2024年广东省广州市执信中学南沙学校中考模拟 数学试题（四）（解析版）

这是一份2024年广东省广州市执信中学南沙学校中考模拟 数学试题（四）（解析版），共26页。试卷主要包含了 已知的相反数是，则的值是， 下列运算正确的是， 下列说法中不正确的是等内容，欢迎下载使用。

1. 已知的相反数是，则的值是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相反数，理解相反数的定义，正确解答即可．
【详解】解：因为2024的相反数是，
所以，
故选：B．
2. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三视图判断几何体的形状，即可得出判断．
【详解】由左视图为长方形，俯视图为三角形，结合主视图、左视图知该几何体为三棱柱，
故选：C．
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查了空间想象能力．
3. 一组数据3、4、4、5，若添加一个数4后得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会发生变化的是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】计算出原数据与新数据的平均数、中位数、众数与方差，然后进行比较即可得出结果．
【详解】解：原数据3，4，4，5的平均数为，中位数为4，众数为4，方差为，
新数据3，4，4，4，5的平均数为，中位数为4，众数为4，方差为，
综合可得：平均数、中位数、众数均未发生变化，方差发生变化，
故选：D．
【点睛】题目主要考查求数据的平均数、中位数、众数与方差，熟练掌握各个统计量的求法是解题关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. 2﹣1＝﹣2B. （x﹣2）3•x6＝0
C. （x3）2÷x2＝x4D. 3x﹣2＝
【答案】C
【解析】
【分析】依据负整数指数幂、幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、除法法则进行计算，即可得出结论．
【详解】解：．，故本选项错误；
．，故本选项错误；
．，故本选项正确；
．，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂、幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、除法法则，解题的关键是计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算．
5. 如图， C岛在A岛的北偏东方向，在B岛的北偏西方向， ，则A、B两岛之间的距离为（ ）
A. 12kmB. 13kmC. 14kmD. 17km
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，需联系方向角的概念及勾股定理解题．
过C作，由平行线的传递性可得，再根据平行线的性质可得的度数，即可求出，再运用勾股定理即可求解；
【详解】解：过C作，如图所示，
依题意得：
是直角三角形，
由勾股定理得：
故选：B
6. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 函数的图象经过原点B. 函数的图象位于第一、三象限
C. 函数的图象不经过第二象限D. 函数的值随值增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数、一次函数及反比例函数的性质，属于函数的基础性知识，解题的关键是了解有关函数的性质，难度不大．
利用正比例函数、一次函数及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：、函数是正比例函数，
函数的图象经过原点，故A正确，不符合题意；
B、，
函数的图象位于第一、三象限，故B正确，不符合题意；
C、，，
函数图象经过第一、三、四象限，故C正确，不符合题意；
D、，
当或时，函数的值随值增大而增大，故D错误，符合题意．
故选：D．
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集等知识点，熟练掌握如何在数轴上表示不等式的解集是解题的关键．
先求出不等式组的解集，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可得出答案．
【详解】解：，
由可得：，
由可得：，
因而，不等式组的解集为：，
故选：．
8. 如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（ ）．
A 35°B. 55°C. 70°D. 125°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内切圆、圆心角和圆周角定理、四边形的性质分析，即可完成解题．
【详解】连接OD，OF，如下图所示
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F
∵∠DEF＝55°
∴∠DOF＝2∠DEF＝2×55°＝110°
∵四边形ADOF
∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF＝360°
∵AD，AF是圆的切线
∴∠ADO＝∠AFO＝90°
∴∠A＝360°-90°-90°-110°＝70°
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内切圆、圆心角、圆周角、四边形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内切圆、圆心角、圆周角、四边形内角和性质，从而完成求解．
9. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：，
∴列出方程为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10. 定义一种新运算“”，对于任意实数m，n，则有，如，若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A. 只有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】根据新运算的规律写出，并根据一元二次方程根的判别式判断其根的情况即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义的运算和一元二次方程根的判别式，根据新运算得出关于x的一元二次方程是解答本题的关键．
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11. 今年“五一”期间，某市旅游营收达31.75亿元，数值31.75亿用科学记数法可表示为________．
【答案】3.175×109
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】31.75亿=31.75×108=3.175×109
故答案为：3.175×109
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12. 2023年5月30日是第7个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有100件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图，则a的值为____________．若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为___________．

