2025高考数学一轮复习-6.3.1-二项式定理【课件】

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(a＋b)n＝ (n∈N*).(1)这个公式叫做二项式定理.(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有 项.(3)二项式系数：各项的系数 (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数.
知识点二　二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第 项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝ .思考　二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？
答案　一般不同.前者仅为 ，而后者是字母前的系数，故可能不同.
1.(a＋b)n展开式中共有n项.(　　)2.在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.(　　)3. an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项.(　　)4.(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同.(　　)5.二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第k＋1项相同.(　　)
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
一、二项式定理的正用、逆用
∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.
跟踪训练1　化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
二、二项展开式的通项的应用
(1)展开式中含x的一次项；
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去).
(2)展开式中所有的有理项.
所以第3项的系数为240.
(1)第3项的二项式系数及系数；
令3－k＝2，解得k＝1，所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
三、求两个多项式积的特定项
例3　(1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
所以a＝－1，故选D.
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为A.10 B.－10 C.2 D.－2
解析　(1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，
跟踪训练3　(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为_____.(用数字作答)
例4　(1)试求2 01910除以8的余数；
解　2 01910＝(8×252＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同.又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.
(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.
证明　32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
跟踪训练4　(1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
且第3项以后(包括第3项)的项的绝对值都远小于0.001，故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988.
1. 的展开式中含x3项的二项式系数为A.－10 B.10 C.－5 D.5
2. 的展开式中的常数项为A.80 B.－80 C.40 D.－40
3.设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于A.x3 B.－x3 C.(1－x)3 D.(x－1)3
4.若(x＋2)n的展开式共有12项，则n＝_____.
解析　原式＝(2＋1)n＝3n.
解析　原式＝(1－2)n＝(－1)n.
5.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是A.－5 B.5 C.－10 D.10
6.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝___.(用数字填写答案)
所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9.
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.
解　设第k＋1项含x3项，
10.已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.
解　由题设知，m＋n＝19，又m，n∈N*，∴1≤m≤18.
＝m2－19m＋171.∴当m＝9或10时，x2的系数有最小值为81，
11.(多选)对于二项式 (n∈N*)，下列判断正确的有A.存在n∈N*，展开式中有常数项B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*，展开式中有一次项
由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.
12.已知2×1010＋a(0≤a