2025高考数学一轮复习-2.1-函数的概念及其表示【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-2.1-函数的概念及其表示【课件】，共59页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，函数的概念，实数集，任意一个数x，解析法，0＋∞，x2－1x≥0，考点突破题型剖析，fx＝3x－2，角度1分段函数求值等内容，欢迎下载使用。

ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
2.同一个函数(1)前提条件：①定义域______；②对应关系______.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有________、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的______.
解析　(1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域可以为B的子集.(3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应.(4)错误.只有两个函数的定义域，对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一函数.(　　)(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)(3)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数.(　　)(4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两个函数是同一个函数.(　　)
解析　A中的值域不满足，B中的定义域不满足，D项不是函数的图象，由函数的定义可知C正确.
2.(易错题)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　　)
即x＞0且x≠－1，所以函数的定义域为(0，＋∞).
则f(t)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥0).
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
解析　根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足.
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　)
解析　同一函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足.
2.(多选)下列各组函数是同一函数的为(　　)
3.已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________.(填序号)
A.(0，4)B.[0，2)∪(2，4]C.(0，2)∪(2，4)D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析　要使函数有意义，
解得0＜x＜4且x≠2.
A.[1，2] B.[2，＋∞)C.[1，2) D.(1，2]
解析　根据函数f(x)的解析式，
所以函数f(x)的定义域为[1，2).
解析　由题意可知函数f(x)的定义域为[－1，1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又由g(x)满足1－x＞0且1－x≠1，解得x＜1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0，1).
当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12所以ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.
解　(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t.∵f(1－sin x)＝cs2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].
例1 求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式；
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
解　(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.解　(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.
代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3(t≥1)，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).
x2－4x＋3(x≥1)
(2)已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为______________.
解析　∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝kx＋b，k≠0，则f(2)＝2k＋b，f(1)＝k＋b，f(0)＝b，f(－1)＝－k＋b.
解得k＝3，b＝－2，∴f(x)＝3x－2.
解析　由f(x)＝f(x－3)得f(x＋3)＝f(x)，因而f(2 021)＝f(3×673＋2)＝f(2)＝f(2－3)
解析　由f(x)的定义域，知a>0.当0当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，无解.
解析　∵f(1)＝21＝2，∴f(a)＋2＝0，∴f(a)＝－2，当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，∴a＝－3，当a＞0时，f(a)＝2a＝－2，方程无解，综上有a＝－3.
角度2　分段函数与方程、不等式问题
解析　当x≤0时，x＋1≤1，f(x)当01，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝lg2(x＋1)>0，∴01时，f(x)求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.
解　(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6).
例 求下列函数的值域：(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
解　函数的定义域为[1，＋∞)，
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
解析　A中f(x)的定义域是(0，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；B中f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；
1.下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
D中的函数是同一个函数.
解析　图象A关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图象B中x0对应2个y，所以A，B均不是函数图象；图象C，D可以是函数图象.
2.(多选)下列所给图象可以是函数图象的是(　　)
A.(2，3) B.(2，＋∞)C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)
故函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).
解析　函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，即函数y＝f(x＋1)中的x满足－2＜x＜0，此时－1＜x＋1＜1，记t＝x＋1，则－1＜t＜1，则f(t)的定义域为(－1，1)，也就是f(x)的定义域是(－1，1).要求f(2x－1)的定义域，则－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，∴f(2x－1)的定义域为(0，1).
5.已知函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则f(2x－1)的定义域为(　　)
解析　当a＞0时，－a＜0，
所以2lg2a＞0，解得a＞1；
所以2lg2(－a)＜0，可得0＜－a＜1，即－1＜a＜0.综上，a的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞).
解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.又f(x)＝0，即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根.∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
8.已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝____________.
解析　令t＝x－1，∴t＞0，x＝t＋1，
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
解　这个函数的图象如图.
(2)画出这个函数的图象；
在函数f(x)＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，在函数f(x)＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，在函数f(x)＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分.图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)求f(x)的最大值.解　由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
解　(1)由题意及函数图象，
(1)求出y关于x的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度.
∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70 km/h.
12.(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是(　　)
解析　根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应.因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调.对于A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A可以构造“同值函数”；
所以能够被用来构造“同值函数”的是A，D.
解析　依题意f(x)的值域与g(x)的值域有交集，