2025高考数学一轮复习-2.2-函数的单调性与最大(小)值【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-2.2-函数的单调性与最大(小)值【课件】，共57页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，单调递增，单调递减，区间D，函数的最值，fx≤M，fx0＝M，fx≥M，解得－1≤a＜1，－11等内容，欢迎下载使用。

ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.函数的单调性(1)单调函数的定义
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间.
解析　(1)错误，应对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以.(2)错误，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调区间是(－∞，＋∞).(3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).
2.下列函数中是增函数的为(　　)
解析　∵f(x)的定义域为[1，＋∞)，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9.
5.(易错题)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是___________.
解析　由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3，故f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)，由函数y＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减，故f(x)的单调增区间是(－∞，－1).
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
解析　y＝－sin x和y＝x2－2x＋3在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单增.故选D.
1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是(　　)
其单调递减区间是[0，1).
因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增.
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.解　设1＜x1＜x2，
因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.综上所述，a的取值范围是(0，1].
解析　法一　在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.
易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
当02时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞).
训练1 (1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为___________.
作出函数的图象如图所示.
∴f(x)min＝f(4)＝4，f(x)max＝f(3)＝6，
角度1　比较函数值的大小
例2 设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(　　)
解析　f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，
解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
例3 (1)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].
解析　因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)(2)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是___________________________.
解析　令t＝|x－a|，∴y＝et，t＝|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增.又y＝et为增函数，∴f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，∴a≤1.
例4 (1)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是____________.
角度3　求参数的取值范围
由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
解析　函数f(x)的图象如图所示，
(－∞，1]∪[4，＋∞)
当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b＞a＞c.
f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，由f(a－2)＞3，得f(a－2)＞f(－1)，即－2＜a－2＜－1，即0＜a＜1.
构造函数解决不等式(方程)问题
对于结构相同(相似)的不等式(方程)，通常考虑变形，构造函数，利用基本初等函数的单调性，寻找变量之间的关系，达到解题目的.考查的核心素养是逻辑推理与数学抽象.
解析　由指数和对数的运算性质可得2a＋lg2a＝4b＋2lg4b＝22b＋lg2b.令f(x)＝2x＋lg2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又∵22b＋lg2b<22b＋lg2b＋1＝22b＋lg2(2b)，∴2a＋lg2a<22b＋lg2(2b)，即f(a)例 (1)若2a＋lg2a＝4b＋2lg4b，则(　　)A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a解析　原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增，即f(x)0，所以A正确，B不正确.因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.
(2)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
1.(多选)下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　)
解析　因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2).
3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析　令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1，故函数的定义域为{x|－3＜x＜1}.根据f(0)＝lga3＜0，可得0＜a＜1.又g(x)在定义域(－3，1)内的单调递减区间是[－1，1)，所以f(x)的单调递增区间为[－1，1).
4.已知函数f(x)＝lga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是(　　)A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞)C.[－1，1) D.(－3，－1]
解析　因为对任意x1≠x2，
所以y＝f(x)在R上是增函数，
解析　f(x)＝lga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).设z＝|x－1|，可得函数z在(－∞，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增，由题意可得0＜a＜1，故A正确，B错误；由于0＜a＜1，可得2 021＜a＋2 021＜2 022.又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(a＋2 021)＞f(2 022)，故C正确，D错误.
6.(多选)已知函数f(x)＝lga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则(　　)A.0＜a＜1B.a＞1C.f(a＋2 021)＞f(2 022)D.f(a＋2 021)＜f(2 022)
画出函数图象如图所示，
7.函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为_________________________，单调递减区间为_____________________________.
(－∞，－1]和[0，1]
(－1，0)和(1，＋∞)
单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞).
解析　由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x为奇函数，又易证在定义域R上，f(x)是增函数，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，
8.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为__________.
解析　∵f(x)在R上是奇函数，
又f(x)在R上是增函数，且lg25＞lg24.1＞lg24＝2＞20.8，∴f(lg25)＞f(lg24.1)＞f(20.8)，∴a＞b＞c.
∴f(x)的定义域为(－3，1)，则f(x)＝lga(－x2－2x＋3)，x∈(－3，1).令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，
10.函数f(x)＝lga(1－x)＋lga(x＋3)(0经检验，均满足原方程成立.
(2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值.解　由(1)得f(x)＝lga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)，由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)，∴lga[－(x＋1)2＋4]≥lga4，
解　f(x)在R上单调递增.证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x1(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
∵y＝2x在R上单调递增且x10，2x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(ax)(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)解析　对于a，b：a＝4ln 3π＝ln 34π＝πln 81，b＝3ln 4π＝ln 43π＝πln 64，显然a＞b；
12.已知a＝4ln 3π，b＝3ln 4π，c＝4ln π3，则a，b，c的大小关系是(　　)A.c＜b＜a B.b＜c＜aC.b＜a＜c D.a＜b＜c
∴3ln π＜πln 3，∴ln π3＜ln 3π，∴a＞c；对于b，c：b＝3ln 4π，c＝4ln π3＝3ln π4，
当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，e)上单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(e，＋∞)上单调递减.
解析　当x＞0时，f(x)＝ex－e－x单调递增，且f(0)＝0；当x≤0时，f(x)＝－x2单调递增，且f(0)＝0，所以函数f(x)在R上单调递增.
所以a＞b＞c，所以f(a)＞f(b)＞f(c).
f(c)＜f(b)＜f(a)
当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数，