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    2024-2025学年北京市海淀区中学关村中学数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】

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    2024-2025学年北京市海淀区中学关村中学数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】

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    这是一份2024-2025学年北京市海淀区中学关村中学数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】,共23页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
    1、(4分)如图,A、B两地被池塘隔开,小康通过下列方法测出了A、B间的距离:先在AB外选一他点C,然后测出AC,BC的中点M、N,并测量出MN的长为18m,由此他就知道了A、B间的距离.下列有关他这次探究活动的结论中,错误的是( )
    A.AB=36mB.MN∥ABC.MN=CBD.CM=AC
    2、(4分)已知一组数据,,,,的平均数为5,则另一组数据,,,,的平均数为( )
    A.4B.5C.6D.10
    3、(4分)下列函数中,y随x的增大而减小的函数是( )
    A.B.C.D.
    4、(4分)关于x的不等式的解集为x>3,那么a的取值范围为( )
    A.a>3B.a<3C.a≥3D.a≤3
    5、(4分)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,如果EF=2,那么菱形ABCD周长是( )
    A.4B.8C.12D.16
    6、(4分)下列运算正确的是( )
    A.=2B.=±2C.D.
    7、(4分)一种微粒的半径是4×10-5米,用小数表示为( )
    A.0.000004米B.0.000004米C.0.00004米D.0.0004米
    8、(4分)下列窗花图案中,是轴对称图形的是( )
    A.B.
    C.D.
    二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    9、(4分)如图在中,,,,是边上的两点,且满足,若,,,的长是__________.
    10、(4分)若代数式有意义,则的取值范围为__________.
    11、(4分)在一只不透明的袋子中装有2个红球、3个绿球和5个白球,这些球除颜色外都相同,摇匀后,从袋子中任意摸出1个球,摸出白球可能性_________摸出红球可能性.(填“等于”、“小于”或“大于”)
    12、(4分)如图,的对角线、交于点,则图中成中心对称的三角形共有______对.
    13、(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点,连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B,以AB为底边作等腰直角三角形ABC,使得点C位于第四象限。
    (1)点C与原点O的最短距离是________;
    (2)没点C的坐标为(,点A在运动的过程中,y随x的变化而变化,y关于x的函数关系式为________。
    三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
    14、(12分)为了满足市场需求,某厂家生产A、B两种款式的环保购物袋,每天共生产5000个,两种购物袋的成本和售价如下表:
    设每天生产A种购物袋x个,每天共获利y元.
    (1)求y与x的函数解析式;
    (2)如果该厂每天最多投入成本12000元,那么每天最多获利多少元?
    15、(8分)如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E,F.
    (1)若CE=4,CF=3,求OC的长.
    (2)连接AE、AF,问当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?请说明理由.
    16、(8分)先化简代数式,再从-2,2,0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值.
    17、(10分)如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,过A点作AG∥DB,交CB的延长线于点G.
    (1)求证:DE∥BF;
    (2)若∠G=90,求证:四边形DEBF是菱形.
    18、(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB,于点E
    (1)求证:△ACD≌△AED;
    (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
    B卷(50分)
    一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    19、(4分)若某人沿坡度在的斜坡前进则他在水平方向上走了_____
    20、(4分)甲、乙两人玩扑克牌游戏,游戏规则是:从牌面数字分别为5,6,7的三张扑克牌中,随机抽取一张,放回后,再随机抽取一张,若所抽取的两张牌牌面数字的积为奇数,则甲获胜;若所抽取的两张牌牌面数字的积为偶数,则乙获胜.这个游戏________.(填“公平”或“不公平”)
    21、(4分)正方形的边长为,则这个正方形的对角线长为_________.
    22、(4分)函数y=kx+b的图象平行于直线y=-2x,且与y轴交于点(0,3),则k=______,b=____.
