2025高考数学一轮复习-第53讲-二项分布与超几何分布【课件】

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1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则E(X)＝_____，D(X)＝_____．
2．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，则恰好出现5次正面朝上的概率是______．
3．一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐．从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率是______．
4．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率是______．
5．若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是___________.
一、 二项分布1．伯努利试验只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为_________________．2．二项分布
3．两点分布与二项分布的均值、方差(1) 若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝_____，D(X)＝___________．(2) 若X～B(n，p)，则E(X)＝______，D(X)＝____________．二、 超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，那么X的分布列为P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一个金蛋，再将三个箱子关闭．主持人知道金蛋在哪个箱子里．游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到200元奖金；若金蛋不在此箱子里，抽奖人得到50元参与奖．无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置金蛋，关闭三个箱子，等待下一个抽奖人．(1) 求前3位抽奖人抽中金蛋人数X的分布列和方差．
(2) 为了增加节目效果，改变游戏规则．当一抽奖人选定编号后，主持人在剩下的两个箱子中打开一个空箱子．与此同时，主持人也给抽奖人一个改变选择的机会．如果抽奖人改变选择后，抽到金蛋，奖金翻倍；否则，取消参与奖．若仅从最终所获得的奖金考虑，抽奖人该如何抉择呢？
盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，一次随机取出3个小球.(1) 求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2) 记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X).
变式　现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中有4个球．(1) 求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．
变式　现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中有4个球．(2) 已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出i(i＝1，2，3)个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为Ei(X).证明：E1(X)＋E3(X)＝4.
袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球．(1) 若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X，求X的分布列和期望；
二项分布与超几何分布的识别
所以随机变量X的分布列为
(2) 若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列和期望．
所以随机变量Y的分布列为
变式　一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本．用X表示样本中一等品的个数．(1) 若有放回地抽取，求X的分布列．
变式　一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本．用X表示样本中一等品的个数．(2) 若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例．①求误差不超过0.2的X的值；②求误差不超过0.2的概率(结果不用计算，用式子表示即可)．
2．已知随机变量X服从二项分布B(4，p)，其期望E(X)＝3，随机变量Y服从正态分布N(1，2)，若P(Y＞0)＝p，则P(0＜Y＜2)＝(　　)
由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字在填时互不影响，故5位数中后4位的所有结果有5类：
4．现有高三年级学生7人，7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，要从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的学生人数随机变量X的数学期望是______；设事件A＝“抽取的3人中，既有睡眠充足的学生，也有睡眠不足的学生”，则事件A发生的概率为______．
A组　夯基精练一、 单项选择题1．已知随机变量ξ～B(12，p)，且E(2ξ－3)＝5，则D(3ξ)＝(　　)
2．一个n重伯努利试验的所有结果构成集合A，则下列说法错误的是(　　)A．若事件A“试验成功”的概率为p(0＜p＜1)，则事件A在第k次实验中才首次发生的概率为p(1－p)k-1B．集合A内的元素个数不确定D．该n重伯努利实验共做了n次互相独立的实验
对于A，事件A“试验成功”的概率为p(0＜p＜1)，则事件A在第k次实验中才首次发生的概率为p(1－p)k-1，故A正确；对于B，一个n重伯努利试验的所有结果构成集合A，所以集合A内的元素个数为n＋1，故B错误；
对于D，该n重伯努利实验共做了n次互相独立的实验，故D正确．
由题意可知X服从二项分布B(3，p1)，所以E(X)＝3p1，D(X)＝3p1(1－p1).同理，Y服从二项分布B(3，p2)，所以E(Y)＝3p2，D(Y)＝3p2(1－p2).
6．已知离散型随机变量X服从二项分布B(n，p)，其中n∈N*，0＜p＜1.记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法正确的有(　　)
对于A，由概率的基本性质可知a＋b＝1，故A正确．
三、 填空题7．已知随机变量X～B(6，p)，且E(X)＝3，则P(X＝1)＝______．
8．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为_________．
9．某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若D(X)＝2.1，P(X＝3)＜P(X＝7)，则p＝_______．
四、 解答题10．某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
由频率和为1可得2×0.004×10＋0.022×10＋0.03×10＋0.028×10＋10m＝1，解得m＝0.012.
(1) 求频率分布直方图中m的值．
10．某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(2) 在这50名学生中用分层随机抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90)的人数，求ξ的分布列和数学期望．
由频率分布直方图可得成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组人数比为7∶3∶1，则根据分层抽样抽取的成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组人数为7，3，1，所以ξ的可能取值为0，1，2，3.
(3) 转化为百分制后，规定成绩在[90，100]的为A等级，成绩在[70，90)的为B等级，其他为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加考试的同学中随机抽取3人，求获得B等级的人数不少于2人的概率．
(2) 设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答问题的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的期望E(X)，E(Y)和方差D(X)，D(Y)，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？