初中数学青岛版（2024）九年级上册3.7 正多边形与圆一等奖ppt课件

这是一份初中数学青岛版（2024）九年级上册3.7 正多边形与圆一等奖ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了加油站，圆面积的估算，真命题，高斯与正十七边形，正十七边形的尺规作法，习题37等内容，欢迎下载使用。

3 . 7 正多边形与圆
理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形的性质解决有关问题．
你还记得什么叫正多边形吗?说出你常见的几种正多边形？
观察图3-58中的正多边形，思考下面的问题： (1) 它们都是轴对称图形吗?如果是，分别画出每个图形所有的对称轴并说出这些对称轴是怎样的直线.
正三角形的对称轴是三边的垂直平分线；
正方形的对称轴是边的垂直平分线和对角线所在的直线；
正五边形的对称轴是边的垂直平分线；
正六边形的对称轴是边的垂直平分线和相隔两个顶点的连线所在的直线.
(2) 正三角形有几条对称轴?正四边形、正五边形、正六边形呢?由此你能猜测正n边形有几条对称轴吗?
正三角形有3条对称轴； 正四边形、正五边形、正六边形分别有4条5条6条对称轴； 正 n 边形有 n 条对称轴.
(3) 通过画图，你发现正多边形的各条对称轴有怎样的特征?由此你能推出正多边形的什么性质?
正多边形的各条对称轴相交于一点.性质：正多边形的各条对称轴相交于一点.
(4) 利用尺规作出一个正三角形的外接圆和内切圆，你发现正三角形的外接圆的圆心与内切圆的圆心有什么特征?
是同心圆，且圆心是各对称轴的交点. 该点到正三角形的各顶点的距离相等，到三边的距离也相等.
(5) 画出一个正方形，你能说出它的外接圆和内切圆的位置吗?你发现正方形的外接圆与内切圆有什么特征?
正方形的外接圆与内切圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点. 该点到正方形的各顶点的距离相等，到四条边的距离也相等.
(6)由 (4)(5)你猜测正多边形都有外接圆和内切圆吗?如果有，它们的外接圆与内切圆有什么特征(图3-59)?
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点.
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴. 正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心是各对称轴的交点.
如图3-60，正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
你能分别说出图 3-60 中正方形与正六边形的中心、半径、边心距和中心角的度数吗?
(7) 正n边形的n条半径把正n边形分成了n个怎样的图形?相应的边心距把其中每一个图形又分成了两个怎样的图形?
正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成了两个全等的直角三角形.
(8) 如果正三角形的边长为 a，那么它的外接圆的半径r和内切圆的半径 d分别是多少?它们之间满足什么关系?一般地，如果正n边形的边长为 an，半径为rn，边心距为d，这三个量之间有什么关系?
(9) 以正n边形的中心O为旋转中心，将正n边形旋转 360°，你能得到什么结论?
(10) 正n边形是中心对称图形吗?
当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，它的中心O是对称中心. 当n为奇数时，正n边形不是中心对称图形.
一个正六边形花坛的半径为R，求花坛的边长a，周长p和面积S.
解：如图 3-61，ABCDEF 为正六边形. 连接OA，OB，作OG⊥AB，垂足为点G，则OA＝OB＝R，AB＝a.
通过作出正多边形的半 径和边心距，可以把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题.
这种近似算法可以利用图 3-62 解释：作一个直径为9的圆和圆的外切正方形. 将正方形的各边三等分，连接相应的分点，正方形被分成9个边长为3 的小正方形. 分别连接图 3-62中四个角上小正方形的一条对角线，得到一个八边形.
注意这个八边形的各内角都是 135°，但不是正八边形. 图中直径为 9的圆的面积十分接近这个八边形的面积. 利用数方格的方法可知图中八边形的面积等于7个小正方形的面积，即7 × 32 ＝ 63.
现在，我们会用公式 S＝πR2计算出直径为9的圆的面积为 63.62 (精确到0.01).它与边长为8的正方形的面积仅相差 0.38.相当于在利用圆面积公式时，π取3.160 49. 从中你能感受到古埃及人的聪明才智吗?
1. 下面的命题是真命题吗? 如果不是，请举出一个反例. (1) 正多边形的对称轴是经过正多边形的顶点和中心的直线；
假命题. 反例：正方形的对称轴为经过正方形对边中点的直线及两条对角线所在的直线.
(2) 边数为偶数的正多边形，既是轴对称图形又是中心对称图形； (3) 既是轴对称图形，又是中心对称图形的多边形是正多边形；
假命题. 反例：菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，但它不一定是正多边形.
(4) 有一个外接圆和一个内切圆的多边形是正多边形.
假命题. 反例：直角三角形既有外接圆也有内切圆但不是正多边形.
2. 完成下表中正多边形的计算，并把计算结果填入表内：
如图3－64，A，B，C，D，E 都是⊙O上的点，且∠AOB ＝∠BOC＝∠COD ＝∠DOE . 思考下面的问题：
(1) 弦AB，BC，CD，DE 的长相等吗? 为什么?
∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∴AB＝BC＝CD＝DE.
(2) ∠ABC，∠BCD，∠CDE是否相等?为什么?
∵ ∠AOB＝ ∠BOC＝ ∠COD＝ ∠DOE，∴ ∠OAB ＝ ∠OBA ＝ ∠OBC ＝ ∠OCB ＝ ∠OCD ＝∠ODC＝ ∠ODE＝∠OED.∵∠ABC ＝∠OBA ＋∠OBC， ∠BCD ＝ ∠OCB ＋∠OCD， ∠CDE＝∠ODC ＋ ∠ODE，∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE.
