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河南省安阳市林州市第一中学2025届高三上学期8月月考数学试题（解析版）
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这是一份河南省安阳市林州市第一中学2025届高三上学期8月月考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了879比较即可等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的,女性喜爱足球的人数占女性人数的,若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（ ）人
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意,设出男生人数,从而计算出列联表,再算出7.879比较即可.
【详解】设被调查的男性为人,则女性为人,依据题意可得列联表如下表:
,
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以有
,即,
解得,又因为上述列联表中的所有数字均为整数,
故的最小值为12.
故选:C.
2. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果.
【详解】因为是定义在上的增函数，
所以，解得.
故选：B
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由基本初等函数求导法则，导数四则运算以及复合函数求导法则运算即可逐一判断每个选项.
【详解】，，，.
故选：D.
4. 为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由已知,
， 故选C.
5. 已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. (
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当取不同值时，的交点个数，即可结合二次函数零点的分布求解.
【详解】根据，作出的大致图象如下：
由图可知：当时，此时由两个根，分别为，
当时，此时有4个交点，
当时，此时有3个交点，
当时，此时有2个交点，
故要使得由6个不同的零点，则令，有6个不同的实数根，
显然不是的根，
设的两个零点分别为，且，
故当时，此时有4个交点，有2个交点，满足题意，
故需要满足，解得，
当时，此时有3个交点，有3个交点，满足题意，
故需要满足，解得，
综上可得或
故选：A
6. 已知某家族有、两种遗传性状，该家族某位成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，、两种遗传性状都不出现的概率为．则该成员在出现性状的条件下，出现性状的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记事件该家族某位成员出现性状，事件该家族某位成员出现性状，求出，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件该家族某位成员出现性状，事件该家族某位成员出现性状，
则，，，则，
又因为，则，
故所求概率为.
故选：B.
7. 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（ ）
A. B. 2，1C. 3，1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项分布的概率公式及离散型随机变量的期望公式、方差公式一一计算即可.
【详解】白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为，
则向左的次数服从二项分布.
因为，，
所以，.
故选：C
8. 图①是底面边长为2的正四棱柱，直线经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时针旋转，得图②，若为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合图形，由题意过点作于点，得到直角梯形，求出该几何体的高,再借助于求出该几何体的外接球半径,即得其表面积.
详解】
如图，设正四棱柱的上下底面中心分别为点,过点作于点，连接，
依题意，易得直角梯形,因为边长为2的正三角形,则，且,
又，则.
设该几何体外接球球心为点,半径为,则点为的中点，则,
在中，,
于是该几何体外接球的表面积为.
故选：A.
二.多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.）
9. 总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDPx（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，，对应的决定系数分别为，，则（ ）
A. 人均GDP和女性平均受教育年限正相关．
B. 女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C.
D. 未来三年总和生育率一定继续降低
【答案】AB
【解析】
【分析】根据回归方程判断A，写出女性平均受教育年限和总和生育率的关系式，从而判断B，根据散点图的拟合效果判断C，由回归方程可预测未来趋势，但实际值不一定会持续降低，从而判断D.
【详解】由回归方程知人均GDP和女性平均受教育年限正相关，故A正确；
因为，，
可得女性平均受教育年限z和总和生育率y的关系式为，
所以女性平均受教育年限z和总和生育率y负相关，故B正确；
由散点图可知，回归方程相对拟合效果更好，
所以，故C错误；
根据回归方程预测，未来总和生育率预测值有可能降低，
但实际值不一定会降低，故D错误．
故选：AB
10. 甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（ ）
A. A，B是对立事件B. 事件B，D相互独立
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由互斥事件及独立事件的概念可判断A，B项，由条件概率公式及全概率公式可判断C，D项．
【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；
对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABD
11. 已知定义在上的函数满足，，且，则（ ）
A. 的最小正周期为4B.
C. 函数fx-1是奇函数D.
【答案】AB
【解析】
【分析】据题意，通过赋值得到，，即可判断A；令，可求出，由周期性可判断B；令，得到，由周期性，可证明是奇函数，假设函数fx-1是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性可计算D.
【详解】对于A，因为，
所以，，
所以，故的最小正周期为4，A正确；
对于B，因为，
令，则，
所以，
由A可知，，故B正确；
对于C， 因为，①
令，则，
所以，
所以，②
由①②，所以，即f-x=-fx，故为奇函数，
若函数fx-1是奇函数，则，
所以，即，
所以，
所以的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误；
对于D，因为为奇函数，且，所以，
又因为的最小正周期为4，所以，
因为
所以，，
所以，
，
以此类推，
所以，故D错误.
故选：AB
【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期.
