2025高考数学一轮复习-6.1-分类加法计数原理与分步乘法计数原理【课件】

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2 |分步乘法计数原理
　　完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方 法,那么完成这件事共有N=③    m×n    种不同的方法.推广:完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方 法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=④    m1×m2×…×mn    种 不同的方法.
3 |分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较与选择
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的比较
2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 在解决有关计数问题时,应注意合理分类,准确分步,同时还要注意列举法、模型 法、间接法和转换法的应用.
1.在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同. (    ✕　)2.在分类加法计数原理中,每类不同方案中的方法都能完成这件事. (　√　)3.在分步乘法计数原理中,任何一个单独的步骤都能完成这件事. (    ✕　)4.把10个苹果分成三份,要求每份至少有1个,至多有5个,则有4种不同分法. (　√　)若其中一份有1个,则另两份分别有4个、5个,有1种分法;若其中一份有2个,则另两 份分别有3个、5个,或4个、4个,有2种分法;若其中一份有3个,则另两份分别有3 个、4个,有1种分法.所以共有1+2+1=4种分法.5.在一次运动会上有四项比赛,冠军仅在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠 情况共有43种. (    ✕　)因为每个项目的冠军都有3种可能的情况,所以由分步乘法计数原理知,共有34种 不同的夺冠情况.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.
6.三个袋子内共装有18个不同的小球,一个装有5个白色小球,一个装有6个黑色小 球,一个装有7个红色小球,若每次从中取两个不同颜色的小球,则共有36种不同的 取法. (    ✕　)分为三类:一类是取白球、黑球,有5×6=30种取法;一类是取白球、红球,有5×7=35 种取法;一类是取黑球、红球,有6×7=42种取法,所以由分类加法计数原理知,共有3 0+35+42=107种不同的取法. 
1 |两个计数原理的选择与应用
如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经 过乙地到丙地有2条水路可走.  
1.从甲地经乙地到丙地的走法有多少种?提示:根据分步乘法计数原理,可得从甲地经乙地到丙地的走法共有3×2=6种.2.从甲地到丙地的走法一共有多少种?提示:根据分类加法计数原理,可得从甲地到丙地的走法共有6+2=8种.
 两个计数原理在解决计数问题中的应用用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要仔细分析,分清是 分类还是分步. 
 类中有步,步中有类 从A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5种方法. 从A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)种方法.“类”用“+”连接,“步”用“×”连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一件 事的完成,“步”则缺一不可.
 应用两个计数原理的常用方法(1)当涉及元素数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法.(2)当涉及元素数目很大时,一般有两种方法:①直接法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法:先去掉限制条件,计算方法总数,然后减去所有不符合条件的方法数即可.
  在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另外2名 既会下象棋又会下围棋.现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多 少种不同的选法?解析    分四类:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只 会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6种选法;
第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会 下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6种选法;第3类,从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会 下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,有2×2=4种选法;第4类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比 赛,有2×1=2种选法.
故不同的选法共有6+6+4+2=18种.方法总结    在解决实际问题的过程中,并不一定是单一的分类或分步,而是可能同 时应用两个计数原理,即分类时,每类的方法数可能要分步完成;分步时,每步的方法 数可能会采取分类的思想解决.另外,具体问题是先分类后分步,还是先分步后分类, 应视问题的特点而定.解题时经常是两个计数原理交叉使用,分类的关键在于要做 到“不重不漏”,分步的关键在于要正确设计分步的程序,即合理分类,准确分步.
  若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这5个数字中任取2个不同的数字,求该 方程所表示的不同直线的条数.思路点拨以A,B中是否有数字0为标准进行分类计数,或利用排除法求解.解析    解法一:分两类.第一类:当A,B中有一个为0时,方程表示直线x=0或y=0,共2条不同的直线.第二类:当A,B都不为0时,确定直线Ax+By=0需要分两步完成.第一步,确定A的值,有4种不同的方法.第二步,确定B的值,有3种不同的方法.所以该方程所表示的不同直线共有2+4×3=14条.
解法二(间接法):分两步.第一步:确定A的值,有5种不同的方法.第二步:确定B的值,有4种不同的方法.根据分步乘法计数原理,可以确定5×4=20条直线.在这20条直线中,当A=0,B=1,2,3,5时,表示同一直线y=0;当B=0,A=1,2,3,5时,表示同 一直线x=0,即有6条直线是重复计数的.故该方程所表示的不同直线有20-6=14条.名师点评    当问题从正面考虑情况比较多,而从反面考虑情况较少且容易计算时, 宜采用排除法,即先求出方法总数,再减去不符合条件或重复计数的方法数.排除法 体现了“正难则反”的思想.
 涂色问题是计数原理应用的典型问题,一般是指求用几种不同颜色给已知图形的 不同区域(或点)涂色,共有几种涂法的问题.涂色本身就是策略的一个运用过程.涂 色时需要关注图形特征:区域的个数、区域的相邻情况、图形形状等.这些特征都 有可能使分类的标准、分步的过程不同.涂色问题大致有两种解决方案:(1)选择正 确的涂色顺序,按步骤逐一涂色,应用分步乘法计数原理进行计算;(2)先根据涂色时 所用颜色种数的多少进行分类处理,再在每一类的涂色方案的计算中应用分步乘 法计数原理,最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和,即得到最终 的涂色方法数.
  将红、黄、绿、黑四种颜色涂在如图所示的五个区域中,若要求相邻的两个区域
的颜色都不相同,则有多少种不同的涂色方法?