四川省遂宁市蓬溪中学2025届高三上学期开学摸底联考数学试题（Word版附答案）

这是一份四川省遂宁市蓬溪中学2025届高三上学期开学摸底联考数学试题（Word版附答案），共13页。试卷主要包含了若复数满足，则，双曲线的离心率为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.
2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.将正整数按从小到大的顺序分组，第组含个数，分组如下：…则2025在第（ ）组.
A.9 B.10 C.11 D.12
6.在中，内角的对边分别为，且的面积，若的平分线交于点，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知面积为的正三角形的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则函数在上的零点个数为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.10
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（ ）
A.2 B.0 C.-1 D.-2
10.已知随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.若定义在上的偶函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称为“函数”.下列函数为“函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在的展开式中，含的项的系数为__________.
13.已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是__________.
14.如图，已知圆的半径为是圆的一条直径.两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点.在对某品牌10个子工厂投资及利润的统计后，得到如下表格，分别表示第个子工厂的投资（单位：万元）和纯利润（单位：万元）.
（1）依据表中的统计数据，请判断投资与纯利润是否具有较强的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较强.计算时精确度为0.01）
（2）求关于的经验回归方程（精确到0.01）.
参考数据：，.
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
16.（15分）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
17.（15分）如图，在三棱柱中，平面.
（1）求证：平面；
（2）设点满足，若平面与平面的夹角为，求实数.
18.（17分）已知函数，当时，.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性；
（3）设，证明：对任意两个不等实数，不等式恒成立.
19.（17分）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标；
（3）设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且顺时针排列且，证明：四边形的面积小于.
2025届高三开学摸底联考
数学参考答案及评分意见
1.B 【解析】由题易得.故选B.
2.D 【解析】由题知，，所以.故选D.
3.B 【解析】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点的坐标为.故选B.
4.B 【解析】由，得，所以，即双曲线的离心率.故选B.
5.C 【解析】由题意可设前组里含有的正整数的个数为，则1，由于，故2025在第11组.故选C.
6.A 【解析】由可知，，所以，所以.在中，由等面积法得，即，即，
所以.故选A.
7.B 【解析】设球的半径为外接圆圆心为，半径为的边长为是面积为的等边三角形，，解得，所以，则.则球的表面积为.故选B.
8.C 【解析】，因为当时，在上的值域为，所以解得，即的零点即为的根，则或，即或，所以函数在上的零点有，共8个.故选C.
9.CD 【解析】因为命题“”为真命题，所以.令，易知为增函数，当时，有最小值，故实数的取值范围为.故选CD.
10.ABD 【解析】由随机变量，得400，故A正确；，故B正确；1600，故C错误；两个随机变量的均为120，由正态分布特点知D正确.故选ABD.
11.ACD 【解析】根据题意，对任意两个不相等的实数，都有，变形可得，即.若，则，可得，即在上单调递减.又为偶函数，在上单调递增.易知A，C，D符合题意，故ACD正确；对于选项在上单调递增，不满足题意，故B错误.故选ACD.
12.80 【解析】（2+的二项展开式的通项公式为，令1，可得，所以，故含的项的系数为80.
13. 【解析】在上单调递增，由题意只需即解得，这时存在，使得在区间（1，上单调递减，在区间2）上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值.所以的取值范围是.
14. 【解析】如图，为圆心，连接，则.因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，所以，则，即的取值范围是.
15.解：（1）依题意知，相关系数
所以与之间具有较强的线性相关关系.
（2）依题意知，，
，
，
所以关于的经验回归方程为.
16.解：（1）当时，，即，
当时，①，②，
①-②得：，即，所以.
因为，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.
则，
即.
（2）由（1）得，，
所以，
，
故
，
所以.
17.（1）证明：平面平面，
.
又，且平面，
平面.
平面.
又平面，
平面.
（2）解：由（1）知四边形为正方形，即，且有.
以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系
则
，
设平面的一个法向量为，由得：
取.
由（1）知平面平面的一个法向量为，
，
解得.
18.（1）解：由题知在上单调递增，
由当时，，可知，即.
（2）解：由（1）知，的定义域为，
.
令，
所以，所以在上单调递增.
（3）证明：.不妨设，
则要证明，
只需证明，
即，
即证.
设，则只需证明，化简得.
设，则在上恒成立，在上单调递增，.
当时，，即，得证.
19.（1）解：由题，椭圆的另一焦点为，
因此，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设“共轭点对”中点的坐标为，
根据“共轭点对”定义：
点的坐标满足
所以或
于是有两个点满足，且点的坐标为.
（3）证明：设.设所在直线为，则的方程为.
设点，则
两式相减得.
又，于是，则，所以线段的中点在直线上.
所以线段被直线平分.
设点到直线的距离为，
则四边形的面积.
又，则有.
设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，取得最大值.
由消去得（*）
令，解得.
当时，方程（*）为，即，解得，
则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件，
从而直线与不可能相切，
即小于直线和平行直线（或）的距离，
所以.投入万元
32
31
33
36
37
38
39
43
45
46
纯利润万元
25
30
34
37
39
41
42
44
48
50