【答案】 ①. 30 ②. ##36度
【解析】
【分析】用总件数100减去其他奖品的数量即可得到a的值，利用“一等奖”与作品总数的比乘以即可得到“一等奖”对应扇形的圆心角度数．
【详解】解：，
“一等奖”对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：30，．
【点睛】此题考查了条形统计图，计算圆心角度数，计算条形统计图某项的数量，正确理解条形统计图是解题的关键．
13. 菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是___________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系、菱形的面积公式即可得．
【详解】设菱形的两条对角线的长分别为，
由一元二次方程的根与系数的关系得：，
则菱形的面积是，
故答案：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、菱形的面积，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目中已知信息，可以推出AB=4，再根据余弦定义可以计算出，，通过即可作答．
【详解】解：根据题意可知，DA=2，∴AB=2DA=4，
又∵以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，
∴AE=AB=4，
∵四边形ABCD是矩形，在Rt△ADE中，
，
∴，，
∴，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了余弦的定义以及扇形的面积计算，其中根据矩形的性质以及余弦定义求出是解题的关键，本题属于基础题．
15. 已知是二次函数图象上的两点，则当时，二次函数的值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式．
根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入函数关系式求得．
【详解】解：是二次函数图象上的两点，
关于对称轴对称，
即：，
将代入得：
即：，
故答案为：3
16. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，交于点，交于点，的延长线交的延长线于点，且，连接．
（1）________．
（2）若，，则________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）连接，可得，可得，再证明，即可根据三线合一得到；
（2）先证明，可得，，设，则，，在中，利用勾股定理列方程计算即可．
【详解】（1）如图，连接，可
∵正方形
∴，．
∵
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
设，则，．
在中，，
即，
解得，（舍去），
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质、正切、勾股定理等知识，综合性较强，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造全等三角形．
三．解答题（共9小题，72分）
17. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
经检验，是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
18. 如图，点F、C是上的两点，且，，，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质求出，，根据推出两三角形全等即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】化简结果为，求值为
【解析】
【分析】本题考查的知识点是分式加减乘除混合运算、分式化简求值、二次根式的混合运算、分母有理化，解题关键是熟练掌握分式、二次根式的相关运算法则．
先根据分式的加减乘除混合运算法则对原式进行化简，再将代入进行分母有理化及二次根式的混合运算即可求解．
【详解】解：原式
，
将代入得，
原式
．
20. 长沙地铁的开通运营缓解了城市的交通压力，如图所示的是某站地铁闸口的示意图．
（1）名乘客通过此地铁闸口进站时，选择闸口的概率是
（2）当两名乘客通过此地铁闸口进站时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同的闸口通过的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果情况是正确解答的关键．（1）有种等可能的结果数，其中选择的只有一种，可求出选择的概率；（2）用列表法表示两名乘客通过地铁闸口所有可能的情况，进而求出两名乘客选择不同闸口通过的概率．
【小问1详解】
解：共有、、三个闸口，一名乘客通过每个闸口的可能性是均等的，因此选择闸口的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的结果有6种，
两名乘客选择不同的闸口通过的概率为．
21. 如图所示，已知在中，，；

（1）求的面积以及的值；
（2）作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）如图所示，过点作，垂足为，由等腰三角形三线合一，得，，由勾股定理可知，所以 ，．
（2）如图，分别作线段，的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，两垂直平分线的交点O到三角形三个顶点的距离相等，即外接圆圆心，以O为圆心，为半径作圆，即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作，垂足为，

∵
∴为中点即，
平分即，
由勾股定理可知，
∴ ，
∴．
【小问2详解】
解：如图，分别作线段，的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，两垂直平分线的交点O到三角形三个顶点的距离相等，即外接圆圆心，以O为圆心，为半径作圆，即为所求．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，尺规作图作三角形外接圆；作等腰三角形的底边上高，运用三线合一的性质是解题的关键．
22. 某纪念品的进价为每件40元，售价为每件50元，每星期可卖出200个．经市场调查发现：以不低于现售价的价格销售该商品，售价每上涨1元，则每星期少卖4个（每件售价不高于68元），设每件商品销售单价为（元），每星期销售量为（个）．
（1）求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）将该纪念品的销售单价定为多少元时，每星期销售这种产品获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）68元时，每天销售这种产品获得的利润最大，最大利润是3584元
【解析】
【分析】（1）销售量，自变量x取值范围为；
（2）根据销售利润=销售量×（售价−进价)，列出w与x的函数关系式，配方后，根据，求最大值即可得到结果．
【小问1详解】
解：由题意可知，
∴与之间的函数关系式为
【小问2详解】
解：设每星期销售这种产品所获利润为元
∵
∴抛物线开口向下
当时，随的增大而增大
∵
∴当时，有最大值，
答：产品的销售单价定为68元时，每天销售这种产品获得的利润最大，最大利润是3584元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄清题意，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．

