2025高考数学一轮复习-6.1.2-两个计数原理的综合应用【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-6.1.2-两个计数原理的综合应用【课件】，共57页。PPT课件主要包含了知识梳理，题型探究，组数问题，涂色问题，种植问题，随堂练习，对点练习等内容，欢迎下载使用。
知识点一　两个计数原理的区别与联系
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步.(1)分类要做到“ ”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理 ，得到总数.(2)分步要做到“ ”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分类后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数 ，得到总数.
知识点二　两个计数原理的应用
思考　分类“不重不漏”的含义是什么？答案　“不重”即各类之间没有交叉点，“不漏”即各类的并集是全集.
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法___种，若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法____种.
解析　根据分类加法计数原理，从中任选1名同学参加学科竞赛，共有5＋4＝9(种)选派方法.根据分步乘法计数原理，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，共有4×5＝20(种)选派方法.
2.有一排四个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是____.
解析　每个信号显示窗都有3种可能，故有3×3×3×3＝34＝81(种)不同信号.
4.多项式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)＋(a4＋a5)(b3＋b4)展开式共有____项.
3.十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有____种行车路线.
解析　起点为4种可能性，终点为3种可能性，则行车路线共有4×3＝12(种).
解析　共有3×2＋2×2＝10(项).
解　三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个).
例1　用0,1,2,3,4五个数字.(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？
解　三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个).
(2)可以排成多少个三位数？
解　被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法.因而有12＋18＝30(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
延伸探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？
解　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，从1,2,3,4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个).
跟踪训练1　用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2 000大的四位偶数？
解　完成这件事可分为三类：第一类是个位数字为0的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，有3种选法.由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3＝48.第二类是个位数字为2的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法；
第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，有3种选法.由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3×4×3＝36.第三类是个位数字为4的比2 000大的四位偶数，其方法步骤同第二类.对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个).
二、占位模型中标准的选择
例2　(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？
解　要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)报名方法.
(2)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？
解　每项限报一人，且每人至多报一项，因此跑步项目有4种选法，跳高项目有3种选法，跳远项目只有2种选法.根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有4×3×2＝24(种).
(3)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解　要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军的得主有4种可能结果，所以共有4×4×4＝64(种)可能的结果.
跟踪训练2　某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复).若某车主第1个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有A.180种 B.360种 C.720种 D.960种
解析　按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4＝960(种)情况.
例3　将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
解　第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法.②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法.
延伸探究本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？
解　依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色.第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成.第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法；第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法.于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3×2＝120(种).
第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成.第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法.于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(种).综上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(种).
跟踪训练3　如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，现有5种颜色可供使用，求不同的染色方法.
解　由题意知，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法.当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3，剩余2种颜色分别为4和5.若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.由分类加法计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法.由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有60×7＝420(种).
例4　将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有____种.
解析　分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.(1)若第三块田放c：
第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法.(2)若第三块田放a：
第四块有b或c 2种方法，
第五块有2种方法；②若第四块放b：
第五块只能种作物c，共1种方法.综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法.
跟踪训练4　从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法.
解　方法一　(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18(种).方法二　(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同的种植方法24－6＝18(种).
1.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是A.56 B.65C. D.6×5×4×3×2
解析　每位同学都有5种选择，共有5×5×5×5×5×5＝56(种).
2.如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y