2025高考数学一轮复习-第37讲-第2课时-面面夹角【课件】

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如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．(1) 求证：AM⊥平面PCD；
因为在正方形ABCD中，CD⊥AD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂底面ABCD，所以CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，所以AM⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AM⊥平面PCD.
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．(2) 求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．
如图，取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，则EF＝CD，EF∥CD.
因为AD⊥CD，所以EF⊥AD.又在正三角形PAD中，PE⊥AD，EF∩PE＝E，EF，PE⊂平面PEF，所以AD⊥平面PEF.
因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEF，所以∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD＝4.平面PAB⊥平面ABCD，O为AB的中点，∠DAO＝∠AOP＝60°，OA＝OP，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．(1) 求证：平面PCD⊥平面AFGB；
如图，取AO的中点H，连接HD，HP.
在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，∠DAO＝60°，因为O为AB的中点，则有四边形BCDO是平行四边形，所以OD∥BC，∠DOA＝∠CBO＝∠DAO＝60°，所以△OAD为正三角形，所以AD＝2，HD⊥AO.
在△AOP中，OA＝OP＝2，∠AOP＝60°，所以△AOP为边长为2的正三角形，所以AP＝2，PH⊥AO.因为AP＝AD，F为PD的中点，所以AF⊥PD.因为HD⊥AO，PH⊥AO，HD∩PH＝H，HD，PH⊂平面PHD，所以AO⊥平面PHD，即AB⊥平面PHD.因为PD⊂平面PHD，所以AB⊥PD.而G为PC的中点，则FG∥CD∥AB，所以PD⊥FG.又因为AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面AFGB，所以PD⊥平面AFGB.因为PD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面AFGB.
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD＝4.平面PAB⊥平面ABCD，O为AB的中点，∠DAO＝∠AOP＝60°，OA＝OP，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．(2) 求平面PDE与平面ABCD夹角的正切值．
因为PH⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PH⊂平面PAB，所以PH⊥平面ABCD，所以由(1)知，PH，HD，AB两两垂直．
变式　如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．(1) 求证：BC⊥DA；
连接AE，DE.因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC.
因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD与△ABD为全等的等边三角形，所以AC＝AB，从而AE⊥BC.又AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE，而AD⊂平面ADE，所以BC⊥DA.
变式　如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．
(1) 因为△ABD为边长为2的正三角形，点O为AB的中点，所以DO⊥AB.连接OC交BD于点G.
(1) 求证：BD⊥PC；
因为PO，OC⊂平面POC，PO∩OC＝O，所以BD⊥平面POC.因为PC⊂平面POC，所以BD⊥PC.
2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1-AB-C的正切值为(　　)
由AC＝CB知，AC⊥CB，如图，取AB的中点M，连接C1M，CM.由条件知∠C1MC即为二面角C1-AB-C的平面角．
3．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角B-AC-M的余弦值为(　　)
因为BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，所以PA⊥BC.又PA⊥AB，且BC∩AB＝B，BC，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.
6．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F分别为DD1，DB的中点，则二面角E-BC1-F的余弦值为______．
三、 解答题7．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，四边形BDEF为矩形．
如图，取EF中点G，连接AG，CG，AC.
因为DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以DE⊥AD.又四边形BDEF为矩形，则BF∥DE，BF＝DE，所以BF⊥平面ABCD，而AB⊂平面ABCD，所以BF⊥AB.又底面ABCD是边长为2的正方形，则Rt△ADE≌Rt△ABF，所以AE＝AF.
又AG⊂平面AEF，所以平面CEF⊥平面AEF.
7．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，四边形BDEF为矩形．(2) 若三棱锥F-EBC的体积为2，求平面EBC与平面AEF夹角的余弦值．
8．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，M，N分别为AC，AB的中点，PM⊥AB.(1) 求证：AB⊥PN；
因为M，N分别为AC，AB的中点，所以NM∥BC.因为AB⊥BC，所以AB⊥MN.因为AB⊥PM，PM∩MN＝M，PM，MN⊂平面PMN，所以AB⊥平面PMN.又因为PN⊂平面PMN，所以AB⊥PN.
8．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，M，N分别为AC，AB的中点，PM⊥AB.(2) 若AB＝BC＝2，BP＝PM＝3，求二面角N-PM-B的余弦值．
因为AB＝BC＝2，BP＝PM＝3，则NM＝NB＝1，所以△PNB≌△PNM.因为AB⊥PN，所以PN⊥NM.
9．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1) 求证：B2C2∥A2D2；
以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
9．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(2) 若点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P.