2024九年级数学人教版第26章 反比例函数学案
展开第二十六章 反比例函数 26.1.1 反比例函数 一、问题引入： 1、思考：下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？ 沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km h/ ）随此次列车的全程运行时间（单位：h）的变化而变化； 住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m）随宽 y（单位：m）的变化而变化； 已知北京市的总面积为1.68 10 4km2，人均占有面积s（单位：km2 /人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化. 二、新知学习： 反比例函数：________________________________________________________________叫做反比例函数，其中_______是自变量，________函数.自变量的取值范围是 . 概念辨析： 练习 下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函数？ y 2 1（1）y= 4x； （2）x = 3； （3）y=− 3 x； （4）y= x2 ； （5）xy=123； 3 k −1； （9）y= 1 ； （10）x=1 . （6）y=−； （7）y=； （8）y=3x 2x x x+3 y 小结：反比例函数的解析式的不同形式： 三、例题分析： 例 1 已知y是x的反比例函数，并且当x= 2时，y= 6． 写出y关于x的函数解析式； 当x= 4时，求y的值. 例 2 若反比例函数y= (k 0) 的图象与一次函数y= −2x 4 的图象都过点A m( ， 2) . （1）求点A的坐标； （2）求反比例函数的解析式. k例 3 已知一次函数y = − +x a 2的图象与反比例函数y= (k 0) 的图象相交. x判断一次函数的图象是否经过点(k， 1)； 若一次函数的图象过点(k， 1)，且2a k+ =5，求反比例函数的解析式. 例 4 已知y= +1 2 ，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例，并且x=1时，y= 0；x= 4时，y= 9. 求x=−1时，y的值. 四、反馈检测： 2下列各点在函数y=− 的图象上的是（ ） x 4 33 4A. （− −， ） B. （− ） C. （ ，− ） D. （ ） 3 24 3k= 时，函数y= +(k 2)xk2+ −2 1k 是反比例函数. 已知y是关于x的正比例或反比例函数，并且其部分对应数据如下表所示，试确定 y 关于 x 的函数解析式，并补全表格. 26.1.2 反比例函数的图象和性质（一） 一、复习提问： 形如什么样的函数是反比例函数？ 反比例函数的自变量取值范围是多少？对应的函数值的取值范围是多少？ 二、新知学习： 1、思考： 由反比例函数的解析式，想象它的图象，位于第几象限？与坐标轴有无交点？图象是上升还是下降的？ 函数值随自变量的增大而增大？还是减小？ 2、与一次函数类比： 一次函数y kx b= + （k 0）的图象是什么形状？怎么画函数图象？ 一次函数有怎样的性质？ 3、画反比例函数图象： 6 12画出反比例函数y=和y=的图象． x x 6 12观察反比例函数y= 和y= 的图象，它们有哪些特征？ x x 6 6反比例函数y=与y=−的解析式有什么共同特征？有什么不同点？图象一样吗？为什么？ x x k取不同的值时，上述结论是否依然成立？ 4、请你总结完成下表： 三、巩固练： k已知反比例函数y= 的图象过点（2， 1），则它的图象在______象限，每个象限内，y随x的增大 x而 . k点A x y（ 1, 1），B x y（ 2, 2）在反比例函数y= （k＜0）的图象上，且x x1＜ 2＜0，则y y1 − 2 0. xk已知反比例函数y= （k 0），当x＜0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y kx k= − 的 x图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限四、例题分析： m−5例 1 如图是反比例函数y=的图象的一支，根据图象回答下列问题： x图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是多少？ 在这个函数图象上有两点A x y（ 1, 1），B x y（ 2, 2），若x x1＞ 2，则y y1、 2有怎样的大小关系？ 五、反馈练： k反比例函数y= 的图象经过点（2 ，5），若点（1 ，n）在反比例函数图象上，则n= . x 若反比例函数y=（2m−1）xm2−2的图象在第二、四象限，则m= . 3、正比例函数ykx=和反比例函数yx=在同一坐标系内的图象为（ ） k A B C D 六、小结： 反比例函数与正比例函数的区别 26.1.2 反比例函数的图象和性质（二） 一、复习提问： 反比例函数有几种表达形式？ 反比例函数的图象是什么形状？解析式中的比例系数k对函数图象有什么影响？ 