    23、(4分)已知A(﹣2,2),B(2,3),若要在x轴上找一点P,使AP+BP最短,此时点P的坐标为_____
    二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
    24、(8分)某校分别于2015年、2016年春季随机调查相同数量的学生,对学生做家务的情况进行调查(开展情况分为“基本不做”、“有时做”、“常常做”、“每天做”四种),绘制成部分统计图如下.
    请根据图中信息,解答下列问题:
    (1)a=______%,b=______%,“每天做”对应阴影的圆心角为______°;
    (2)请你补全条形统计图;
    (3)若该校2016年共有1200名学生,请你估计其中“每天做”家务的学生有多少名?
    25、(10分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,点P、点E分别是边AB、BC上的动点,连结DP、PE.将 △ADP 与 △BPE分别沿DP与PE折叠,点A与点B分别落在点A′,B′处.
    (1) 当点P运动到边AB的中点处时,点A′与点B′重合于点F处,过点C作CK⊥EF于K,求CK的长;
    (2) 当点P运动到某一时刻,若P,A',B'三点恰好在同一直线上,且A'B'=4 ,试求此时AP的长.
    26、(12分)如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是OB,OD的中点,试说明四边形AECF是平行四边形.
    参考答案与详细解析
    一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
    1、C
    【解析】
    通过构造相似三角形即可解答.
    【详解】
    解:根据题意可得在△ABC中△ABC∽△MNC,
    又因为M.N是AC,BC的中点,
    所以相似比为2:1,MN//AB,B正确, CM=AC,D正确.
    即AB=2MN=36,A正确;
    MN=AB,C错误.
    故本题选C.
    本题考查相似三角形的判定与运用,熟悉掌握是解题关键.
    2、C
    【解析】
    根据平均数的性质,所有数之和除以总个数即可得出平均数.
    【详解】
    依题意得:++++
    所以平均数为6.
    故选C.
    考查算术平均数,掌握平均数的计算方法是解题的关键.
    :
    3、C
    【解析】
    根据一次函数的性质,k<0,y随x的增大而减小,找出各选项中k值小于0的选项即可.
    【详解】
    解:A、B、D选项中的函数解析式k值都是正数,y随x的增大而增大,
    C选项中,k=<0,y随x的增大而减少.
    故选:C.
    本题考查了一次函数的性质,主要利用了当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.
    4、D
    【解析】
    分析:先解第一个不等式得到x>3,由于不等式组的解集为x>3,则利用同大取大可得到a的范围.
    详解:解不等式2(x-1)>4,得:x>3,
    解不等式a-x<0,得:x>a,
    ∵不等式组的解集为x>3,
    ∴a≤3,
    故选D.
    点睛:本题考查了解一元一次不等式组:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
    5、D
    【解析】
    解:∵菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,EF=2,
    ∴BC=2EF=2×2=1.即AB=BC=CD=AD=1.
    故菱形的周长为1BC=1×1=2.
    故答案为2.
    本题考查三角形中位线定理;菱形的性质.
    6、A
    【解析】
    根据,二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为系数相加减,根式不变进行计算即可.
    【详解】
    解:A、,故原题计算正确
    B、,故原题计算错误
    C、和不是同类二次根式,不能合并,故原题计算错误
    D、,故原题计算错误
    故选:A
    本题考查了二次根式的化简,以及简单的加减运算,认真计算是解题的关键.
    7、C
    【解析】
    小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10-n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
    【详解】
    4×10-5= 0.00004
    故答案为:C
    考查了科学计数法,n为负整数,n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零).
    8、A
    【解析】
    根据轴对称图形的概念求解.
    【详解】
    解:A、是轴对称图形,符合题意;
    B、不是轴对称图形,不合题意;
    C、不是轴对称图形,不合题意;
    D、不是轴对称图形,不合题意.
    故选:A.
    本题考查了轴对称图形的识别,熟练掌握基本概念是解题的关键.
    二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    9、
    【解析】
    以点B为旋转中心,将按顺时针方向旋转得到 (点C与点A重合,点E到点E'处),如下图,利用等腰直角三角形的性质得,利用旋转的性质得,,则,在中利用勾股定理可计算出,然后再根据证明三角形即可得到.
