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2024年贵州省黔东南苗族侗族自治州 从江县东朗中学中考一模数学试题（解析版）
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这是一份2024年贵州省黔东南苗族侗族自治州 从江县东朗中学中考一模数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了不能使用科学计算器等内容，欢迎下载使用。
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1．全卷共8页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷．
2．不能使用科学计算器．
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分．
1. 计算的结果是（ ）
A. B. 12C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用有理数的减法法则进行计算即可．
【详解】解：；
故选C．
【点睛】本题考查有理数的减法，熟练掌握减一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键．
2. 观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（ ）
A. 主视图既中心对称图形，又是轴对称图形
B. 左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
【答案】C
【解析】
【分析】先判断该几何体三视图，再根据轴对称和中心对称图形定义逐项判断三视图，即可求出答案.
【详解】解：A选项：主视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
B选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
D选项：由A和B选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意.
故选：C.
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图、轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于掌握轴对称和中心对称的定义. 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
3. 百里杜鹃风景名胜区，被誉为“世界上最大的天然花园”，享有“地球彩带，世界花园”之美誉．生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，正确确定和的值是解题关键．用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中，是一个负整数，的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），据此解答即可．
【详解】解：0.0000021．
故选：A．
4. 不等式组的解在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
原不等式组解集为，
在数轴上表示该不等式组的解集如图所示：
，
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法及在数轴上的表示，熟练掌握不等式组解集的求解原则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键．
5. 如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对顶角相等及平行线的性质即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质是关键．
6. 一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A. 中位数是3，众数是2B. 平均数是3，中位数是2
C. 平均数是3，方差是2D. 平均数是3，众数是2
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
【详解】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；
当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，此时方差，
因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字．
7. 在和中，．已知，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵，
∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，
∵，，
∴，
∴；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，
∵，，
∴，
∴，即；
综上，的值为或．
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
8. 弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度y（cm）（最长为20cm）与所挂物体质量x（kg）之间有下面的关系：
下列说法不正确的是（ ）
A. y与x的函数表达式为
B. 所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为11cm
C. y与x的函数表达式中一次项系数表示“所挂物体质量每增加1kg弹簧伸长的长度”
D. 挂30kg物体时，弹簧长度为23cm
【答案】D
【解析】
【分析】由表格数据可知：弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，物体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm，进而可得y与x的函数表达式，然后计算当所挂物体为6kg或30kg时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为20cm．
【详解】解：A．从表格数据中分析可知，弹簧原长为8cm，每增加1kg物体，弹簧长度就增加0.5cm，所以函数表达式为，
故A选项正确，不符合题意；
B．当所挂物体为6kg时，弹簧的长度为cm，
故B选项正确，不符合题意；
C．y与x的函数表达式中一次项系数0.5表示“所挂物体质量每增加1kg弹簧伸长的长度为0.5cm”
故C选项正确，不符合题意；
D．当所挂物体为30kg时，弹簧长度为cm，超过弹簧最长限度20cm，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了变量、自变量、因变量，函数表达式，认真审题能从题目中得到函数解析式是解题的关键．
9. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，
共六种可能，
只有是“平稳数”
∴恰好是“平稳数”的概率为
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
10. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：
解得： 且
∵关于的分式方程的解是负数，
∴，且
∴且，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
11. 如图，在平行四边形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交直线于点E，再分别以B，E为圆心，大于长为半径在直线下方作弧，两弧交于点F，连接交于点G，连接，若，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查作图—垂直平分线，平行四边形的性质，解直角三角形．由作图可得，解直角三角形求出，再根据平行四边形的性质结合即可解决问题．
【详解】解：由作图可知，
在中，，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：D．
12. 如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据二次函数图象可知：，，，得出，故①不正确；将点，代入，得出：，再求出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，得，解得，，故④不正确．
【详解】解：根据二次函数图象可知：，，，
∴，
∴，故①不正确；
将点，代入得出：，
得出：，
∴，
再代入得出：，故②不正确；
由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为， ，
∵，
∴，，，
∵抛物线对称轴为直线，
∵，，
∴，
∴，故③正确；
把，代入方程，
得
∴，，
故④不正确；
正确的个数是1个，
故选：D．
二、填空题：每小题4分，共16分．
13. 已知为正整数，点在第一象限中，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在第一象限，则，根据为正整数，则，即可．