（1）求此反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）当时，直接写出的取值范围；
（3）在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长．
【答案】（1）反比例函数的表达式为，点的坐标为
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由点在一次函数图象上即可求出值，从而得出点的坐标，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的关系式，再联立直线与反比例函数关系式成方程组，解方程组即可求出点的坐标；
（2）观察函数图象，结合反比例函数的对称性，根据函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，根据点的坐标即可得出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数关系式，令其求出值即可得出点的坐标，再利用勾股定理求得线段的长度即可求出的周长．
【小问1详解】
解：点在一次函数的图象上，
，
点的坐标为．
点在反比例函数为常数且的图象上，
，
反比例函数的表达式为．
联立直线与反比例函数的表达式，得：，
解得：或，
点的坐标为．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴观察函数图象可知：当或时，一次函数的图象在（为常数且）的图象的下方，
∴时，的取值范围为：或．
【小问3详解】
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，如图所示．

点，
点．
设直线的表达式为，
则，解得：，
直线的表达式为．
令中，令，则，
点的坐标为．
，，．
，，
的周长．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，已知两点求距离，轴对称最短路线问题，求得函数的解析式是解题的关键．
24. 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的解析式
（2）点P在下方的抛物线上，连接，若，求点P的坐标；
（3）点N在线段上，若存在最小值n，求点N的坐标及n的值
【答案】（1）
（2）或
（3），
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质、三角形的面积、垂线段最短等知识，综合性很强，难度适宜．
（1）将点和点的坐标代入抛物线解析式，求解得函数关系式，
（2）过点作轴的平行线，交于点，设点P的坐标为，则点D的坐标为，再求解即可；
（3）作，垂足为点E，先证得为等腰直角三角形． 可得．． 当点A，N，E共线时，有最小值．最小值n为线段的长． 再求解即可．
【小问1详解】
解：将坐标代入得，
，
解得，
抛物线的解析式为：，
【小问2详解】
解：令，得，
则，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
如图，过点P作轴，交于点D．
设点P的坐标为，则点D的坐标为．
∴．
由，得．
解得，．
∴点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：如图，作，垂足为点E．
，
，
，
为等腰直角三角形．
∴．
∴．
当点A，N，E共线时，有最小值．
最小值n为线段的长．
为等腰直角三角形．
，
，
为等腰直角三角形．
，
为等腰直角三角形．
∴，即点N 的坐标为．
∴．
∴n的值是．
25. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”．如图1，在中，点D是边上的一点，连接，若，则称点D是中边的“好点”．
（1）如图1，在中，，若点D是边的“好点”，且，则线段的长是______；
（2）如图2，是的外接圆，点E在边上，连接并延长，交于点D，连接、、，若点E是中边的“好点”， ，求证：；
（3）在（2）的条件下，点P是上一点，连接交于点Q，连接、，若，为等腰直角三角形，，求的长．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据“好点”定义可得出，然后代入数据即可求解；
（2）根据“好点”定义可得出，证明可得出，则，由垂径定理可得进而得出，最后根据的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，则，在和中由勾股定理即可证明；
（3）由三角形的中位线定理求得，运用勾股定理得，由（2）知：，求出，则，而，故，延长交于，由垂径定理得出，由线段垂直平分线的判定得出，利用等腰三角形的性质可得，证明，得出，过点作于，过点作于，求出，证明，得出，设，则，，，代入可得出关于的方程，求得，则，代入可得，则，可证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
解：点是边的“好点”，
，
又，，
，
（负数舍去），
故答案为：；
【小问2详解】
证明：点是△中边的“好点”，
，
，，
，
，即，
，
，
∵经过圆心，
，
，
，
是的直径，
∴，
∴在和中，
由勾股定理得，，
∴；
【小问3详解】
解：，，，
，
，为等腰直角三角形，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴
而，
∴，
延长交于，
，经过圆心，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
过点作于，过点作于，
，
，
，，
△△
，即，
设，则，，
在中，，
，
，
化简得，
，
，（舍去），
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理等，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．