    【详解】
    以点B为旋转中心,将按顺时针方向旋转得到 (点C与点A重合,点E到点E'处),如图
    按顺时针方向旋转得到
    在中,
    将按顺时针方向旋转得到 (点C与点A重合,点E到点E'处)
    ,
    ,即
    在和中
    ∴.
    本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理.
    10、且.
    【解析】
    根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可.
    【详解】
    解:∵代数式有意义,
    ∴x≥0,x-1≠0,
    解得x≥0且x≠1.
    故答案为x≥0且x≠1.
    本题考查了二次根式和分式有意义的条件,二次根式的被开方数为非负数,分式的分母不为零.
    11、大于
    【解析】
    分别求出摸到白球与摸到红球的概率,比较这两个概率即可得答案.
    【详解】
    ∵共有球:2+3+5=10个,
    ∴P白球==,P红球==,
    ∵>,
    ∴摸出白球可能性大于摸出红球可能性.
    故答案为:大于
    本题考查概率的求法,概率=所求情况数与总情况数之比;熟练掌握概率公式是解题关键.
    12、4
    【解析】
    ▱ABCD是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,对称点的连线到对称中心的距离相等,即对称中心是对称点连线的中点,并且中心对称图形被经过对称中心的直线平分成两个全等的图形,据此即可判断.
    【详解】
    解:图中成中心对称的三角形有△AOD和△COB,△ABO与△CDO,△ACD与△CAB,△ABD和△CDB共4对.
    本题主要考查了平行四边形是中心对称图形,以及中心对称图形的性质.掌握中心对称图形的特点是解题的关键.
    13、
    【解析】
    (1)先根据反比例函数的对称性及等腰直角三角形的性质可得OC=OA=OB,利用勾股定理求出AO的长为,再配方得,根据非负性即可求出OA的最小值,进而即可求解;
    (2)先证明△AOD≌△COE可得AD=CE,OD=OE,然后根据点C的坐标表示出A的坐标,再由反比例函数的图象与性质即可求出y与x 的函数解析式.
    【详解】
    解:(1)连接OC,过点A作AD⊥y轴,如图,

    ∵A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点,延长AO交另一分支于点B,
    ∴OA=OB,
    ∵△ABC是等腰直角三角形,
    ∴OC=OA=OB,
    ∴当OA的长最短时,OC的长为点C与原点O的最短距离,
    设A(m,),
    ∴AD=m,OD=,
    ∴OA===,
    ∵,
    ∴当时,OA=为最小值,
    ∴点C与原点O的最短距离为.
    故答案为;
    (2)过点C作x轴的垂线,垂足为E,如上图,
    ∴∠ADO=∠CEO=90°,
    ∵△ABC是等腰直角三角形,
    ∴OC=OA=OB,OC⊥AB,
    ∴∠COE+∠AOE=90°,
    ∵∠AOD+∠AOE=90°,
    ∴∠AOD=∠COE,
    ∴△AOD≌△COE(AAS),
    ∴AD=CE,OD=OE,
    ∵点C的坐标为(x,y)(x>0),
    ∴OE=x,CE=-y,
    ∴OD=x,AD=-y,
    ∴点A的坐标为(-y,x),
    ∵A是双曲线第一象限的一点,
    ∴,即,
    ∴y关于x的函数关系式为(x>0).
    故答案为(x>0).
    本题考查了反比例函数的综合应用及等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质.利用配方法求出AO的长的最小值是解题的关键.
    三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
    14、(1) ;(2)2400元.
    【解析】
    (1)根据题意可得A种塑料袋每天获利(2.4-2)x,B种塑料袋每天获利(3.6-3)(5000-x),共获利y元,列出y与x的函数关系式:y=(2.4-2)x+(3.6-3)(5000-x).
    (2)根据题意得2x+3(4500-x)≤10000,解出x的范围.得出y随x增大而减小.
