湖南省长沙市岳麓实验中学2025届高三上学期入学考试数学试题（解析版）

这是一份湖南省长沙市岳麓实验中学2025届高三上学期入学考试数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
数学
考试范围：高考范围；考试时间：120分钟，满分120分.
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共40分）
1. 已知复数，则（ ）.
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的代数运算化简复数，在利用复数的模的公式求解.
【详解】因为，
所以，
故选：C
【点睛】本题主要考查复数的代数运算以及复数的模，属于基础题.
2. 计算的结果是（ ）
A. 1B. 2C. lg2D. lg5
【答案】A
【解析】
【分析】
结合对数的运算性质即可直接求解.
【详解】由题意，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.
3. 已知集合，则的子集的个数
A. 2B. 4C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【详解】考点：集合运算
或，又，所以，则其子集有4个.
点评：此题考查集合运算及绝对值不等式.
4. 若函数是偶函数，则的最小值为（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据为偶函数求出，再利用基本不等式求解.
【详解】由为偶函数可得，即，
所以．
因为，且，，所以，
所以，
则，当且仅当，即时，取最小值4．
故选：A
5. 李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（取）
A. 31B. 32C. 33D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】依题意知，从而求得，再令，结合对数运算可求得结果.
【详解】∵经过t天后，用户人数，
又∵小程序发布经过10天后有2000名用户，∴，
即，可得，∴①
当用户超过50000名时有，
即，可得，∴②
联立①和②可得，即，故，
∴用户超过50000名至少经过的天数为34天.
故选：D.
6. 椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量运算和椭圆的定义可得关于的方程，由椭圆的离心率的定义可得选项.
【详解】设，
因为，
所以，所以，
因为，所以，所以，
设中点H，则，，，
代入数据并整理得：，
等式两边同除以得：，解得：或(舍).
故选：A.
【点睛】方法点睛：求椭圆离心率或其范围的方法
（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．
（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．
7. 已知函数在上单调递增.且关于的方程恰有两个不相等的实数解.则实数的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先求得a的取值范围，然后结合函数的解析式将原问题转化为两函数图像存在两个交点的问题，数形结合即可确定a的取值范围.
【详解】由函数的解析式可知函数在区间0,+∞上单调递增，
当时，函数单调递减，由复合函数的单调性法则可知：，
且函数在处满足：，解得：，故，
方程恰有两个不相等的实数解，则函数与函数的图像有且仅有两个不同的交点，
绘制函数和 y=x+3的图像如所示:
令可得：，
由可知，，
则直线与函数的图像在区间上存在唯一的交点，
原问题转化为函数与二次函数在区间0,+∞上存在唯一的交点，
很明显当，即时满足题意，
当直线与二次函数相切时，
设切点坐标为，亦即，
由函数解析式可得：当时，，
故：，则，
切点坐标为，从而：，即.
据此可得：的取值范围是.
故选: A.
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8. 定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“偏导函数”的知识求得，进而利用判别式法求得正确答案.
【详解】依题意，
，
同理可求得，所以，设，
则，由，
得，
，此方程有解，所以，
.
故选：B
【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
二、多选题（共18分）
9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ）
A. z的虚部为1
B.
C. 为纯虚数
D. 在复平面内对应的点位于第一象限
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复数的运算法则进行化简后，再对选项一一验证即可.
【详解】，
则z的虚部为1，选项A正确；
，选项B错误；
为纯虚数，选项C正确；
在复平面内对应的点位于第四象限，选项D错误；
故选：AC．
10. 设为两个互斥的事件，且，则下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据互斥事件的含义可知，判断;根据题意可知，从而，判断C;根据互斥事件的概率加法公式可判断D.
【详解】∵为两个互斥事件，,
∴，即，故A正确，B选项错误，
∵ 为两个互斥事件,则，
∴ 故C选项正确，
∵为两个互斥事件，
∴，故D选项正确．
故选∶．
11. 已知函数在处取得极值，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】求导得到导函数，再次求导证明单调递增，根据零点存在定理得到，AB正确，代换得到，C正确，若D成立得到，矛盾，得到答案.
【详解】，则，恒成立，
故单调递增， ，，
故存在，函数在上单调递减，在上单调递增，AB正确；
，，
，故C正确；
若，，则，，
，则，这与矛盾，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题（共15分）
12. 从原点向圆作两条切线，则这两条切线的夹角等于________度.
