2023北京北师大附中高二（下）期中试卷数学（答案在末尾）

这是一份2023北京北师大附中高二（下）期中试卷数学（答案在末尾），共11页。试卷主要包含了 抛物线的准线方程为， 函数在点处的导数值是， 若…，则…， 若函数有极小值，则等内容，欢迎下载使用。

班级 姓名 学号
选择题（每小题4分，共48分，每题均只有一个正确答案）
1. 椭圆 QUOTE x29+y24=1 的长轴长为（ ）
A．3B．6C．8D．9
2. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数在点处的导数值是( )
A. B. C. D.
4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》均有着十分丰富的内容.某中学计划将这4本专著作为高中阶段“数学文化”校本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将4门选完，则小南同学的不同选修方式有（ ）种.
A． B． C． D．
6. 若…，则… （ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
7. 5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为（ ）
A. 24B. 48C. 60D. 72
8. 若函数有极小值，则（ ）
A．B．C．D．
9. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A. 有极大值 B. 有极小值
C. 有极大值 D. 有极小值
10. 已知点P是椭圆 QUOTE x225+y216= 上一动点，Q是圆上一动点，点M（6，4），则|PQ||PM|的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
11. 已知和是定义在R上的函数，且，则“有极值点”是“和中至少有一个函数有极值点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
12. 设点A，，的坐标分别为，，动点满足：，给出下列四个结论：
① 点P的轨迹方程为；
② ；
③ 存在4个点P，使得的面积为；
④ .
则正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题5分，共30分）
13． 展开式的常数项是__________.
14． 若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则________.
15. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则_________.
16．已知双曲线的焦点为，，实轴长为2，则双曲线的离
心率是________；若点是双曲线的渐近线上一点，且，则
的面积为________．
17. 若函数在区间上单调递增，则实数a的一个取值是__________.
18. 已知函数，给出下列四个结论：
①对任意的实数，一定有极值点；
②当时，一定存在零点；
③当时，在区间上一定有两个极值点；
④存在无数个实数k，使有最大值．
其中所有正确结论的序号是______________.
三、解答题（共5小题，共72分.解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）
19. （本小题14分）
已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点.
（ = 1 \* ROMAN I）求椭圆的方程；
（ = 2 \* ROMAN II）求的面积.
20.（本小题14分）
已知函数．
（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
21.（本小题15分）
已知椭圆：的离心率为，且椭圆经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，与直线交于点，设，，，求证：为定值．
22.（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证:对任意的成立.

23.（本小题14分）
已知是由非负整数组成的无穷数列．该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．
（Ⅰ）若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出,,,的值；
（Ⅱ）设是非负整数．证明：（）的充分必要条件为是公差为的等差数列；
（Ⅲ）证明：若，（），则 QUOTE {an} 的项只能是或者，且有无穷多项为．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共48分，每题均只有一个正确答案）
二、填空题（每小题5分，共30分）
13. 14. 15. 3 16. ； 17. （答案不唯一）
18. ②④
三、解答题（共5小题，共72分.解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程）
19.（本小题14分）
解：（ = 1 \* ROMAN I） 由已知有解得
所以椭圆的方程为. ……………………………………5分
（ = 2 \* ROMAN II）由消去，整理得.
设，则
直线的方程为，到直线的距离.
所以的面积为. ………………14分
20.（本小题14分）
解：（1）因为，所以，所以.
因为在处的切线方程为.
所以，解得. ……………………………………5分
（2）因为，，所以，
①当，即时，在恒成立，
所以在单调递增；所以最小值为；
当时，令，或（舍）
②当，即时，，
所以在单调递减；所以最小值为；
③当，即时，
因此，的减区间为，增区间为．
所以当时，有最小值为. …………………………………14分
21.（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意可知得，．
所以椭圆的方程为．……………5分
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为．
由得所以．
由得.
整理得.
由，得．
设直线与椭圆的交点，，
则，.
因为，且，，
，，
所以
.
因为
，
所以. ……………15分
22.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为 所以
当时， 所以，而
曲线在处的切线方程为
化简得到
…………………………….5分
（Ⅱ）法一：
因为，令
得
当时，，，在区间 的变化情况如下表:



所以在上的最小值为中较小的值，
而，所以只需要证明
因为，所以
设，其中，所以
令，得，
当时，，，在区间 的变化情况如下表:


所以在上的最小值为，而
注意到， 所以，问题得证
…………………………….15分

法二：
因为“对任意的，”等价于“对任意的，”
即“，”，故只需证“，”
设 ，所以
设， 令，得
当时，，，在区间 的变化情况如下表:

所以上的最小值为，而
所以时，，所以在上单调递增
所以
而，所以，问题得证
法三：
“对任意的，”等价于“在上的最小值大于”
因为，令
得
当时，，，在在上的变化情况如下表:



所以在上的最小值为 中较小的值，
而，所以只需要证明
因为，所以
注意到和，所以
设，其中
所以
当时，，所以单调递增，所以
而
所以，问题得证
法四：
因为，所以当时，
设，其中 所以
所以，，的变化情况如下表:

所以在时取得最小值，而
所以时，
所以
23.（本小题14分）
解：（Ⅰ），，，. …………..4分
（Ⅱ）充分性：
因为是公差为的等差数列，且，所以
．
因此，，（）
必要性：
思路1：因为（），所以．
又因为，，
所以．
于是，，．
因此，
即是公差为的等差数列．
思路2：反证法
若（），假设是第一个使得的项，即，
所以，，，进而可得
，这与矛盾.
因此对任意的正整数，都有．
进而可得，，即，
因此是公差为的等差数列. …………..9分
（Ⅲ）思路1：首先，中的项不能是，否则，矛盾.
其次，中的项不能超过，用反证法证明如下：
若中有超过的项，设是第一个大于的项，
中一定存在某项为，否则与矛盾.
当时，，否则与矛盾；
因此存在最大的在到之间，使得，此时
综上，中没有超过的项，
所以中的项只能是或.
下面证明有无数个，用反证法证明如下：
若为最后一个，则，矛盾.
因此有无数个.
思路2：因为，，所以，．
故对任意，．
假设（）中存在大于的项．
设为满足的最小正整数，
则，并且对任意，．
又因为，所以，且．
于是，，．
故，与矛盾．
所以对于任意，有，即非负整数列 QUOTE .{an}. 的各项只能为1或2．
因为对任意，，
所以．
故．
因此对于任意正整数，存在满足，且，即数列 QUOTE .{an}. 有无穷多项为1．
…………分
考
生
须
知
本试卷有三道大题，共5页。考试时长120分钟，满分150分。
考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，考生应将答题纸交回。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
10
B
D
B
A
C
C
A
D
A
C
D
B
-
0
+
↘
极小值
↗
0
0
极大值
极小值
0
极小值
0
极小值
0
0
极大值
极小值
0
极小值