以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数y=fx，
（1）若，则函数的周期为；
（2）若，则函数的周期为；
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为；
（5）若，则函数的周期为.
三.填空题（共3小题，每题5分，共15分.）
12. 已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为____________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用导数求切点处的切线方程，可得，通过指数式对数式的运算，求出的值.
【详解】由，，有，，
在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为，
则有，得，
所以，可得.
故答案为：1.
13. 一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则的概率为___________．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】由题可知X的取值范围是，而，分别求出概率，即可求出答案.
【详解】易判断，，为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，的取值范围是．
，，
所以．
故答案为：
14. 已知函数在时取得极大值4，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可.
【详解】由题意可知，
因为函数在时取得极大值4，所以，
解之得，
检验，此时，令或，
令，
即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意，
故.
故答案为：
四.解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为.
（1）求学生小杰获得奖品的概率；
（2）已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；
（3）求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望.
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，事件：学生通过第轮且继续答题，结合全概率公式和，即可求解；
（2）根据题意，结合，即可求解；
（3）由题意，随机变量可取，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
小问1详解】
记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，
事件：学生通过第轮且继续答题，），
由题意得，
记事件：学生获得奖品.则，
，
，
，
.
【小问2详解】
学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：.
【小问3详解】
由题意，随机变量可取，
可得，
，
，
，
所以的分布列为：
所以期望为.
16. 如图，平面，在平面的同侧，，，，.
（1）若四点在同一平面内，求线段的长；
（2）若，平面与平面的夹角为，求线段的长.
【答案】（1）1； （2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理、性质定理得四边形是平行四边形可得答案；
（2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
，平面，平面，平面，
，则四点共面，
平面，平面，平面平面，，又，则四边形是平行四边形，
；
【小问2详解】
以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，设，则，，B1,0,0，，，，，
设是平面的一个法向量，
由，得，令，可得，
可得，
设n=x2,y2,z2是平面的一个法向量，
由，得，令，可得，
可得，
依题意，
解得，.
17. 已知函数.
（1）若，求在点处的切线方程；
（2）若是的两个极值点，证明：.
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，计算切点处的函数值与导数值，根据点斜式即可求解切线方程；
（2）根据极值点的定义，可得是方程的两个不等的正实根，根据韦达定理代入化简，将问题转化成，令，构造函数，结合导数证明即可.
【小问1详解】
当时，，则，
所以，，
所以在点处的切线方程为，
即
【小问2详解】
证明：由，可知，
因为（）是的极值点，
所以方程的两个不等的正实数根，
所以，，
则
．
要证成立，
只需证，即证，
即证，即证，
设，则，即证，
令，
则，
所以在上单调递减，则，
所以，故．
【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
18. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、AD的中点，平面．
（1）求证：；
（2）求点B到平面EFM的距离；
（3）在线段上是否存在点N，使得直线与平面EFM所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见详解
（2）3
（3）存在点满足题意，
【解析】
【分析】（1）先证明平面，再证明，即可得证；
（2）求点到平面的距离即求点到平面的距离，利用三棱锥等体积法求解；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，又底面是正方形，则，
且与是平面内两条相交直线，
所以平面，平面，所以，
又分别是的中点，所以，
所以.
【小问2详解】
因为分别是的中点，
所以，
所以平面即是平面，
由（1）知平面，则平面，平面，
，则，
设点到平面的距离为，由，
得，即，
解得，
所以点到平面的距离为.
【小问3详解】
如图以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，A2,0,0，，，，
，，，
设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且，
，，
，
设平面的一个法向量为n=a,b,c，
则，即，令，得，
，
，整理得，
解得或（舍），
，即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.
19. 2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为.
（1）若，求；
（2）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
（取）
【答案】（1）；
（2）的最大值为，此时的值为.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列求出古典概率.
（2）利用全概率公式求出，再构造函数，利用导数求出最大值.
【小问1详解】
依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有种情况，
要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：
①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况；
②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有种情况，
所以所求概率为.
【小问2详解】
记事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第个，则，
由全概率公式知：，
当时，最大的番石榴在前个中，不会被摘到，此时；
当时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前个番石榴中的最大一个在前个之中时，此时，
因此，
令，求导得，由，得，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
则，于是当时，取得最大值，
所以的最大值为，此时的值为.
【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题.a
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828
男性
女性
合计
喜爱足球
不喜爱足球
合计
0
1
2
3
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的,女性喜爱足球的人数占女性人数的,若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（ ）人
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意,设出男生人数,从而计算出列联表,再算出7.879比较即可.
【详解】设被调查的男性为人,则女性为人,依据题意可得列联表如下表:
,
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以有
,即,
解得,又因为上述列联表中的所有数字均为整数,
故的最小值为12.