【详解】∵点在第一象限中，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点的坐标的性质．
14. 如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，侧b的值可以是____________．（写一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴即可，
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
15. 在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由，可得，求解，证明，再利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明是解本题的关键．
16. 已知内接于，它的内心为点D，连接交弦于点E，交于点F，已知，，，则线段的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，，通过证明得到，求得线段，利用三角形的内心是三角形的三个内角平分线的交点，根据圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得的长，再利用三角形的外角的性质和等腰三角形的判定与性质得到，则．
【详解】解：连接，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点为的内心，
∴，分别为，的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理及其推论，等腰三角形的判定与性质，充分利用相似三角形的判定与性质求得相应线段的长度是解题的关键．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）化简：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算及二元一次方程组，熟练掌握分式运算法则及方程组的方法是解题的关键．
（1）根据分式的混合运算法则即可求解；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
①，得，③
②③，得，
解得．
将代入①，得，
解得，
故原方程组的解是．
18. 某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程．为了解培训效果，学校对七年级320名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）．学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图：
（1）这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为________________；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
（2）求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
（3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
【答案】（1）合格 （2）分
（3）人
【解析】
【分析】（1）由32个数据排在最中间是第16个，第17个，这两个数据的平均数即为中位数，从而可得答案；
（2）分别计算培训前与培训后的平均成绩，再作差即可；
（3）利用总人数乘以良好与优秀所占的百分比即可得到答案．
【小问1详解】
解：32个数据排在最中间是第16个，第17个，这两个数据的平均数即为中位数，
∴这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格；
【小问2详解】
32名学生在培训前的平均分为：（分），
32名学生在培训后的平均分为：（分），
这32名学生培训后比培训前的平均分提高了（分）；
【小问3详解】
培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是：
（人）．
【点睛】本题考查的是频数分布直方图，利用样本估计总体，求解平均数，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
19. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于2，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：，，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
20. 爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．王老师周末到公园爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，王老师从山脚A出发，沿走400米到B点，再沿到山顶C点，已知山高为354米，，交AD的延长线于点F，，．（图中所有点均在同一平面内）
（1）求的长；
（2）求王老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，）
【答案】（1）200米
（2）600米
【解析】
【分析】（1）在中，根据，可得即可求解；
（2）根据，，得出，再根据四边形是矩形结合即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，
米，
∴的长为200米；
【小问2详解】
解：，，
∴，，
∴四边形是矩形，米，米，
在中，，
∴米，
∴米．
∴王老师从山脚点到达山顶C点的路程为600米．
【点睛】本题考查了含30度的三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是理解三角函数的概念．
21. 如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）若，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由是的直径得到，则，由得到，则，结论得证；
（2）证明，则，可得，解得或3，由即可得到的长；
（3）先证明，则，得到，由得到，则，由同角的余角相等得到，则，得，进一步得到，则，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得或3，
当时，，
当时，，
∵，即，
∴；
【小问3详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22. 如图，点、分别在轴和轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边，，且轴，点在反比例函数的图像上．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点是反比例函数图像上一点，当四边形是菱形时，求出点坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出点的坐标为，则，又，即可求出值确定函数解析式；
（2）根据菱形的性质可知，，且与互相平分，设，则，再根据是等边三角形求出和的值即可得出点的坐标．
【小问1详解】
解：根据题意，设点的坐标为，
∴，
∴，
又轴，
∴，，
∴，
即，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，根据菱形的性质可知，，且与互相平分，
设菱形对角线的交点为，设点坐标为，
是等边三角形，四边形是菱形，
∴，，
即，，
，
∴tan，
即，
由（1）知，点在第一象限，
，，
∴．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质，等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
23. 2020年6月1日，随着《山西省城市生活垃圾分类管理规定》的实施，我省的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式，太原市各社区积极行动．某小区准备购买A，B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的价格比B种垃圾桶每组的价格少120元，且用8000元购买A种垃圾桶的数量与用10400元购买B种垃圾桶的数量相等．
（1）求A，B两种垃圾桶每组的单价；
（2）该小区物业计划用不超过18000元资金购买A，B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
【答案】（1）A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为520元；（2）最多可以购买B种垃圾桶16组
【解析】
【分析】（1）直接利用8000元购买A种垃圾桶的数量与10400元购买B种垃圾桶的数量相等，进而得出等式求出答案；
（2）直接利用计划用不超过18000元的资金购买A，B两种垃圾桶共40组，表示出两种垃圾桶所需费用，进而得出答案．
【详解】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+120）元，根据题意可得：
解得：x＝400，
经检验得：x＝400是所列方程的根，
x+120＝400+120＝520（元），
