2025高考数学一轮复习-第13讲-函数与方程【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第13讲-函数与方程【课件】，共56页。PPT课件主要包含了激活思维，BCD，函数零点及二分法，聚焦知识，横坐标，fa·fb，fc＝0，零点所在区间的判定，举题说法，零点个数的判定等内容，欢迎下载使用。

1．f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是(　　)A．0B．1C．2D．3
因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以f(x)在(2，3)内有零点．又因为f(x)为增函数，所以函数f(x)有且只有1个零点．
3．(多选)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　　)
由所给的函数值的表格可以看出，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，所以函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)内必有零点．
A．(1，2) 　　　　　　B．(2，3) 　　　　　　C．(3，4) 　　　　　　D．(4，5)
4．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝lg2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．b＞a＞c
在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝lg2x，y＝x3及y＝－x的图象，如图所示，由图象可知b＞c＞a.
令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，根据分段函数f(x)的解析式，作出函数f(x)的图象，如图所示．由题可知函数y＝f(x)的图象和直线y＝m有3个交点，根据图象可得实数m的取值范围是(0，1).
f(a)·f(b)＜0
2．常用结论(1) 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．(2) 由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝(　　)A．－2B．－1C．0D．1
因为函数f(x)＝e－x－2x－5是连续减函数，f(－2)＝e2－1＞0，f(－1)＝e－3＜0，所以f(－2)·f(－1)＜0，函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2.
变式　设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4
因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即x＝0是函数f(x)的1个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，两函数图象有1个交点，所以函数 f(x) 在(0，＋∞)上有1个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有1个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.
F(x)＝f(x)＋g(x)恰有2个零点，则有f(x)＋x＋a＝0，即f(x)＝－x－a，故函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a的图象有2个交点，画出函数图象如图所示，平移直线y＝－x，可以看出当－a≤1，即a≥－1时，直线y＝－x－a与函数y＝f(x)的图象有2个交点．
因为函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，所以函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示．由图可知，1＜m≤2，即m的取值范围是(1，2].
在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝a的图象，如图所示．由图象知，若f(x)＝a有四个不同的实数解，则0＜a＜1，故A正确；
当x≥0时，f(x)＝4x3－6x2＋1的导数为f′(x)＝12x2－12x，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，可得f(x)在x＝1处取得最小值，最小值为－1，且f(0)＝1，作出函数f(x)的图象如图所示．
综上，g(x)共有四个零点．
设t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，得a＝f(t).在同一平面直角坐标系内作出y＝a，y＝f(t)的图象(如图).
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点，设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．当a＜－1时，y＝a与y＝f(t)的图象只有一个交点，设交点的横坐标为t0，则t0＜－1，t0＝f(x)有一解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．
【答案】[－1，＋∞)
1．函数f(x)＝ln x与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　)A．3　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．0
由题知g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝ln x与g(x)＝(x－2)2的图象，如图所示．由图可知两个函数的图象有2个交点．
2．函数f(x)＝2x＋2x－7的零点所在的区间为(　　)A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，5)
因为函数y＝2x、y＝2x－7在R上均为增函数，故函数f(x)在R上为增函数．因为f(1)＝－3＜0，f(2)＝1＞0，由零点存在定理可知，函数f(x)的零点所在的区间为(1，2).
若方程f(x)－a＝0恰有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出y＝f(x)的图象与直线y＝a，如图所示．
由图可得，若函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，则0＜a＜1.
【答案】1 (0，27)
A组　夯基精练一、 单项选择题1．已知方程3x＋2x－10＝0的解在(k，k＋1)(k∈Z)内，则k＝(　　)A．0B．1C．2D．3
设f(x)＝3x＋2x－10，则f(x)在定义域内单调递增，故f(x)在定义域内至多有一个零点．因为f(1)＝3＋2－10＝－5＜0，f(2)＝9＋4－10＝3＞0，所以f(x)仅在(1，2)内存在零点，即方程3x＋2x－10＝0的解仅在(1，2)内，故k＝1.
3．函数f(x)＝(x2－x)·ln |2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数是(　　)A．3B．4C．5D．6
求函数f(x)＝(x2－x)ln |2x－3|在[－2，2]上的零点个数，转化为方程(x2－x)ln |2x－3|＝0在[－2，2]上的根的个数．由(x2－x)ln |2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln |2x－3|＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f(x)＝(x2－x)ln |2x－3|在[－2，2]上的零点个数为3.
由题意知，函数y＝e－x与g(x)＝ln (x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点．
当a＞0时，g(x)＝ln (x＋a)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移a个单位长度得到的，根据图象可知此时只需要g(0)＝ln a＜1，即0＜a＜e；
当a≤0时，g(x)＝ln (x＋a)的图象是由函数y＝ln x的图象向右平移－a个单位长度得到的，此时在(0，＋∞)上y＝e－x与g(x)的图象恒有交点，满足条件．综上，实数a的取值范围是(－∞，e).
二、 多项选择题5．已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
则一定包含f(x)的零点的区间是(　　　)A．(－1，1)B．(1，3)C．(3，5)D．(5，7)
因为f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(－1)f(1)＜0，f(3)f(5)＜0，f(5)f(7)＜0，所以一定包含f(x)的零点的区间是(－1，1)，(3，5)，(5，7).
对于A，若f(x0)＝x0，则2x0＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；
三、 填空题7．函数f(x)＝|x2－2x|－|lg2x|的零点的个数为_____．
由题意，f(x)＝|x2－2x|－|lg2x|＝0⇔|x2－2x|＝|lg2x|，即函数f(x)＝|x2－2x|－|lg2x|的零点的个数即为y＝|x2－2x|与y＝|lg2x|的图象的交点的个数．在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如图所示，由图可知，两个函数有3个交点，故函数f(x)＝|x2－2x|－|lg2x|的零点的个数是3.
综上，函数y＝f(f(x))－1的零点个数为2.
令g(x)＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，故函数g(x)的零点就是函数f(x)与y＝1图象交点的横坐标．
四、 解答题10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋1.(1) 求函数f(x)的解析式；
10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋1.(2) 讨论函数g(x)＝f(x)－mx零点的个数．
由g(x)＝f(x)－mx，又f(x)为奇函数，y＝－mx也为奇函数，可得g(x)为奇函数．可令g(x)＝0，即f(x)＝mx.当x＝0时，显然g(x)＝0，无论m取何值，x＝0均为g(x)的零点．
当m＝－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上有1个零点；当m＞－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上有2个零点；当m＜－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上无零点．根据奇函数的对称性可得，当m＝－2时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上有3个零点；当m＞－2时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上有5个零点；当m＜－2时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上有1个零点．
若函数F(x)＝f(x)－ax在(0，3)上只有一个零点，则f(x)的图象和直线y＝ax在(0，3)上只有1个交点．
B组　滚动小练12．已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|，则(　　)A．f(x)的最小值为0，最大值为3B．f(x)的最小值为－3，最大值为0C．f(x)的最小值为－3，最大值为3D．f(x)既无最小值，也无最大值
作出f(x)的图象，如图，结合函数f(x)的图象可知，函数f(x)的最大值为3，最小值为－3.
13．我们知道，任何一个正整数N可以表示成N＝a×10n(1≤a＜10，n∈Z)，此时lg N＝n＋lg a(0≤lg a＜1).当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg 5≈0.698 97，则5100是________位数(　　)A．71B．70C．69D．68
因为lg 5100＝100lg 5≈69.897，所以5100为70位数．
14．已知函数f(x)＝2x2－(a＋2)x＋a，a∈R.(1) 当a＝－1时，求解关于x的不等式f(x)＞0；