故选:C.
2. 已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解不等式组可求得结果.
【详解】因为是定义在上的增函数，
所以，解得.
故选：B
3. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由基本初等函数求导法则，导数四则运算以及复合函数求导法则运算即可逐一判断每个选项.
【详解】，，，.
故选：D.
4. 为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由已知,
， 故选C.
5. 已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. (
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当取不同值时，的交点个数，即可结合二次函数零点的分布求解.
【详解】根据，作出的大致图象如下：
由图可知：当时，此时由两个根，分别为，
当时，此时有4个交点，
当时，此时有3个交点，
当时，此时有2个交点，
故要使得由6个不同的零点，则令，有6个不同的实数根，
显然不是的根，
设的两个零点分别为，且，
故当时，此时有4个交点，有2个交点，满足题意，
故需要满足，解得，
当时，此时有3个交点，有3个交点，满足题意，
故需要满足，解得，
综上可得或
故选：A
6. 已知某家族有、两种遗传性状，该家族某位成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，、两种遗传性状都不出现的概率为．则该成员在出现性状的条件下，出现性状的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记事件该家族某位成员出现性状，事件该家族某位成员出现性状，求出，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件该家族某位成员出现性状，事件该家族某位成员出现性状，
则，，，则，
又因为，则，
故所求概率为.
故选：B.
7. 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（ ）
A. B. 2，1C. 3，1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项分布的概率公式及离散型随机变量的期望公式、方差公式一一计算即可.
【详解】白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为，
则向左的次数服从二项分布.
因为，，
所以，.
故选：C
8. 图①是底面边长为2的正四棱柱，直线经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时针旋转，得图②，若为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合图形，由题意过点作于点，得到直角梯形，求出该几何体的高,再借助于求出该几何体的外接球半径,即得其表面积.
详解】
如图，设正四棱柱的上下底面中心分别为点,过点作于点，连接，
依题意，易得直角梯形,因为边长为2的正三角形,则，且,
又，则.
设该几何体外接球球心为点,半径为,则点为的中点，则,
在中，,
于是该几何体外接球的表面积为.
故选：A.
二.多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.）
9. 总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDPx（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，，对应的决定系数分别为，，则（ ）
A. 人均GDP和女性平均受教育年限正相关．
B. 女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C.
D. 未来三年总和生育率一定继续降低
【答案】AB
【解析】
【分析】根据回归方程判断A，写出女性平均受教育年限和总和生育率的关系式，从而判断B，根据散点图的拟合效果判断C，由回归方程可预测未来趋势，但实际值不一定会持续降低，从而判断D.
【详解】由回归方程知人均GDP和女性平均受教育年限正相关，故A正确；
因为，，
可得女性平均受教育年限z和总和生育率y的关系式为，
所以女性平均受教育年限z和总和生育率y负相关，故B正确；
由散点图可知，回归方程相对拟合效果更好，
所以，故C错误；
根据回归方程预测，未来总和生育率预测值有可能降低，
但实际值不一定会降低，故D错误．
故选：AB
10. 甲箱中有3个黄球､2个绿球，乙箱中有2个黄球､3个绿球（这10个球除颜色外，大小､形状完全相同），先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，记事件A，B，C分别表示事件“取出2个黄球”，“取出2个绿球”，“取出一黄一绿两个球”，再从乙箱中摸出一球，记事件D表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是（ ）
A. A，B是对立事件B. 事件B，D相互独立
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由互斥事件及独立事件的概念可判断A，B项，由条件概率公式及全概率公式可判断C，D项．
【详解】对于A，事件A，B不能同时发生，但能同时不发生，故A，B是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；
对于B，事件B发生与否，影响事件D，所以事件B，D不是相互独立事件，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：ABD
11. 已知定义在上的函数满足，，且，则（ ）
A. 的最小正周期为4B.
C. 函数fx-1是奇函数D.
【答案】AB
【解析】
【分析】据题意，通过赋值得到，，即可判断A；令，可求出，由周期性可判断B；令，得到，由周期性，可证明是奇函数，假设函数fx-1是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性可计算D.
【详解】对于A，因为，
所以，，
所以，故的最小正周期为4，A正确；
对于B，因为，
令，则，
所以，
由A可知，，故B正确；
对于C， 因为，①
令，则，
所以，
所以，②
由①②，所以，即f-x=-fx，故为奇函数，
若函数fx-1是奇函数，则，
所以，即，
所以，
所以的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误；
对于D，因为为奇函数，且，所以，
又因为的最小正周期为4，所以，
因为
所以，，
所以，
，
以此类推，
所以，故D错误.
