2025高考数学一轮复习-6.3.2-二项式系数的性质【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-6.3.2-二项式系数的性质【课件】，共54页。PPT课件主要包含了知识梳理，题型探究，随堂练习，对点练习等内容，欢迎下载使用。
知识点　二项式系数的性质
思考　若(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为多少？答案　n＝7或8或9.
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
2.二项展开式中各项系数和等于二项式系数和.(　　)
4.二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.(　　)
一、二项展开式的系数和问题
例1　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
解　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
解　令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
知a1，a3，a5为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
解　由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，
(3)a1＋a3＋a5.
解　因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.
延伸探究在本例条件下，求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；
解　因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，所以a0＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
解　因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两边求导数得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
跟踪训练1　已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.(1)求a2的值；
解　∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值.
解　令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.
解　由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.
二、二项式系数性质的应用
例2　已知f(x)＝( ＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；
解　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，
(2)求展开式中系数最大的项.
跟踪训练2　已知 (n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；
∴n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去).
即所求各项系数的和为1.
(2)求展开式中含 的项；
∴展开式中含 的项为
(3)求展开式中系数的绝对值最大的项.
若第k＋1项的系数绝对值最大，
故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项，
即T6＝－1 792，T7＝1 792x－11.
1.已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数的和为32，则n等于A.5 B.6 C.7 D.8
2.(多选) 的展开式中二项式系数最大的项是A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项
即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大.
3.设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于A.4 B.－71 C.64 D.199
解析　∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，令x＝0，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.
4. 的展开式的各项系数的和为____.
5.(2x－1)6的展开式中各项系数的和为____；各项的二项式系数的和为_____.
解析　令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64.
1.在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是A.第n－k项 B.第n－k－1项C.第n－k＋1项 D.第n－k＋2项
故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同.
2.已知(1＋x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为A.212 B.211 C.210 D.29
解析　∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，∴n＝10，∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，
3.(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数之和为A.2n＋1 B.2n－1C.2n＋1－1 D.2n＋1－2
解析　令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.
4.(x－1)11的展开式中x的偶次项系数之和是A.－2 048 B.－1 023 C.1 024 D.－1 024
x的偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024.
5.在的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是A.330 B.462 C.682 D.792
解析　∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11，
6.若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_____.
令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
7.(2x－1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为_______.
解析　设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，
8.已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于_______.
解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32，两式相减可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.
9.在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；
解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
解　各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)所有奇数项系数之和.
解　令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
即n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14.当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项，
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，
(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.
解得n＝－13(舍去)或n＝12.设Tk＋1项的系数最大，
又∵0≤k≤n，k∈N，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项是第11项，
11.(1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则含x4项的二项式系数为A.21 B.35 C.45 D.28
12.在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的A.第11项 B.第13项C.第18项 D.第20项
以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.
13.(多选)设二项式 的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个展开式中系数最大的项是A.第8项 B.第9项C.第10项 D.第11项
所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项.故选CD.
14.设m为正整数，(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝____.
15.(多选)(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为A.a＝1，b＝2，n＝5 B.a＝－2，b＝－1，n＝6C.a＝－1，b＝2，n＝6 D.a＝－1，b＝－2，n＝5
解析　只要令x＝0，y＝1，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含x的项的系数的和为(1＋b)n，令x＝1，y＝0，即得到(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1＋a)n.如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a，b中有负值，相应地，分别令y＝－1，x＝0；x＝－1，y＝0.此时的和式分别为(1－b)n，(1－a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b|)n，(1＋|a|)n.根据题意得，(1＋|b|)n＝243＝35，(1＋|a|)n＝32＝25，因此n＝5，|a|＝1，|b|＝2.故选AD.
16.已知(1＋m )n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.(1)求m，n的值；
解　由题意可得2n＝256，解得n＝8，
解得m＝2或m＝－2(舍去).故m，n的值分别为2,8.
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；