反比例函数有怎样的性质？ k练习：（1）反比例函数y=的图象经过点（1 ，-2），则k= . x4关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（ ） xA. 必经过（1 ，1） B. 两个分支分布在第二、四象限 C. 两个分支关于x轴成轴对称 D. 两个分支关于原点成中心对称 2k−1若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是 . x二、例题分析： k例 1 （1）反比例函数y= 的图象过点（− −1 ， 2），当x＞1时，函数值y的取值范围是 . x− −k 2 1（2）已知点（−1 ，y1），（2 ，y2），（3 ，y3）在反比例函数y=的图象上，则y y y1、 2、 3的大小关 x系是 . 4例 2 已知反比例函数y=，则 x当−3 x −1时，反比例函数y的取值范围是_____________． 当1 x 3时，反比例函数y的取值范围是_____________． 当x 2时，反比例函数y的取值范围是_____________． 当x−1时，反比例函数y的取值范围是_____________． 当−3 x 1且x 0时，反比例函数y的取值范围是_____________． 当反比例函数y的取值范围是−3 y 1且y 0时，自变量x的范围是_____________． 9例 3 （1）函数y x1 = （x0），y2 = （x＞0）的图象如图所示，则结论： x两函数图象的交点A的坐标是（3 ，3）； 当x＞3时，y y2＞ 1； 当x=1时，BC=8； 当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小. 其中正确结论的序号是 . 1−k（2）函数y=的图象与直线y x= 没有交点，那么k的取值范围是 . xk例 4 如图，已知反比例函数y= 与一次函数y x b= + 的图象在第一象限相交于A（1 ，− +k 4）. x求这两个函数的解析式； 求出两个函数图象的另一个交点坐标，并根据图象写出反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围. 三、练习巩固： ab已知一次函数y ax b= + 的图象经过第一、二、四象限，则函数y= 的图象位于第 象限. x m如图，一次函数y kx b= + （k 0）的图象与反比例函数y= （m 0）的图象交于A B、 两点， x且点B的纵坐标为，过点A作AC x⊥ 轴于点C，AC=1，OC= 2 .分别求一次函数和反比例函数的解析式；并求△ABC的面积. 26.1.4 反比例函数k的几何意义 复习提问： 反比例函数解析式中的 k 对图象和函数有什么影响？ 新知学习： 1、探究思考： 3已知反比例函数y=的图象上有一点 P（2，n），作 PA⊥y 轴，PB⊥x 轴， x得到的四边形 OAPB 形状是怎样的？面积是多少？ 连接 OP，则△OAP和△OBP的面积是多少？ 变式 1：上述条件都不变，只将点 P 的坐标改为（m，n）上述问题中的结论改变吗？为什么？ kyxOQCBAP变式 2：已知反比例函数y= (k 0)的图象上有一点 P（m，n），其余条件同问题， x问结论改变吗？为什么？ 变式 3：将变式 2 中的条件k0改为k0呢？ 改为k 0呢？ 小结：你有什么结论？ 巩固练习： k如图，点 P 在反比例函数y= (k 0) 图象上第二象限内的一点，且矩形 OFPE 的面积为 3，则反 x比例函数的表达式是_________ k如图，AB⊥x 轴，点 A 在y= (k 0且x 0) 的图象上，若△AOB 的面积为 2，则 k=________ x1如图，过函数y= (x 0)的图象上任意两点 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，连接 OA、 xOB，设△AOC和△BOD的面积分别是S S1和 2，则S S1和 2的值分别为 ；若图中△AOP与梯形 PCDB 的面积分别记为S S3和 4，则S3 S4（填“>”“0）图像上五个整数 x点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含 π 的代数式表示）． 3.在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=(x>0)的图象 G 经过点 A(4，1)，直线 l:y =+b 与图象 G 交于点 B，与 y 轴交于点 C. 求 k 的值； 横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象 G 在点 A，B 之间的部分与线段 OA，OC，BC 围成的区域(不含边界)为 W. ①当 b= -1 时，直接写出区域 W 内的整点个数； ②若区域 W 内恰有 4 个整点，结合函数图象，求 b 的取值范围. x … -4 -3 -2 -1 2 3 4 … y … 6 -18 -9 … 函数 图象形状 图象位置 图象变化趋势 函数值增减规律 对称性 ky= x k＞0 k＜0 正比例函数 反比例函数 解析式 自变量取值范围 图象（示意图） 性质 x (元) 3 4 5 6 y (个) 20 15 12 10 xy52O10CBA ．