(3) 由(1)与(2)，你能将圆周n 等分吗?你能设计一种画正n边形的方法吗?与同学交流.
先计算出正n边形的边所对应的圆心角，再确定圆心角所对应的弦长，按照弦长依次等分圆周即可.
你能用上面的方法画一个正五边形吗?试一试.
用直尺和圆规作圆的内接正方形.已知：⊙O (图3－66).求作：⊙O的内接正方形ABCD.
利用圆内接正方形的对角线是外接圆的直径，并且对角线互相垂直平分的性质，能用尺规作出⊙O的内接正方形吗?
作法： (1) 过圆心O作⊙O的任意一条直径AC. (2)过点O作AC的垂线，交⊙O于B，D两点. (3) 顺次连接点A，B，C，D，A. 四边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正方形.
用直尺和圆规作圆的内接正六边形.已知：⊙O(图3－66).求作：⊙O的内接正六边形.
利用圆内接正六边形的边长等于圆的半径，可以作出圆内接正六边形.
作法： (1)如图 3-68，在⊙O上任取一点A，自点A起依次截取长度等于半径OA的弦，得到点B，C，D，E，F. (2) 顺次连接点 A、B、C，D、E，F、A. 六边形ABCDEF就是求作的⊙O的内接正六边形.
解决了用尺规作圆内接正四边形、正六边形的问题后，你认为哪些边数的圆内接正多边形的尺规作图问题都随之得到解决?
1796年的一个晚上，德国格丁根大学，一个19岁的大学二年级学生照例开始做导师每天单独布置的数学题.前两题顺利，第三题写在一张小纸条上，要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出正十七边形.
青年没在意，做着做着，却感到越来越吃力.困难激起了他的斗志，他拿着圆规和直尺，在纸上尝试着一些超常规的思路. 直到窗外露出一丝曙光，青年才长舒一口气，终于找到了作法.
导师看到作业当即惊呆了，他声音颤抖地说：“知道吗，你解开了一道有两千多年历史的数学悬案! 欧几里得没有解出来，阿基米德没有解出来，牛顿也没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了!我最近正研究这道难题，昨天给你布置习题时，不小心把那张小纸条夹在了给你的题目里.” 这个大学生就是高斯( Gauss. 1777－1855).多年后他感慨地说：“当初若知道这是两千年未解的难题，我不可能在一个晚上解决它”
后来高斯成为著名数学家、物理学家、天文学家，他是近代数学的奠基者之一，被誉为“数学王子”.《正十七边形尺规作图之理论与方法》是高斯在青年时期取得的一项重要成果.高斯生前曾交代去世后将这个图形刻在自己的墓碑上. 但后来他的墓碑上并没有刻上正十七边形，而是一个正十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太相近了，大家会分辨不出来.
高斯在童年时代就表现出非凡的数学天分：三岁学会算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩. 1799 年高斯以代数基本定理的第一个实质性证明获得博士学位.他的数学成就几乎遍及数学的各个领域，其中许多都有着划时代的意义.
同时，高斯还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究也都有杰出的贡献.高斯一生共发表155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来.
步骤二： 作AE中点M，并以M为圆心，MA为半径作圆，此圆交 OB于点F； 再以D为圆心，DF为半径作圆，此圆交直线OA于G4和G6两点.
步骤三： 过G4作OA的垂线，交⊙O于P4； 过G6作OA的垂线，交⊙O于P6； 则以⊙O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点，P4为第四顶点，P6为第六顶点.
1. 用直尺、圆规把一个已知圆三等分.
解：如图所示 (1) 作⊙O，作直径AB. (2) 以点 A 为圆心，⊙O 的半径长为半 径作弧交⊙O于点 C，D. (3) 点 C，B，D 将⊙O三等分.
2. 用量角器画一个正五边形.
解：如图所示 (1)作⊙O，先用量角器画一个72°的圆心角∠AOB，交⊙O于点A，B，再画一个 72°的圆心角∠BOC，交⊙O于点C.以此类推得出点 D，E. (2)顺次连接点 A，B，C，D，E，A 五边形ABCDE 就是所求作的正五边形.
1. 如图，正六边形ABCDEF的顶点都在以原点为圆心、以 2 为半径的圆上，点B在y轴正半轴上. 求正六边形ABCDEF各顶点的坐标.
2. 如图，正六边形螺帽的边长 a＝12 mm， 要使扳手夹紧螺帽，扳手的开口b最 小应是多少?
3. 在一种联合收割机上，拨禾轮的侧 面是正五边形，边长是48 cm. 求它的 半径R5和边心距 r5 ( 精确到 0.1 cm ).
4. 用尺规作圆的内接正八边形.
解：在⊙O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把⊙O 分成4 等份，从而作出正方形，若再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形.
5. 用等分圆周的方法画出下列图案.
6. 如图，将边长为20 cm 的正方形铁片剪成一个正八边 形求正八边形的边长(精确到0.1 cm).
7. 如图，DEFGHI是正六边形，延长边 DE，FG，HI 分别相交于点 A，B，C. 设△ABC的周长为 P3，面积为 S3，六边形 DEFGHI 的周长为P6，面积为S6. 求 P6∶P3及 S6∶S3 的值.
8. 如图，分别是正方形、正五边形和正六边形. (1)分别计算图中画出的这三个正多边形的“相邻”两条对角线的夹角的度数；
(2) 探究正n边形的“相邻”两条对角线的夹角的度数.