2024-2025学年北京市海淀区中学关村中学数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年北京市海淀区中学关村中学数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是( )
A．AB＝36mB．MN∥ABC．MN＝CBD．CM＝AC
2、（4分）已知一组数据，，，，的平均数为5，则另一组数据，，，，的平均数为（ ）
A．4B．5C．6D．10
3、（4分）下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）关于x的不等式的解集为x＞3，那么a的取值范围为（ ）
A．a＞3B．a＜3C．a≥3D．a≤3
5、（4分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD周长是( )
A．4B．8C．12D．16
6、（4分）下列运算正确的是（ ）
A．＝2B．＝±2C．D．
7、（4分）一种微粒的半径是4×10-5米，用小数表示为（ ）
A．0.000004米B．0.000004米C．0.00004米D．0.0004米
8、（4分）下列窗花图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图在中，，，，是边上的两点，且满足，若，，，的长是__________．
10、（4分）若代数式有意义，则的取值范围为__________．
11、（4分）在一只不透明的袋子中装有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后，从袋子中任意摸出1个球，摸出白球可能性_________摸出红球可能性.（填“等于”、“小于”或“大于”)
12、（4分）如图，的对角线、交于点，则图中成中心对称的三角形共有______对．
13、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B，以AB为底边作等腰直角三角形ABC，使得点C位于第四象限。
（1）点C与原点O的最短距离是________；
（2）没点C的坐标为（，点A在运动的过程中，y随x的变化而变化，y关于x的函数关系式为________。
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）为了满足市场需求，某厂家生产A、B两种款式的环保购物袋，每天共生产5000个，两种购物袋的成本和售价如下表：
设每天生产A种购物袋x个，每天共获利y元.
（1）求y与x的函数解析式；
（2）如果该厂每天最多投入成本12000元，那么每天最多获利多少元？
15、（8分）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F．
（1）若CE=4，CF=3，求OC的长．
（2）连接AE、AF，问当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
16、（8分）先化简代数式，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
17、（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，过A点作AG∥DB，交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G=90，求证：四边形DEBF是菱形．
18、（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若某人沿坡度在的斜坡前进则他在水平方向上走了_____
20、（4分）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5，6，7的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌牌面数字的积为偶数，则乙获胜.这个游戏________.(填“公平”或“不公平”)
21、（4分）正方形的边长为，则这个正方形的对角线长为_________．
22、（4分）函数y=kx+b的图象平行于直线y=-2x，且与y轴交于点（0，3），则k=______，b=____.
23、（4分）已知A（﹣2，2），B（2，3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，此时点P的坐标为_____
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某校分别于2015年、2016年春季随机调查相同数量的学生，对学生做家务的情况进行调查（开展情况分为“基本不做”、“有时做”、“常常做”、“每天做”四种），绘制成部分统计图如下．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）a=______%，b=______%，“每天做”对应阴影的圆心角为______°；
（2）请你补全条形统计图；
（3）若该校2016年共有1200名学生，请你估计其中“每天做”家务的学生有多少名？
25、（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P、点E分别是边AB、BC上的动点，连结DP、PE．将 △ADP 与 △BPE分别沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A′，B′处．
(1) 当点P运动到边AB的中点处时，点A′与点B′重合于点F处，过点C作CK⊥EF于K，求CK的长；
(2) 当点P运动到某一时刻，若P，A'，B'三点恰好在同一直线上，且A'B'＝4 ，试求此时AP的长．
26、（12分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，试说明四边形AECF是平行四边形．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
通过构造相似三角形即可解答.
【详解】
解：根据题意可得在△ABC中△ABC∽△MNC，
又因为M.N是AC，BC的中点，
所以相似比为2:1，MN//AB,B正确, CM=AC,D正确.
即AB=2MN=36，A正确;
MN=AB，C错误.
故本题选C.
本题考查相似三角形的判定与运用，熟悉掌握是解题关键.
2、C
【解析】
根据平均数的性质，所有数之和除以总个数即可得出平均数．
【详解】
依题意得：++++
所以平均数为6.
故选C.
考查算术平均数，掌握平均数的计算方法是解题的关键.
