贵州省黔东南苗族侗族自治州镇远县第二初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

这是一份贵州省黔东南苗族侗族自治州镇远县第二初级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0， 如图所示， 将根号外的因式移到根号内，得等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2.答选择题，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案．
【详解】解：A. =2，故不符合题意；
B. 是最简二次根式；符合题意
C. ，故不符合题意；
D. ，故不符合题意
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. =﹣4B. ﹣
C. （）2=4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质进行化简，选出正确的选项．
【详解】解：A、原计算错误，不符合题意；
B、和的被开方数不相同，它们不能相加，不符合题意；
C、()2=4正确，符合题意；
D、原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简、运算及性质，对于二次根式的性质，一定要注意使用的前提条件．
3. 一个直角三角形的模具，其中两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为( )
A. 5cmB. 4cm C. cmD. 5cm或cm
【答案】D
【解析】
【分析】由于直角三角形的斜边不明确，故应分类讨论，①当4为直角边时，②当4为斜边时，依次求出答案即可．
【详解】：①当4是直角边时，斜边=，此时第三边为5；
②当4为斜边时，此时第三边=
综上可得第三边的长度为5或．
故选：D．
【点睛】此题考查的是勾股定理，注意掌握勾股定理的表达式，分类讨论是关键，难点在于容易漏解．
4. 如图，直角三角形的三边长分为a、b、c，下列各式正确的是（ ）
A. a2+b2=c2B. b2+c2=a2C. c2+a2=b2D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【详解】直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即.
故选B．
5. 如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （ ）
A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
【答案】B
【解析】
详解】解：如图，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5cm，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3cm，
∴EC=BC-BE=5-3=2cm．
故选B．
6. 如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A. 5mB. 6mC. 7mD. 8m
【答案】C
【解析】
【详解】楼梯竖面高度之和等于BC的长，横面宽度之和等于AB的长．
由于，
所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．
故选C
7. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质和折叠的性质，勾股定理，以及间接法求三角形的面积，解题的关键是利用勾股定理正确求出的长度，先证明≌，得到，设，则，根据勾股定理，求出x，然后利用的面积减去的面积，即可得到答案．
【详解】解：由折叠和矩形的性质可知，，，
又∵，
∴（），
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：
，
解得：，
∴；
故选：C．
8. 如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为( )
A. B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短、勾股定理即可求出最短路径长．
【详解】解：如图，它运动的最短路程AB= ＝
故选：C
【点睛】本题考查了正方体的侧面展开图、两点之间线段最短、勾股定理，掌握正方体的侧面展开图是解题关键．
9. 在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A. AB＝BC，CD＝DAB. ABCD，AD＝BC
C. ABCD，∠A＝∠CD. ∠A＝∠B，∠C＝∠D
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可得出结论．
【详解】解：如图所示，根据平行四边形的判定
A、根据AB＝BC，CD＝DA不能推出四边形ABCD是平行四边形，故A项错误
B、根据ABCD，AD＝BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，故B项错误
D、∵∠A=∠B，∠C=∠D 且∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，但不能推出其他条件，也不能推出四边形ABCD平行四边形，故D项错误
C、∵AB//CD，∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A=∠C，∴∠C+∠D＝180°，∴AB//CD，
∴可以推出四边形ABCD是平行四边形，故C项正确
故选：C．
【点睛】平行四边形的定义和判定定理．
10. 将根号外的因式移到根号内，得（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简．根据题意先判断，再利用二次根式性质进行化简即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，
故选：B．
11. 如图，在菱形中，对角线，交于点，于点，连接，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的性质和勾股定理证明是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴点O是中点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴中，由勾股定理得：；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
12. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，于点E，于点F，连接EF，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF；③∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得④DP=EC．
【详解】解：证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
①∴AP=EF；
∠PFE=∠GAP
∴③∠PFE=∠BAP，
②延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF；
④∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴④DP=EC．
∴其中正确结论的序号是①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 化简：＝___．
【答案】23
【解析】
【分析】利用二次根式的性质化简计算即可．
【详解】解：．
故答案为：23．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，会利用二次根式的性质化简计算是解答的关键．
14. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．
【答案】10
【解析】
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
15. 如图，两对角线，相交于点，且，若的周长为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，可求出的值，然后根据周长可求出的值，即为的值．
