四川省绵阳市东辰学校2023-2024学年高一上学期入学测试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 2007年3月5日，温家宝总理在政府工作报告中讲到，全国财政安排农村义务教育经费1840亿元，全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段5200万名学生的学杂费，为3730万名贫困家庭学生免费提供教科书，对780万名寄宿学生补助了生活费．在这组数据中，全部免除学杂费的学生人数用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
2. 一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的，估计步行不能准时达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（ ）

A. 20分钟B. 22分钟C. 24分钟D. 26分钟
3. 由小到大排列一组数据，，，，，其中每个数据都小于，则对于样本1，，，，，的中位数是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知反比例函数的图象上有两点，，且，则的值是（ ）
A. 正数B. 负数C. 非正数D. 不能确定
5. 一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有个面涂有颜色的小立方块的个数为，则，，之间的关系为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在函数的图象上取点，作轴于，作轴于点，为原点，且矩形的面积为2，则符合条件的点共有（ ）个.
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 如图，有一矩形纸片，，，将纸片向右折叠，使AD边落在AB边上，折痕为，再将以DE为折痕向右折叠，与交于点，则面积为（ ）

A. 10B. 8C. 6D. 4
8. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A ①②③B. ②③C. ①④D. ③④
9. 世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分．
A. 5B. 6C. 7D. 8
10. 已知一个三角形的三边长分别为，另一个三角形的三边长分别为，其中.若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共32分）
11. 有五张不通明卡片为，，，，，除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽出一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为______.
12. 函数的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线沿轴向上平移2个单位后，那么所得直线与函数的图象的交点共有______个.
13. 有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①②比③④重，第二次⑤⑥比⑦⑧轻，第三次①③⑤和②④⑧一样重.那么，两个轻球的编号是______.
14. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，以秒的速度向终点移动，动点从点出发以秒的速度向终点移动，则移动到第______秒时，可使的面积最大.
15. 如图所示，点为正方形的边上的一点，为边的延长线上一点，且．若正方形的边长为2，且，的面积为，请写出与之间的函数关系式为____________．
16. 若关于的分式方程在实数范围内无解，则实数________．
17. 平面上两点的距离为（且为定值），又点到某直线的距离分别为，则这样的直线共有______条．
18. 对自然数，定义新运算，使其满足，．则______________．
三、解答题（共88分）
19. （1）计算：；
（2）已知，求的值.
20. 如图，在中，为边上一点，且.
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数.
21. 把一个六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6有正方体骰子随意掷一次，各个数字所在面朝上的机会均相等.
（1）若抛掷一次，则朝上的数字大于4的概率是多少？
（2）若连续抛掷两次，第一次所得的数为，第二次所得的数为.把作为点的横、纵坐标，那么点在函数的图象上的概率又是多少？
22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为15，边比大2，为的中点，以为直径的交轴于点，过点作于．
（1）求的长；
（2）求证：为的切线；
（3）小明在解答本题时，发现是等腰三角形．由此，他断定：“直线上一定存在除点以外的点，使也是等腰三角形，且点一定在外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．
23. 如图，已知为边上一点，以为顶点的的两边分别交射线于两点，且（为锐角）．当以点为旋转中心，边与重合的位置开始，按逆时针方向旋转（保持不变）时，两点在射线上同时以不同的速度向右平行移动．设，，的面积为．若，．
（1）当旋转（即）时，求点移动的距离；
（2）求证：；
（3）写出与之间的关系式；
（4）试写出随变化的函数关系式，并确定的取值范围．
24. 已知关于的方程①．
（1）若方程①有实数根，求实数的取值范围？
（2）若、，方程①所对应函数的图象与线段只有一个交点，求实数的取值范围？
25. 已知抛物线.
（1）判断抛物线的顶点与直线的位置关系；
（2）设该抛物线与轴交于两点，当，且时，求出这条抛物线的解析式；
（3）直线交轴于点，（2）中所求抛物线的对称轴与轴交于点.那么在对称轴上是否存在点，使与直线和轴同时相切.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.