:
3、C
【解析】
根据一次函数的性质，k＜0，y随x的增大而减小，找出各选项中k值小于0的选项即可．
【详解】
解：A、B、D选项中的函数解析式k值都是正数，y随x的增大而增大，
C选项中，k=＜0，y随x的增大而减少．
故选：C．
本题考查了一次函数的性质，主要利用了当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
4、D
【解析】
分析：先解第一个不等式得到x＞3，由于不等式组的解集为x＞3，则利用同大取大可得到a的范围．
详解：解不等式2（x-1）＞4，得：x＞3，
解不等式a-x＜0，得：x＞a，
∵不等式组的解集为x＞3，
∴a≤3，
故选D．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
5、D
【解析】
解：∵菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，EF=2，
∴BC=2EF=2×2=1．即AB=BC=CD=AD=1．
故菱形的周长为1BC=1×1=2．
故答案为2．
本题考查三角形中位线定理；菱形的性质．
6、A
【解析】
根据，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变进行计算即可．
【详解】
解：A、，故原题计算正确
B、，故原题计算错误
C、和不是同类二次根式，不能合并，故原题计算错误
D、，故原题计算错误
故选：A
本题考查了二次根式的化简，以及简单的加减运算，认真计算是解题的关键．
7、C
【解析】
小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
4×10-5= 0.00004
故答案为：C
考查了科学计数法，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
8、A
【解析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：A．
本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握基本概念是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
以点B为旋转中心,将按顺时针方向旋转得到 (点C与点A重合,点E到点E'处),如下图,利用等腰直角三角形的性质得,利用旋转的性质得,，则,在中利用勾股定理可计算出,然后再根据证明三角形即可得到.
【详解】
以点B为旋转中心,将按顺时针方向旋转得到 (点C与点A重合,点E到点E'处),如图
按顺时针方向旋转得到
在中,
将按顺时针方向旋转得到 (点C与点A重合,点E到点E'处)
,
,即
在和中
∴.
本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理.
10、且.
【解析】
根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可.
【详解】
解：∵代数式有意义，
∴x≥0，x-1≠0，
解得x≥0且x≠1.
故答案为x≥0且x≠1.
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零.
11、大于
【解析】
分别求出摸到白球与摸到红球的概率，比较这两个概率即可得答案.
【详解】
∵共有球：2+3+5=10个，
∴P白球==，P红球==，
∵>，
∴摸出白球可能性大于摸出红球可能性.
故答案为：大于
本题考查概率的求法，概率=所求情况数与总情况数之比；熟练掌握概率公式是解题关键.
12、4
【解析】
▱ABCD是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，对称点的连线到对称中心的距离相等，即对称中心是对称点连线的中点，并且中心对称图形被经过对称中心的直线平分成两个全等的图形，据此即可判断．
【详解】
解：图中成中心对称的三角形有△AOD和△COB，△ABO与△CDO，△ACD与△CAB，△ABD和△CDB共4对．
本题主要考查了平行四边形是中心对称图形，以及中心对称图形的性质．掌握中心对称图形的特点是解题的关键．
13、
【解析】
（1）先根据反比例函数的对称性及等腰直角三角形的性质可得OC=OA=OB，利用勾股定理求出AO的长为，再配方得，根据非负性即可求出OA的最小值，进而即可求解；
（2）先证明△AOD≌△COE可得AD=CE，OD=OE，然后根据点C的坐标表示出A的坐标，再由反比例函数的图象与性质即可求出y与x 的函数解析式.
【详解】
解：（1）连接OC，过点A作AD⊥y轴，如图，
，
∵A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点，延长AO交另一分支于点B，
∴OA=OB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴OC=OA=OB，
∴当OA的长最短时，OC的长为点C与原点O的最短距离，
设A（m，），
∴AD=m，OD=，
∴OA===，
∵，
∴当时，OA=为最小值，
∴点C与原点O的最短距离为.
故答案为；
（2）过点C作x轴的垂线，垂足为E，如上图，
∴∠ADO=∠CEO=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴OC=OA=OB，OC⊥AB，
∴∠COE+∠AOE=90°，
∵∠AOD+∠AOE=90°，
∴∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE（AAS），
∴AD=CE，OD=OE，
∵点C的坐标为(x，y)(x＞0)，
∴OE=x，CE=-y，
∴OD=x，AD=-y，
∴点A的坐标为（-y，x），
∵A是双曲线第一象限的一点，
∴，即，
∴y关于x的函数关系式为（x>0）.
故答案为（x>0）.
本题考查了反比例函数的综合应用及等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质.利用配方法求出AO的长的最小值是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1） ;（2）2400元.