    【详解】
    (1)由题意得:=
    (2)由题意得:≤12000
    解得:≥3000
    在函数中,<0
    ∴随的增大而减小
    ∴当=3000时,每天可获利最多,最大利润=2400
    ∴该厂每天最多获利2400元.
    此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组解法,解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,找到所求的量的等量关系.
    15、 (1)2.5: (2)见解析.
    【解析】
    (1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,证出OE=OC=OF,∠ECF=90°,由勾股定理求出EF,即可得出答案;(2)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.
    【详解】
    (1)证明:∵EF交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,
    ∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF,
    ∵EF∥BC,
    ∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,
    ∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,
    ∴OE=OC,OF=OC,
    ∴OE=OF;
    ∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,
    ∴∠ECF=90°,
    在Rt△CEF中,由勾股定理得:EF==5,
    ∴OC=OE=EF=2.5;
    (2)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:
    连接AE、AF,如图所示:
    当O为AC的中点时,AO=CO,
    ∵EO=FO,
    ∴四边形AECF是平行四边形,
    ∵∠ECF=90°,
    ∴平行四边形AECF是矩形.
    本题考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质,掌握这些判定及性质是解答本题的关键.
    16、,2
    【解析】
    试题分析:首先将括号里面的进行通分,然后将除法改成乘法进行分式的化简,选择a的值时,不能使原分式没有意义,即a不能取2和-2.
    试题解析:原式=·=
    当a=0时,原式==2.
    考点:分式的化简求值.
    17、(1)证明见解析;(2)证明见解析.
    【解析】
    (1)在□ABCD中,AB∥CD,AB=CD,
    ∵E、F分别为边AB、CD的中点,
    ∴DF=CD,BE=AB,
    ∴DF=BE, DF∥BE,
    ∴四边形BEDF为平行四边形,
    ∴DE∥BF;
    (2)∵AG∥DB,
    ∴∠G=∠DBC=90°,
    ∴△DBC为直角三角形,
    又∵F为边CD的中点,
    ∴BF=CD=DF,
    又∵四边形BEDF为平行四边形,
    ∴四边形BEDF为菱形.
    本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定,直角三角形中斜边中线等于斜边一半,解题的关键是掌握和灵活应用相关性质.
    18、(1)见解析(2)BD=2
    【解析】
    解:(1)证明:∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,
    ∴CD=ED,∠DEA=∠C=90°.
    ∵在Rt△ACD和Rt△AED中,,
    ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
    (2)∵Rt△ACD≌Rt△AED ,CD=1,∴DC=DE=1.
    ∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°.
    ∵∠B=30°,∴BD=2DE=2.
    (1)根据角平分线性质求出CD=DE,根据HL定理求出另三角形全等即可.
    (2)求出∠DEB=90°,DE=1,根据含30度角的直角三角形性质求出即可.
    一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    19、
    【解析】
    根据坡度的概念得到∠A=45°,根据正弦的概念计算即可.
    【详解】
    如图,
    斜坡的坡度,


    故答案为:.
    本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是理解坡度及坡角的定义,熟练勾股定理的表达式.
    20、不公平.
    【解析】
    试题分析:先根据题意画出树状图,然后根据概率公式求解即可.
    画出树状图如下:
    共有9种情况,积为奇数有4种情况
    所以,P(积为奇数)=
    即甲获胜的概率是
    所以这个游戏不公平.
    考点:游戏公平性的判断
    点评:解题的关键是熟练掌握概率的求法:概率=所求情况数与总情况数的比值.
    21、1
    【解析】
    如图(见解析),先根据正方形的性质可得,再利用勾股定理即可得.
    【详解】
    如图,四边形ABCD是边长为正方形

    由勾股定理得:
    即这个正方形的两条对角线相等,长为1
    故答案为:1.
    本题考查了正方形的性质、勾股定理,掌握理解正方形的性质是解题关键.
