四川省绵阳南山中学实验学校2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题（Word版附解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将试题卷和答题卡交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 绵阳南山中学实验学校传承百年南山文化，立足于高起点、高品位办学，全面启迪学生成长智慧，促进学生和谐发展.自2010年建校以来，我校累计近5万名学生考上一本线（重本线），数据“5万”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列因式分解错误的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 将一副三角板按如下图位置放在直尺上，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 南南和实实相约到学校环校樱花大道上参加健步走活动，他们同时同地出发，已知环校樱花大道线路每圈长度为2公里，南南和实实约定每人走3圈，已知南南的速度是实实的倍，南南比实实提前8分钟走完全程，设实实的速度为，则下列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 实践课上，南南画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图1～图3是其作图过程．
在南南的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分D. 一组对边平行且相等
6. 已知二次函数和（是常数）的图象与轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ）
A. B.
C. D.
8. 观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（…）作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ）

A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各命题是真命题的是（ ）
A. 对角线相等四边形是矩形
B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C. 等腰三角形底边上高，底边上的中线和顶角的角平分线互相重合
D. 圆内接四边形的对角互补
10. 随着物联网技术的推广与应用，我国快递行业得到迅猛发展．结合下图所提供的信息，请你判断以下结论正确的是（ ）

A. 2017-2021年，快递业务量持续增加
B. 2017-2021年，快递业务量较上一年的增长速度持续提高
C. 2017-2021年，较上一年快递业务量的增长速度最快的是2020年
D. 2021年较2017年快递业务量增长速度是
11. 已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论中正确的有（ ）
A. B. C. D.
12. 发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图．图②中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. 当与相切时，D. 当时，
三、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
13. 关于的代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为______．
14. 若关于一元二次方程的两根分别为和，则的值为______．
15. 如图，是的切线，为切点，连接，．若，，，则的长度是_________．
16. 如图所示，已知网格中每个小正方形的面积均为1，其中，，，均为小正方形的顶点，连接和相交于，则的面积为______．

17. 某家具商场准备购进甲、乙两种椅子，其中甲、乙两种椅子的进价分别为元/把和元/把，售价分别为250元/把和200元/把.已知购进3把甲种椅子和4把乙种椅子共需620元，购进5把甲种椅子和3把乙种椅子共需740元.现该商场计划购进甲乙两种椅子共200把，要使购进总成本不超过18100元，且全部售出后的总利润不少于27000元.如该商场要保证获得最大利润，则该商场需要进货甲种椅子_________把.
四、解答题：本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. （1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
19. 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》.为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中表示“一等奖”，表示“二等奖”，表示“三等奖”，表示“优秀”）.
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）求的值，并将条形统计图补充完整；
（2）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有2名男生，2名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
20. 某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）（天）的关系如表：
未来40天内，前20天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为（且为整数），后20天每天的价格（元/件）与时间（天）的函数关系式为（且为整数）．
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的（件）与（天），直接写出日销售量（件）与时间（天）的函数关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
21. 阅读以下材料：
①对任意正实数、，，，
，（当且仅当时，）．
②对任意正实数、，，，，
，（当且仅当时，）
结合①②我们可以得到如下结论：
对任意正实数、，（当且仅当时取等号）；
上式可变形为：对任意正实数、，（当且仅当时取等号）．
根据上述材料，回答下列问题：
（1）当，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值．
（2）已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值．
22. （1）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．南南测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端．经测得，南南的眼睛离地面的距离，，，求建筑物的高度．
（2）【活动探究】观察南南的操作后，实实提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让南南站在点处不动，将镜子移动至处，南南恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出．经测得，南南的眼睛离地面距离，，求这个广告牌的高度．
（3）【应用拓展】南南和实实讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让南南站在斜坡的底端处不动（南南眼睛离地面距离），实实通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至处，让南南恰好能看到塔顶；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔的高度（结果保留整数）．
23. 已知抛物线与轴交于点和B4,0，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，联结，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）作的垂直平分线交于点；
（2）连接，在的延长线上截取；
（3）连接，，则四边形即为所求．
时间（天）
1
3
6
10
36
……
日销售量（件）
94
90
84
76
24
……