故选：AB
【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期.
以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数y=fx，
（1）若，则函数的周期为；
（2）若，则函数的周期为；
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为；
（5）若，则函数的周期为.
三.填空题（共3小题，每题5分，共15分.）
12. 已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为____________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用导数求切点处的切线方程，可得，通过指数式对数式的运算，求出的值.
【详解】由，，有，，
在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为，
则有，得，
所以，可得.
故答案为：1.
13. 一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则的概率为___________．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】由题可知X的取值范围是，而，分别求出概率，即可求出答案.
【详解】易判断，，为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，的取值范围是．
，，
所以．
故答案为：
14. 已知函数在时取得极大值4，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可.
【详解】由题意可知，
因为函数在时取得极大值4，所以，
解之得，
检验，此时，令或，
令，
即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意，
故.
故答案为：
四.解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品一纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为.
（1）求学生小杰获得奖品的概率；
（2）已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；
（3）求学生小杰通过的比赛轮数的分布列与数学期望.
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，事件：学生通过第轮且继续答题，结合全概率公式和，即可求解；
（2）根据题意，结合，即可求解；
（3）由题意，随机变量可取，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
小问1详解】
记事件：学生通过第轮，事件：学生通过第轮就选择奖品离开，
事件：学生通过第轮且继续答题，），
由题意得，
记事件：学生获得奖品.则，
，
，
，
.
【小问2详解】
学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：.
【小问3详解】
由题意，随机变量可取，
可得，
，
，
，
所以的分布列为：
所以期望为.
16. 如图，平面，在平面的同侧，，，，.
（1）若四点在同一平面内，求线段的长；
（2）若，平面与平面的夹角为，求线段的长.
【答案】（1）1； （2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理、性质定理得四边形是平行四边形可得答案；
（2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
，平面，平面，平面，
，则四点共面，
平面，平面，平面平面，，又，则四边形是平行四边形，
；
【小问2详解】
以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，设，则，，B1,0,0，，，，，
设是平面的一个法向量，
由，得，令，可得，
可得，
设n=x2,y2,z2是平面的一个法向量，
由，得，令，可得，
可得，
依题意，
解得，.
17. 已知函数.
（1）若，求在点处的切线方程；
（2）若是的两个极值点，证明：.
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，计算切点处的函数值与导数值，根据点斜式即可求解切线方程；
（2）根据极值点的定义，可得是方程的两个不等的正实根，根据韦达定理代入化简，将问题转化成，令，构造函数，结合导数证明即可.
【小问1详解】
当时，，则，
所以，，
所以在点处的切线方程为，
即
【小问2详解】
证明：由，可知，
因为（）是的极值点，
所以方程的两个不等的正实数根，
所以，，
则
．
要证成立，
只需证，即证，
即证，即证，
设，则，即证，
令，
则，
所以在上单调递减，则，
所以，故．
【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
18. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、AD的中点，平面．
（1）求证：；
（2）求点B到平面EFM的距离；
（3）在线段上是否存在点N，使得直线与平面EFM所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见详解
（2）3
（3）存在点满足题意，
【解析】
【分析】（1）先证明平面，再证明，即可得证；
（2）求点到平面的距离即求点到平面的距离，利用三棱锥等体积法求解；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，又底面是正方形，则，
且与是平面内两条相交直线，
所以平面，平面，所以，
又分别是的中点，所以，
所以.
【小问2详解】
因为分别是的中点，
所以，
所以平面即是平面，
由（1）知平面，则平面，平面，
，则，
设点到平面的距离为，由，
得，即，
解得，
所以点到平面的距离为.
【小问3详解】
如图以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，A2,0,0，，，，
，，，
设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且，
，，
，
设平面的一个法向量为n=a,b,c，
则，即，令，得，
，
，整理得，
解得或（舍），
，即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.
19. 2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到颗番石榴（不妨设颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴，自第颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为.
（1）若，求；
（2）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.
（取）
【答案】（1）；
（2）的最大值为，此时的值为.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列求出古典概率.
（2）利用全概率公式求出，再构造函数，利用导数求出最大值.
【小问1详解】
依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有种情况，
要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：
①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况；
②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有种情况，
所以所求概率为.
【小问2详解】
记事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第个，则，
由全概率公式知：，
当时，最大的番石榴在前个中，不会被摘到，此时；
当时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前个番石榴中的最大一个在前个之中时，此时，
因此，
令，求导得，由，得，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
则，于是当时，取得最大值，
所以的最大值为，此时的值为.
【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题.a
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828
男性
女性
合计
喜爱足球
不喜爱足球
合计
0
1
2
3
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