【详解】∵两对角线，相交于点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键是平行四边形的对角线互相平分．
16. 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝2，则图中阴影部分面积为__________．
【答案】##
【解析】
【详解】解：如图，
设AC＝x，则BC＝AD＝2+x，
∵∠ADC＝30°，
∴ADAC，
∴2+xx，
∴x，
∴AC，
将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，
∴图中阴影部分面积＝4AC2＝4＝
故答案为．
【点睛】本题考查旋转角的定义以及直角三角形的性质，本题关键在于用AB表示出AC的长度
三．解答题（9大题，共98分）
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）0 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
（1）直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则化简，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（3）直接利用二次根式乘除运算法则化简得出答案；
（4）分别根据二次根式的乘法，负整数指数幂的定义、零次幂以及绝对值的性质计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．
【详解】解：
．
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
19. 如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键在于掌握辅助线的作法，以及数形结合思想的应用．连接，交于点O，根据平行四边形的性质可知，，再结合可得，从而可得四边形是平行四边形．
【详解】证明：连接，交于点O，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
∴四边形是平行四边形．
20. 已知：如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，且，据此根据进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，且，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
21. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且∠ABC=90°．

（1）求证：四边形ABCD矩形．
（2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①60°，②.
【解析】
【分析】（1）根据AO=CO，BO=DO可知四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，可证四边形ABCD是矩形
（2）利用直角△ABC中∠ABC=90°，∠ACB=300，可得∠BAC=60°，AC=2，BC=，即可求得四边形ABCD的面积，同时利用矩形的性质，对角线相等且互相平分，可得∠AOB=180°-2∠BAC
【详解】解：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=300，AB=1
∴∠BAC=60°，AC=2，BC=
又∵矩形ABCD中，OA=OB
∴∠AOB=180°-2∠BAC=60°
S□ABCD=1×=
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质定理的应用，会灵活运用是解题的关键.
22. 已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，且EF∥DC，（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）若EF＝2cm，求AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）4cm．
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得ED∥FC；结合已知条件EF∥DC，即可得结论；
（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC．
【详解】（1）证明：如图，∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：由（1）知，四边形CDEF是平行四边形，则DC＝EF＝2cm．
∵点D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴DC＝ AB，
∴AB＝2DC＝4cm．
故答案为（1）见解析；（2）4cm．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
23. 交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点、，使得，米，．这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度，并判断此车是否超速，此路段限速不超过17米每秒．（结果保留整数，参考数据：，）
【答案】米，此车的速度为米秒，此车超速．
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用问题．解直角三角形得到米，求得此车的速度米秒米秒，于是得到结论．
【详解】解：，，
是等腰直角三角形，
米，
，
（米），
米，
此车的速度为（米秒），
24米秒米秒，
此车超速．
24. 如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作，交于点，交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由：
（2）若，求的长．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2）13
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，判定四边形是菱形是解答的关键．
（1）先证明，，进而证得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定可得结论；
（2）先根据菱形和矩形的性质证得， ，，在中，由勾股定理求得即可求解．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵点为对角线的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
则，解得，
∴．
25. 【思考研究】
“如图1，在正方形中，E是对角线AC上一点，点F在DC的延长线上，且，EF交BC于点G，求证：．”小贤在研究这个问题时，写出了如下的分析过程：
先证，得到，再由，得到．
（1）请根据小贤的分析过程证明．
【解决问题】
（2）求的度数．
【拓展延伸】
（3）如图2，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接BF，试探究线段DE与线段BF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接证明全等说明边等即可；
（2）直接通过直角的等量代换得到角等；
（3）先证明全等三角形，再通过角度的等量代换证明等边三角形来说明边等即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，．
∵，
∴
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
由（1）知，．
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【小问3详解】
．
理由：∵四边形是菱形，，
∴，，，．
∵，∴，
∴，，∴．
∵，∴，，
∴．∵，∴，
∴为等边三角形，∴，∴．
【点睛】此题考查全等三角形的性质与判定，以及等边三角形的性质和判定，解题关键是等量代换出角等，然后证明全等．