答：A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为520元；
（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（40﹣y）组，
根据题意可得：400（40﹣y）+520y≤18000，
解得：y≤，
∵y是正整数，
∴y的最大值为16，
答：最多可以购买B种垃圾桶16组．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等量关系是解题关键．
24. 年东京奥运会，中国跳水队赢得个项目中的块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
（1）时，求这条抛物线的解析式．
（2）（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离．
（3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点）入水时才能达到训练要求，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）运动员落水点与点的距离为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，运用待定系数法即可求解；
（2）在（1）中函数解析式中令，求出即可；
（3）若跳水运动员在区域内（含点）入水达到训练要求，设函数设抛物线的解析式为，中当米时，，当米时，，解不等式即可得．
【小问1详解】
解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入得，，解得，，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：抛物线的解析式为，运动员落水点在轴上，
∴令，则，解得，，，
∵抛物线的对称轴为，且运动员落水点在对称轴的右边，
∴，即运动员落水点在轴上，表示数量为的位置，且点为原点，
∴运动员落水点与点的距离为．
【小问3详解】
解：根据题意，
∵跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，是固定不变的，
∴设抛物线的解析式为，且过点，
∴，则，
∵米，米，
∴当时，，则，解得，；
当时，，则，解得，；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查二次函数与实际问题的综合，理解函数图像，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，图像的性质等知识是解题的关键．
25. 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设．
【操作探究】
如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．
（1）当时，________；当时，________；
（2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．
【答案】（1）2；30或210
（2）画图见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，与重合，证明为等边三角形，得出；当时，根据勾股定理逆定理得出，两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可；
（2）证明四边形是正方形，得出， 求出，得出，求出，根据求出两块三角板重叠部分图形的面积即可；
（3）根据等腰三角形的性质，得出，即，确定将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，求出圆的周长即可．
【小问1详解】
解：∵和中，
∴，
∴当时，与重合，如图所示：连接，
∵，，
∴等边三角形，
∴；
当时，
∵，
∴当时，为直角三角形，，
∴，
当在下方时，如图所示：
∵，
∴此时；
当在上方时，如图所示：
∵，
∴此时；
综上分析可知，当时，或；
故答案为：2；30或210．
【小问2详解】
解：当时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即两块三角板重叠部分图形的面积为．
【小问3详解】
解：∵，为的中点，
∴，
∴，
∴将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，
∵
∴点F运动的路径长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是画出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论．x/kg
0
1
2
3
4
…
y/cm
8
8.5
9
9.5
10
…
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1．全卷共8页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷．
2．不能使用科学计算器．
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分．
1. 计算的结果是（ ）
A. B. 12C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用有理数的减法法则进行计算即可．
【详解】解：；
故选C．
【点睛】本题考查有理数的减法，熟练掌握减一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键．
2. 观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（ ）
A. 主视图既中心对称图形，又是轴对称图形
B. 左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C. 俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
【答案】C
【解析】
【分析】先判断该几何体三视图，再根据轴对称和中心对称图形定义逐项判断三视图，即可求出答案.
【详解】解：A选项：主视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
B选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
D选项：由A和B选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意.
故选：C.
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图、轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于掌握轴对称和中心对称的定义. 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
3. 百里杜鹃风景名胜区，被誉为“世界上最大的天然花园”，享有“地球彩带，世界花园”之美誉．生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，正确确定和的值是解题关键．用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中，是一个负整数，的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），据此解答即可．
【详解】解：0.0000021．
故选：A．
4. 不等式组的解在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案．
【详解】解：，
由①得；
由②得；
原不等式组解集为，
在数轴上表示该不等式组的解集如图所示：
，
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法及在数轴上的表示，熟练掌握不等式组解集的求解原则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键．
5. 如图，直线被射线所截，，若°，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对顶角相等及平行线的性质即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，掌握这两个性质是关键．
6. 一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A. 中位数是3，众数是2B. 平均数是3，中位数是2
C. 平均数是3，方差是2D. 平均数是3，众数是2
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
【详解】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；
当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，此时方差，
因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字．
7. 在和中，．已知，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵，
∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，
∵，，
∴，
∴；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，
∵，，
∴，
∴，即；
综上，的值为或．
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
8. 弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度y（cm）（最长为20cm）与所挂物体质量x（kg）之间有下面的关系：
下列说法不正确的是（ ）
A. y与x的函数表达式为
B. 所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为11cm
C. y与x的函数表达式中一次项系数表示“所挂物体质量每增加1kg弹簧伸长的长度”
D. 挂30kg物体时，弹簧长度为23cm
【答案】D
【解析】
【分析】由表格数据可知：弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，物体每增加1kg，弹簧长度就增加0.5cm，进而可得y与x的函数表达式，然后计算当所挂物体为6kg或30kg时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为20cm．
【详解】解：A．从表格数据中分析可知，弹簧原长为8cm，每增加1kg物体，弹簧长度就增加0.5cm，所以函数表达式为，
故A选项正确，不符合题意；
B．当所挂物体为6kg时，弹簧的长度为cm，
故B选项正确，不符合题意；
C．y与x的函数表达式中一次项系数0.5表示“所挂物体质量每增加1kg弹簧伸长的长度为0.5cm”
故C选项正确，不符合题意；
D．当所挂物体为30kg时，弹簧长度为cm，超过弹簧最长限度20cm，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了变量、自变量、因变量，函数表达式，认真审题能从题目中得到函数解析式是解题的关键．
9. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，
共六种可能，
只有是“平稳数”
∴恰好是“平稳数”的概率为
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
10. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：
解得： 且
∵关于的分式方程的解是负数，
∴，且
∴且，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
11. 如图，在平行四边形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交直线于点E，再分别以B，E为圆心，大于长为半径在直线下方作弧，两弧交于点F，连接交于点G，连接，若，则（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查作图—垂直平分线，平行四边形的性质，解直角三角形．由作图可得，解直角三角形求出，再根据平行四边形的性质结合即可解决问题．
【详解】解：由作图可知，
在中，，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴，
故选：D．
12. 如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据二次函数图象可知：，，，得出，故①不正确；将点，代入，得出：，再求出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，得，解得，，故④不正确．
【详解】解：根据二次函数图象可知：，，，
∴，
∴，故①不正确；
将点，代入得出：，
得出：，
∴，
再代入得出：，故②不正确；
由图象可知：抛物线开口向下，与x轴交点为， ，
∵，
∴，，，
∵抛物线对称轴为直线，
∵，，
∴，
∴，故③正确；
把，代入方程，
得
∴，，
故④不正确；
正确的个数是1个，
故选：D．
二、填空题：每小题4分，共16分．
13. 已知为正整数，点在第一象限中，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点在第一象限，则，根据为正整数，则，即可．
【详解】∵点在第一象限中，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点的坐标的性质．
14. 如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，侧b的值可以是____________．（写一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、三象限判断出b的符号，再找出符合条件的b的可能值即可．
【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴即可，
故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
15. 在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】由，可得，求解，证明，再利用正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明是解本题的关键．
16. 已知内接于，它的内心为点D，连接交弦于点E，交于点F，已知，，，则线段的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，，通过证明得到，求得线段，利用三角形的内心是三角形的三个内角平分线的交点，根据圆周角定理和相似三角形的判定与性质求得的长，再利用三角形的外角的性质和等腰三角形的判定与性质得到，则．
【详解】解：连接，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点为的内心，
∴，分别为，的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理及其推论，等腰三角形的判定与性质，充分利用相似三角形的判定与性质求得相应线段的长度是解题的关键．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）化简：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查分式的混合运算及二元一次方程组，熟练掌握分式运算法则及方程组的方法是解题的关键．
（1）根据分式的混合运算法则即可求解；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
①，得，③
②③，得，
解得．
将代入①，得，
解得，
故原方程组的解是．
18. 某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程．为了解培训效果，学校对七年级320名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）．学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图：
（1）这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为________________；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
（2）求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
（3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
【答案】（1）合格 （2）分
（3）人
【解析】
【分析】（1）由32个数据排在最中间是第16个，第17个，这两个数据的平均数即为中位数，从而可得答案；
（2）分别计算培训前与培训后的平均成绩，再作差即可；
（3）利用总人数乘以良好与优秀所占的百分比即可得到答案．
【小问1详解】
解：32个数据排在最中间是第16个，第17个，这两个数据的平均数即为中位数，
∴这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格；
【小问2详解】
32名学生在培训前的平均分为：（分），
32名学生在培训后的平均分为：（分），
这32名学生培训后比培训前的平均分提高了（分）；
【小问3详解】
培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是：
（人）．
【点睛】本题考查的是频数分布直方图，利用样本估计总体，求解平均数，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
19. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于2，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：，，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
20. 爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．王老师周末到公园爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，王老师从山脚A出发，沿走400米到B点，再沿到山顶C点，已知山高为354米，，交AD的延长线于点F，，．（图中所有点均在同一平面内）
