北京市第十五中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷

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1．（5分）圆x2+y2+2y＝1的半径为（ ）
A．1B．C．2D．4
2．（5分）在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为﹣1且倾斜角为的直线方程为（ ）
A．x+y+1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣y+1＝0D．x﹣y﹣1＝0
3．（5分）已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥，那么实数x+y等于（ ）
A．3B．﹣3C．9D．﹣9
4．（5分）直线kx﹣y+1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）
5．（5分）“m＝n”是“方程mx2+ny2＝1表示圆”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）对于空间任意一点O，若＝++，则A，B，C，P四点（ ）
A．一定不共面B．一定共面
C．不一定共面D．与O点位置有关
7．（5分）已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝，＝，＝，用，，表示，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4，O2：（x﹣a﹣1）2+（y﹣b﹣2）2＝1，（a，b∈R）那么两圆的位置关系是（ ）
A．内含B．内切C．相交D．外切
9．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ABC＝90°，P为侧棱CC1上任意一点，Q为棱AB上任意一点，PQ与AB所成角为α，PQ与平面ABC所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）
A．α＝βB．α＜βC．α＞βD．不能确定
10．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E，F，G分别是线段B1B，AB和A1C上的动点，观察直线CE与D1F，CE与D1G．给出下列结论：
①对于任意给定的点E，存在点F，使得D1F⊥CE；
②对于任意给定的点F，存在点E，使得CE⊥D1F；
③对于任意给定的点E，存在点G，使得D1G⊥CE；
④对于任意给定的点G，存在点E，使得CE⊥D1G．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案作答在答题纸上）
11．（5分）若直线ax+y﹣b＝0与直线x﹣3y+1＝0垂直（a，b∈R），则a＝ ．
12．（5分）已知圆心为点（2，﹣3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是 ．
13．（5分）圆x2+y2﹣4x+2y﹣5＝0与直线x+2y﹣5＝0相交于P1，P2两点，则|P1P2|＝ ．
14．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则＝ ．
15．（5分）若直线（3a+2）x+y+8＝0不过第二象限，则实数a的取值范围是 ．
16．（5分）若直线y＝x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为 ．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分.把答案作答在答题纸上）
17．（13分）已知圆C经过坐标原点O和点（2，2），且圆心在x轴上．
（Ⅰ）求圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l经过点（1，2），且l与圆C相交所得弦长为2，求直线l的方程．
18．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AA1＝2．M，N分别是C1D1，CC1的中点．
（1）求异面直线A1N与MC所成角的余弦值；
（2）设P为线段AD上任意一点，求证：MC⊥PN．
19．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝2，E是AB中点．
（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1CE；
（Ⅱ）求直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值．
20．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC为等边三角形，∠APC＝90°，AC＝2PA＝4，且平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅰ）求三棱锥P﹣ABC的体积；
（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．
21．（15分）已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．