初中数学3.3 圆周角优秀ppt课件

这是一份初中数学3.3 圆周角优秀ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了3圆周角，习题33，解分两种情况等内容，欢迎下载使用。

请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角.
(1) 如图3-22，点A，B，C是⊙O上的三个点. 以A为端点作射线AB，AC，得到了一个怎样的角?
(2) (1)中的∠BAC有什么特征?
∠BAC 的顶点在圆上，并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦，像这样的角叫做圆周角 .
(3) 圆周角与心角有什么不同?
圆周角与圆心角的区别： ①顶点的位置不同：圆周角的顶点在圆上，圆心角的顶点在圆心； ②角的两边是圆的不同元素：圆周角的两边在圆内的部分都是圆的弦，圆心角的两边在圆内的部分都是圆的半径.
(4) 观察图3-23 中的各角，其中哪些是圆周角?哪此是圆心角?
④中的∠A 是圆周角，⑤中的∠A，∠B，∠C 是圆周角，⑥中的∠A 是圆周角，④中的∠BOC 是圆心角，⑤中的∠AOB 是圆心角，⑥中的∠BOC，∠AOC，∠AOB 是圆心角.
任意画一个⊙O，在圆上任意取三个点A，B，C，连接AB，AC. (1) 圆心O与∠BAC有几种可能的位置关系? 与同学交流.
圆心与同圆上的圆周角的位置关系有三种情况： 圆心在周角的一边上(图3-24①)， 圆心在圆周角的内部(图3-24②)， 圆心在周角的外部(图3-24 ③)
(2) 在图3-24①中，AB是⊙O的直径，连接OC，你发现∠BOC与∠BAC有什么位置关系和数量关系?
(3) 能将问题(2)中的结论推广到图 3-24②③吗?由此你猜想圆周角与它所对弧上的心角有怎样的数量关系?怎样证明你的结论?
在图3-24②③中作出圆心角∠BOC及过A点的直径，可利用图3-24①中的结论，发现∠BAC与∠BOC之间有同样的关系.
对于②③两种情况，通过作直径AD，原来的圆周角就转化为圆心 O在其一边上的两个圆周角的和或差，利用(1)的结论，就能推出 (2)和(3)的结论.
(3) 当圆心O在∠BAC的外部时(图3-25 ③)，你能给出证明吗? 试一试，与同学交流.
归纳以上三种情况的结论，就得到
圆周角定理 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半.
因为圆心角与它所对弧的度数相等，因而由圆周角定理可以直接得到
推论1 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
解：点C在AB的位置有两种情况：
1. 如图，在⊙O中，∠AOB＝70°，OB⊥AC，垂足为点D，求∠OBC的度数.
于是，便得到圆周角定理的另一个推论:
推论2 同弧或等弧上的圆周角相等; 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
(3) 如图 3-28，在⊙O中，AB 是圆的直径，C是圆上异于A，B 的一点. ∠ACB的度数是多少?为什么? 反过来，如果 ∠ACB是⊙O的圆周角，∠ACB＝ 90°，那么它所对的弦经过圆心吗? 为什么?
于是，得到圆周角定理的第3个推论：
推论3 直径所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径.
如图3-30，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，点O为圆心. △ADC与△ABE相似吗? 说明理由
解：△ADC∽△ABE.
理由如下： ∵AE为⊙O的直径 ∴∠ABE＝90°. ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°，∠ADC＝∠ABE. ∵∠ACD ＝∠AEB， ∴ △ADC∽△ABE.
如图，延长 CD交 ⊙O 于点M.
(2) 你能找出图中所有相等的圆周角吗?
解：∠1＝∠4＝∠5＝∠8， ∠2＝∠7， ∠3＝∠6， ∠ADC＝∠BCD， ∠ABC＝∠BAD.
2. 某种工件有一个凹面，凹面的横截面为半圆时为合格 品. 利用一个角尺可以检验制作的工件是否合格. 下列 四种情况中，合格的工件是________，为什么?
因为只有(3)符合 90°的圆周角所对的弦是直径.
(1) 如图3-32，四边形ABCD的顶点与⊙O具有怎样的关系?
像这样，所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 在图3-32 中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.
(2) ∠A与∠C是四边形ABCD 的一组对角，也都是⊙O的圆周角，它们在⊙O中所对的分别是哪两条弧?这两条弧有什么关系?从而∠A与∠C具有怎样的数量关系? ∠B与∠D也具有这样的数量关系吗?
于是，得到圆周角定理的第4个推论：
推论4 圆内接四边形的对角互补.
如图，四边形ABCD 内接于⊙O，已知∠BOD＝140°，求∠C的度数.
证明：∵ BF＝DA， ∴∠BAE＝∠ACD. ∴四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC＋∠D＝180°. ∵∠ABC＋∠ABE＝180°， ∴ ∠ABE ＝∠D. ∴ △CDA∽△ABE. ∴∠CAD ＝∠E.
如图3-35，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，求BC的长.
如图，设圆心为O，延长 AD，BC 交于点E.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠B＝90°，∴∠ADC＝180°－∠B＝90°.∴∠CDE＝90°.∵∠A＝60°，∴∠E＝30°.
1. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝ 98°，求∠A与∠C的度数.
2. 如图，在圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，并且 AC ⊥BD，∠BAD＝70°，求四边形ABCD其余各角的大小.
解：∵AC 平分BD，AC⊥BD， ∴AC 是弦 BD 的垂直平分线. ∴AC是⊙O 的直径. ∴∠CBA ＝ ∠CDA ＝ 90°. ∵∠BAD＋∠BCD＝180°， ∠BAD＝70°， ∴∠BCD＝110°.
1. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠ACB＝30°， 求∠BAO的度数.
3. 如图，在方格纸上有一个圆.你能用不带刻度的直尺 确定它的圆心吗? 说明确定圆心的方法和理由.
解：能.方法：作两个 90°的圆周角所对的弦，使它们交于一点，这个交点就是圆心.理由如下：90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
4. 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径. 求∠ADB和∠CBD的度数.
6. 如图，D是△ABC的外接圆上的一点. AD平分△ABC的外角∠EAC， 求证：BD＝CD.
8. △ABC中，已知∠B＝ 60°，AC ＝ 3，求△ABC的 外接圆的半径.
解：如图，连接 AO并延长交⊙O 于点B′，连接 B′C. ∵AB′是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°
解：△APQ 是等腰三角形. 证明如下： 连接 AE，AF，如图所示.
证明：如图，连接AD.
解：△ADE 与△DOE 是等边三角形.
解：△ADE 的形状改变， △DOE 的形状不变.
∵∠BDO＝∠B，∠CEO＝∠C， ∴∠B＋∠BDO＋∠C＋∠CEO＝240°. ∵∠B＋∠BDO＋∠BOD＋∠C＋∠CEO＋∠EOC＝360°， ∴∠BOD＋∠EOC＝120°， ∴∠DOE＝60°， ∴△DOE 是等边三角形.
∵∠B＋∠DEC＝180°，∠DEC＋∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，同理 ∠ADE＝∠C.而∠B与∠C 都不一定为 60°，∴ ∠AED 与∠ ADE 都不一定等于 60°，∴△ADF 不一定是等边二角形
解：△ABE≌△ADF.
证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD. ∵∠ABE＝∠ADF，BE＝DF. ∴△ABE≌△ADF(SAS)