初中数学青岛版（2024）九年级上册4.4 用因式分解法解一元二次方程评优课课件ppt

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4 . 4 用因式分解法解一元二次方程
1.了解因式分解法解一元二次方程的概念，并会用分解因式法解某些一元二次方程. 2.通过因式分解法解一元二次方程的学习，树立转化的思想.
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(x＋m)2＝n (n≥0)
对于一元二次方程 x2＋7x＝0，用配方法和公式法都可以求出它的解. 还有更简便的求解方法吗?
思考下面的问题： (1) 这个方程的两边有什么特征?
方程的右边为 0. 左边可以分解成两个一次因式的积.
当一元二次方程的一边是0，另一边可以分解为两个一次因式的积时，可分别令两个一次因式为 0，得到两个一元一次方程. 这两个一元一次方程的根都是原一元二次方程的根.
把方程左边的多项式进行因式分解，得x(x＋7) ＝0.从而 x＝0，或 x＋7＝0.所以 x1＝0，x2＝－7.
你同意小莹的解法吗?这种解法的根据是什么?分别用配方法和公式法解原方程，验证用三种方法求得的根都是一致的.
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
用因式分解法解方程： (1) 15x2＋6x＝0；
(2) 4x2－9＝0.
运用因式分解法，通过降低未知数的次数，便把解一元二次方程的问题转化为解两个元一次方程的问题.
用因式分解法解方程：(2x ＋1)2＝ (x－3)2.
解：移项，得 (2x＋1)2－(x－3)2＝0. 把方程的左边进行因式分解，得(2x＋1＋x－3)(2x＋1－x＋3) ＝0. 即 (3x－2)(x＋4) ＝0. 从而 3x－2＝0，或 x＋4＝0
对于例2，你还有其他的求解方法吗?
(1)对于本节开始给出的方程 x2＋7x＝0，小亮是这样解的：
把方程两边同除以x，得 x＋7 ＝ 0 .所以 x ＝ － 7.
怎么少了一个根? 你知道小亮的解法错在什么地方吗?
本题中的 x可以是0，因此方程两边不能同时除以 x.
(2) 对于例2，大刚想到的解法是：
把原方程两边开平方，得2x ＋ 1 ＝ x－3所以 x ＝ －4.
怎么也少了一个根?你知道大刚的解法错在什么地方吗?
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，大刚的解法错在忽略了另一种情况.
1. 用因式分解法解下列方程： (1) 3x2 ＋ x ＝ 0；
(3) 4x2 － 81 ＝ 0；
(4) 9(x＋5)2＝1.
1. 用因式分解法解下列方程： (1) 9x2－25＝0；
(2) 16x2＋10x＝0；
(4) (x－1)x＝2(x－1).
解：方程变形为(x－1)x－2(x－1)＝0. 方程左边因式分解，得 (x － 1)(x － 2) ＝ 0. 从而 x－1＝ 0，或 x－2 ＝ 0， ∴ x1 ＝ 1，x2 ＝ 2.
2. 用因式分解法解下列方程：
(1) (2x＋1)2－x2＝0；
(2) 16(3x＋1)2＝9(x＋2)2；
(3) 2(x＋2)2＝3(x＋2)；
(4) (x－2)(2x＋1) ＝1＋2x.
3. 当x取何值时，代数式 (3x－2)2与2(2－3x) 的值相等?
解：若代数式 (3x－2)2 与 2(2－3x) 的值相等， 则(3x－2)2 ＝ 2(2－3x)， ∴ (3x－2)2－2(2－3x)＝0， ∴(3x－2)(3x－2＋2)＝0， 从而 3x－2＝0，或 3x ＝ 0，
4. 用因式分解法解下列方程： (1) 5x(x－2) －x＋2＝0；
(2) x2－ (x－3) ＝9.
解：方程变形为 x2－3－(x－3) ＝0， ∴(x＋3)(x－3)－(x－3) ＝0. 把方程的左边进行因式分解，得 (x－3)(x＋3－1) ＝0， 从而 x－3＝0，或x＋2＝0， ∴ x1＝3，x2＝－2.
5. 填空： 关于x的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根为 x1 ＝1，x2＝2，则二次三项式ax2 ＋bx＋c可分解因式为_______________________.
a(x－1)(x－2)
7. 对于一元二次方程 (2x－5)2 ＝ (x－2)2，你有几种不同 的解法?你认为哪种方法最简便?