣2＝0，
∴k＝2
（2）由（1）知，k＝2，
∴直线BC解析式为y＝2x﹣2，
∵点A（x，y）是第一象限内的直线y＝2x﹣2上的一个动点，
∴y＝2x﹣2（x＞1），
∴S＝S△AOB＝×OB×|yA|＝×1×|2x﹣2|＝x﹣1，
（3）①如图，
由（2）知，S＝x﹣1，
∵△AOB的面积是1；
∴x＝2，
∴A（2，2），
∴OA＝2，
②设点P（m，0），
∵A（2，2），
∴OP＝|m|，AP＝，
①当OA＝OP时，∴2＝|m|，∴m＝±2，∴P1（﹣2，0），P2（2，0），
②当OA＝AP时，∴2＝，∴m＝0或m＝4，∴P3（4，0），
③当OP＝AP时，∴|m|＝，∴m＝2，∴P4（2，0），
即：满足条件的所有P点的坐标为P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（4，0），P4（2，0）．