    22、 -2 3
    【解析】试题解析:∵y=kx+b的图象平行于直线y=−2x,
    ∴k=−2,
    则直线y=kx+b的解析式为y=−2x+b,
    将点(0,3)代入得:b=3,
    故答案为:−2,3.
    23、(-0.4,0)
    【解析】
    点A(-2,2)关于x轴对称的点A'(-2,-2),求得直线A'B的解析式,令y=0可求点P的横坐标.
    【详解】
    解:点A(-2,2)关于x轴对称的点A'(-2,-2),
    设直线A'B的解析式为y=kx+b,
    把A'(-2,-2),B(2,3)代入,可得
    ,解得 ,
    ∴直线A'B的解析式为y=x+,
    令y=0,则0=x+,
    解得x=-0.4,
    ∴点P的坐标为(-0.4,0),
    故答案为:(-0.4,0).
    本题综合考查待定系数法求一次函数解析式,一次函数图象上点的坐标特征,两点之间线段最短等知识点.凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,多数情况要作点关于某直线的对称点.
    二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
    24、(1)19,20,144;(2)见解析;(3)480
    【解析】
    (1)根据统计图可以求得而2016年抽调的学生数,从而可以求得a、b的值以及“每天做”对应的圆心角的度数;
    (2)根据统计图可以求得“有时做”、“常常做”的人数,从而可以将条形统计图补充完整;
    (3)根据统计图可以估计“每天做”家务的学生的人数.
    【详解】
    解:(1)由题意可得,
    2016年抽调的学生数为:80÷40%=200,
    则a=38÷200×100%=19%,
    ∴b=1-19%-21%-40%=20%,
    “每天做”对应的圆心角为:360°×40%=144°,
    故答案为:19,20,144;
    (2)“有时做”的人数为:20%×200=40,
    “常常做”的人数为:200×21%=42,
    补全的条形统计图如下图所示,
    (3)由题意可得,
    “每天做”家务的学生有:1200×40%=480(人),
    即该校每天做家务的学生有480人.
    本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答问题.
    25、(1);(2),PA的长为2或1.
    【解析】
    (1)由折叠的性质可得E ,F,D三点在同一直线上,在Rt△DEC中,根据勾股定理可求出BE,CE,DE的长,再根据面积法即可求出CK的值;
    (2)分两种情况进行讨论:根据A′B′=4列出方程求解即可.
    【详解】
    ⑴如图,
    ∵四边形ABCD为矩形,将 △ADP 与 △BPE分别沿DP与PE折叠,
    ∴∠PFD=∠PFE=90°,
    ∴∠PFD+∠PFE=180°,即:E ,F,D三点在同一直线上.
    设BE=EF=x,则EC=1-x,
    ∵DC=AB=8, DF=AD=1,
    在Rt△DEC中,∵DE=DF+FE=1+x, EC=1-x, DC=8,
    ∴(1+x)2=(1-x)2+82,
    计算得出x=,即BE=EF=,
    ∴DE=, EC=,
    ∵S△DCE=DC∙CE=DECK,
    ∴CK=;
    ⑵①如图2中,设AP=x,则PB=8-x,
    由折叠可知:PA′=PA=x , PB′=PB=8-x,
    ∵A′B′=4,
    ∴8-x-x=4,
    ∴x=2, 即AP=2.
    ②如图3中,
    ∵A′B′=4,
    ∴x-(8-x)=4, ∴x=1, 即AP=1.
    综上所述,PA的长为2或1.
    此题是四边形综合题,主要考查了矩形的性质,折叠问题,勾股定理.熟练运用勾股定理列方程求解是解本题的关键.
    26、见解析
    【解析】
    平行四边形的判定方法有多种,选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些,本题所给的条件为:平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是OB,OD的中点,根据条件在图形中的位置,可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决.
    【详解】
    解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴OA=OC,OB=OD.
    ∵点E、F分别是OB、OD的中点,
    ∴OE=OF.
    ∴四边形AECF是平行四边形.(方法不唯一)
    题号





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