（1）求的长；
（2）求王老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，）
【答案】（1）200米
（2）600米
【解析】
【分析】（1）在中，根据，可得即可求解；
（2）根据，，得出，再根据四边形是矩形结合即可求解．
【小问1详解】
解：在中，，
米，
∴的长为200米；
【小问2详解】
解：，，
∴，，
∴四边形是矩形，米，米，
在中，，
∴米，
∴米．
∴王老师从山脚点到达山顶C点的路程为600米．
【点睛】本题考查了含30度的三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是理解三角函数的概念．
21. 如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）若，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由是的直径得到，则，由得到，则，结论得证；
（2）证明，则，可得，解得或3，由即可得到的长；
（3）先证明，则，得到，由得到，则，由同角的余角相等得到，则，得，进一步得到，则，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得或3，
当时，，
当时，，
∵，即，
∴；
【小问3详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22. 如图，点、分别在轴和轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边，，且轴，点在反比例函数的图像上．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点是反比例函数图像上一点，当四边形是菱形时，求出点坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出点的坐标为，则，又，即可求出值确定函数解析式；
（2）根据菱形的性质可知，，且与互相平分，设，则，再根据是等边三角形求出和的值即可得出点的坐标．
【小问1详解】
解：根据题意，设点的坐标为，
∴，
∴，
又轴，
∴，，
∴，
即，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，根据菱形的性质可知，，且与互相平分，
设菱形对角线的交点为，设点坐标为，
是等边三角形，四边形是菱形，
∴，，
即，，
，
∴tan，
即，
由（1）知，点在第一象限，
，，
∴．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质，等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
23. 2020年6月1日，随着《山西省城市生活垃圾分类管理规定》的实施，我省的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式，太原市各社区积极行动．某小区准备购买A，B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的价格比B种垃圾桶每组的价格少120元，且用8000元购买A种垃圾桶的数量与用10400元购买B种垃圾桶的数量相等．
（1）求A，B两种垃圾桶每组的单价；
（2）该小区物业计划用不超过18000元资金购买A，B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
【答案】（1）A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为520元；（2）最多可以购买B种垃圾桶16组
【解析】
【分析】（1）直接利用8000元购买A种垃圾桶的数量与10400元购买B种垃圾桶的数量相等，进而得出等式求出答案；
（2）直接利用计划用不超过18000元的资金购买A，B两种垃圾桶共40组，表示出两种垃圾桶所需费用，进而得出答案．
【详解】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+120）元，根据题意可得：
解得：x＝400，
经检验得：x＝400是所列方程的根，
x+120＝400+120＝520（元），
答：A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为520元；
（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（40﹣y）组，
根据题意可得：400（40﹣y）+520y≤18000，
解得：y≤，
∵y是正整数，
∴y的最大值为16，
答：最多可以购买B种垃圾桶16组．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确得出等量关系是解题关键．
24. 年东京奥运会，中国跳水队赢得个项目中的块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
（1）时，求这条抛物线的解析式．
（2）（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离．
（3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点）入水时才能达到训练要求，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）运动员落水点与点的距离为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，运用待定系数法即可求解；
（2）在（1）中函数解析式中令，求出即可；
（3）若跳水运动员在区域内（含点）入水达到训练要求，设函数设抛物线的解析式为，中当米时，，当米时，，解不等式即可得．
【小问1详解】
解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入得，，解得，，
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：抛物线的解析式为，运动员落水点在轴上，
∴令，则，解得，，，
∵抛物线的对称轴为，且运动员落水点在对称轴的右边，
∴，即运动员落水点在轴上，表示数量为的位置，且点为原点，
∴运动员落水点与点的距离为．
【小问3详解】
解：根据题意，
∵跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，是固定不变的，
∴设抛物线的解析式为，且过点，
∴，则，
∵米，米，
∴当时，，则，解得，；
当时，，则，解得，；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查二次函数与实际问题的综合，理解函数图像，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，图像的性质等知识是解题的关键．
25. 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设．
【操作探究】
如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．
（1）当时，________；当时，________；
（2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
（3）如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．
【答案】（1）2；30或210
（2）画图见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，与重合，证明为等边三角形，得出；当时，根据勾股定理逆定理得出，两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可；
（2）证明四边形是正方形，得出， 求出，得出，求出，根据求出两块三角板重叠部分图形的面积即可；
（3）根据等腰三角形的性质，得出，即，确定将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，求出圆的周长即可．
【小问1详解】
解：∵和中，
∴，
∴当时，与重合，如图所示：连接，
∵，，
∴等边三角形，
∴；
当时，
∵，
∴当时，为直角三角形，，
∴，
当在下方时，如图所示：
∵，
∴此时；
当在上方时，如图所示：
∵，
∴此时；
综上分析可知，当时，或；
故答案为：2；30或210．
【小问2详解】
解：当时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即两块三角板重叠部分图形的面积为．
【小问3详解】
解：∵，为的中点，
∴，
∴，
∴将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，
∵
∴点F运动的路径长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是画出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论．x/kg
0
1
2
3
4
…
y/cm
8
8.5
9
9.5
10
…
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