湖南省长沙市岳麓实验中学2025届高三上学期入学考试数学试题（原卷版）

这是一份湖南省长沙市岳麓实验中学2025届高三上学期入学考试数学试题（原卷版），共4页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
数学
考试范围：高考范围；考试时间：120分钟，满分120分.
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共40分）
1. 已知复数，则（ ）.
A. B. 2C. 3D.
2. 计算的结果是（ ）
A. 1B. 2C. lg2D. lg5
3. 已知集合，则的子集的个数
A. 2B. 4C. 5D. 7
4. 若函数是偶函数，则最小值为（ ）
A. 4B. 2C. D.
5. 李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（取）
A. 31B. 32C. 33D. 34
6. 椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在上单调递增.且关于的方程恰有两个不相等的实数解.则实数的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
8. 定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共18分）
9. 已知复数，则下列选项正确的是（ ）
A. z的虚部为1
B.
C. 为纯虚数
D. 在复平面内对应的点位于第一象限
10. 设为两个互斥的事件，且，则下列各式正确的是（ ）
A. B.
C D.
11. 已知函数在处取得极值，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（共15分）
12. 从原点向圆作两条切线，则这两条切线夹角等于________度.
13. 已知函数，则___________
14. 在平面直角坐标系xOy中，对于点，若函数满足：，都有，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点在函数的图像上，若函数是点B的“界函数”，则m的取值范围是________．
四、解答题（共77分）
15. 求值：（1）
（2）
16. 如图，在边长为2的菱形中，，将面沿折叠成二面角，其二面角的平面角大小为．
（1）求证：；
（2）若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
17. 石墨烯有超级好的保温功能，从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了5次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
（1）由等高堆积条形图提供的信息，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；
（2）以实验结果成功的频率为概率，用材料制作保温产品2件，仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑，求产品制作成功件数的分布列与期望．
附：，其中．
18. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求、的值；
（2）对任意，都有恒成立，求的取值范围.
19. 已知圆：，直线：．
（1）若直线被圆截得的弦长为，求实数的值；
（2）当时，由直线上的动点引圆的两条切线，若切点分别为，，则在直线上是否存在一个定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7879
10.828