重庆市第八中学2025届高三上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，且，则集合（ ）
A. B. C. D.
2. 赵佶所作《瑞鹤图》中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以，为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与轴、轴均相切，，两点间的曲线可近似看成函数的图象，有导函数，为了让雨水最快排出，需要满足螺旋线方程，其中，为常数，则（ ）

A. ，B. ，C. ，D. ，
3. 使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5. 定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 定义在上的函数满足，则函数的零点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
7. 已知数列满足，且对任意均有.记前项和为，则（ ）
A. 28B. 140C. 256D. 784
8. 将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设函数，，，则下列函数中满足，与值域相同的是（ ）
A. B. C. D.
10. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ）
A. 若输入信号，则输出信号只有两个的概率为
B.
C.
D.
11. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么（ ）
A. 存旋转函数
B. 旋转函数一定是旋转函数
C. 若为旋转函数，则
D. 若为旋转函数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若不等式对恒成立，则的最大值为__________.
13. 有1000张从1开始依次编号的多米诺骨牌，从小到大排成一行，每次从中去掉处在奇数位置的牌，则最后剩下的一张牌是______号．
14. 《扫雷》是一款益智类的小游戏，游戏要求玩家在方格中点击若干次，排除所有无雷的格子即算成功.方格中的数字代表其周围8格的地雷数.现有如图所示的方格阵，有4个方格已经被点开，则图中地雷数的可能取值有______种；若已知图中共有7个地雷，则它们的排列方式有______种.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数（且）.
（1）若对于任意的，都有，求实数的取值范围；
（2）在（1）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围：若不存在，说明理由.
16. 已知函数，其中，.
（1）若，，求的最大值；
（2）若，求；（用表示）
（3）若，求
17. 已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于，（，异于点）两点，且以为直径的圆过点.
（1）求方程；
（2）已知，，是上的三点，若为正三角形，为的中心，求直线斜率的最大值.
18. 药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选三味药都恰好只包含在某一副药方中．
（1）药房中共有几味药？
（2）药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药．
（i）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；
（ii）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药．
19. 已知.
（1）若存在两个不同的使得的最小值为0，证明：；
（2）设（为常数），且当恒成立时，的最小值为，求的取值集合.