【答案】60
【解析】
【分析】根据圆的标准方程求出圆心的坐标和半径，得到，，在直角三角形中，根据边长关系得到，从而确定答案.
【详解】如图，圆的方程可化为，圆心为，半径为3，过原点作圆的两条切线，切点分别为，.
在中，，，
所以，故这两条切线的夹角为.
故答案为：60.
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，直角三角形中的边角关系，根据三角函数的值求角，属于基础题.
13. 已知函数，则___________
【答案】
【解析】
【分析】当时代入相应的解析式求解,计算出的结果再次代入相应的解析式中计算出结果.
【详解】因为,所以,因为,所以.
故答案为:
【点睛】本题考查了求分段函数的值,需要判定输入值的大小并代入相应的解析式中计算结果,直到计算出最后的输出值才计算完成,本题较为简单.
14. 在平面直角坐标系xOy中，对于点，若函数满足：，都有，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点在函数的图像上，若函数是点B的“界函数”，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】对分成三种情况，结合，都有进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【详解】函数开口向下，对称轴为轴.由于在函数的图像上，所以.依题意，都有，即：，都有.
当，即时，函数在上递增，最小值为，最大值为，所以，此不等式在时无解.
当，即时，函数在上，最大值为，最小值在区间的端点取得，故，解得.
点，即时，函数在上递减，最小值为，最大值为，所以，此不等式在时无解.
综上所述，取值范围是.
故答案为
【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式的解法，属于中档题.
四、解答题（共77分）
15. 求值：（1）
（2）
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）根据对数的运算法则及性质化简求值.
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题主要考查了指数运算，对数运算，属于中档题.
16. 如图，在边长为2的菱形中，，将面沿折叠成二面角，其二面角的平面角大小为．
（1）求证：；
（2）若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
分析】（1）由，证明面，结合面即得证；
（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用线面角的向量公式即得解
【详解】（1）证明：取中点，连接
由已知有，，
又平面
所以面,又面
又所以
（2）由题意，，又面
以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系,
则，，，
则，
设平面的法向量为
由，即，令
可得平面的一个法向量为
因为
设直线与平面所成角为
则
17. 石墨烯有超级好的保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了5次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
（1）由等高堆积条形图提供的信息，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）以实验结果成功的频率为概率，用材料制作保温产品2件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望．
附：，其中．
【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关
（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）借助等高堆积条形图可得列联表，再计算出卡方即可得；
（2）求出的所有可能取值及其对应概率后可得其分布列，再利用期望公式即可得期望.
【小问1详解】
提出假设：实验的结果与材料无关，
，
所以没有90%的把握认为，试验的结果与材料有关；
【小问2详解】
设产品制作成功件数为，由题意可知服从二项分布，
成功的概率为，即，
则的可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为：
.
18. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求、的值；
（2）对任意的，都有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）-∞,0.
【解析】
【分析】
（1）由可求得的值，再由奇函数的定义可求得的值；
（2）分析出函数为上的奇函数且为增函数，将所求不等式变形为，可出关于的不等式对任意的恒成立，可得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）由题意知：是定义在上的奇函数，，，
即，
所以，，即对任意的恒成立，.
故：，；
（2）由（1）知，
因此在上是增函数，
对任意的，恒成立，
可转化，
根据在上是奇函数可知恒成立.
恒成立，即恒成立，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是-∞,0.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
19. 已知圆：，直线：．
（1）若直线被圆截得的弦长为，求实数的值；
（2）当时，由直线上的动点引圆的两条切线，若切点分别为，，则在直线上是否存在一个定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2) 在直线上存在一个定点，定点坐标为.
【解析】
【分析】（1）先求出圆心到直线的距离，再根据弦长，弦心距和半径的关系可求出实数的值；
（2）设动点，则可求得以为直径的圆，与圆的方程相减可得直线的方程，化简后可求出直线所过的定点
【详解】（1）圆的方程可化为，
故圆心为，半径.
则圆心到直线的距离为.
又弦长为，则，
即，解得.
（2）当时，圆的方程为 ①
则圆心为，半径，圆与直线相离.
假设在直线上存在一个定点满足条件，设动点，
由已知得，
则在以为直径的圆，
即②上，
①—②得，直线的方程为 ③
又点在直线上，则，即，代入③式
得，
即直线的方程为
因为上式对任意都成立，故，得.
故在直线上存在一个定点，定点坐标为
0.1
0.05
001
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
材料
材料
合计
实验成功
4
3
7
实验失败
1
2
3
合计
5
5
10
0
1
2