【解析】
（1）根据题意可得A种塑料袋每天获利（2.4-2）x，B种塑料袋每天获利（3.6-3）（5000-x），共获利y元，列出y与x的函数关系式：y=（2.4-2）x+（3.6-3）（5000-x）．
（2）根据题意得2x+3（4500-x）≤10000，解出x的范围．得出y随x增大而减小．
【详解】
（1）由题意得：=
（2）由题意得：≤12000
解得：≥3000
在函数中，＜0
∴随的增大而减小
∴当=3000时，每天可获利最多，最大利润=2400
∴该厂每天最多获利2400元.
此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组解法，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系.
15、 (1)2.5: (2)见解析.
【解析】
（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】
（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∵EF∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
∴∠ECF=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF==5，
∴OC=OE=EF=2.5；
（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如图所示：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
本题考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握这些判定及性质是解答本题的关键.
16、，2
【解析】
试题分析：首先将括号里面的进行通分，然后将除法改成乘法进行分式的化简，选择a的值时，不能使原分式没有意义，即a不能取2和－2.
试题解析：原式=·=
当a=0时，原式==2.
考点：分式的化简求值.
17、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）在□ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF=CD，BE=AB，
∴DF=BE, DF∥BE,
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）∵AG∥DB，
∴∠G=∠DBC=90°，
∴△DBC为直角三角形，
又∵F为边CD的中点，
∴BF=CD=DF，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF为菱形．
本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形中斜边中线等于斜边一半，解题的关键是掌握和灵活应用相关性质.
18、（1）见解析（2）BD=2
【解析】
解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，∴DC=DE=1．
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．
∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．
（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可．
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据坡度的概念得到∠A=45°，根据正弦的概念计算即可．
【详解】
如图，
斜坡的坡度，
，
，
故答案为：．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度及坡角的定义，熟练勾股定理的表达式．
20、不公平．
【解析】
试题分析：先根据题意画出树状图，然后根据概率公式求解即可．
画出树状图如下：
共有9种情况，积为奇数有4种情况
所以，P（积为奇数）=
即甲获胜的概率是
所以这个游戏不公平.
考点：游戏公平性的判断
点评：解题的关键是熟练掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数的比值.
21、1
【解析】
如图（见解析），先根据正方形的性质可得，再利用勾股定理即可得．
【详解】
如图，四边形ABCD是边长为正方形
则
由勾股定理得：
即这个正方形的两条对角线相等，长为1
故答案为：1．
本题考查了正方形的性质、勾股定理，掌握理解正方形的性质是解题关键．
22、 -2 3
【解析】试题解析：∵y=kx+b的图象平行于直线y=−2x，
∴k=−2，
则直线y=kx+b的解析式为y=−2x+b，
将点(0,3)代入得：b=3，
故答案为：−2，3.
23、（-0.4，0）
【解析】
点A（-2，2）关于x轴对称的点A'（-2，-2），求得直线A'B的解析式，令y=0可求点P的横坐标．
【详解】
解：点A（-2，2）关于x轴对称的点A'（-2，-2），
设直线A'B的解析式为y=kx+b，
把A'（-2，-2），B（2，3）代入，可得
，解得 ，
∴直线A'B的解析式为y=x+，
令y=0，则0=x+，
解得x=-0.4，
∴点P的坐标为（-0.4，0），
故答案为：（-0.4，0）．
本题综合考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间线段最短等知识点．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）19，20，144；（2）见解析；（3）480
【解析】
（1）根据统计图可以求得而2016年抽调的学生数，从而可以求得a、b的值以及“每天做”对应的圆心角的度数；
（2）根据统计图可以求得“有时做”、“常常做”的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图可以估计“每天做”家务的学生的人数．
【详解】
解：（1）由题意可得，
2016年抽调的学生数为：80÷40%=200，
则a=38÷200×100%=19%，
∴b=1-19%-21%-40%=20%，
“每天做”对应的圆心角为：360°×40%=144°，
故答案为：19，20，144；
（2）“有时做”的人数为：20%×200=40，
“常常做”的人数为：200×21%=42，
补全的条形统计图如下图所示，
（3）由题意可得，
“每天做”家务的学生有：1200×40%=480（人），
即该校每天做家务的学生有480人．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
25、（1）；（2）,PA的长为2或1．
【解析】
（1）由折叠的性质可得E ,F,D三点在同一直线上，在Rt△DEC中,根据勾股定理可求出BE，CE，DE的长，再根据面积法即可求出CK的值；
（2）分两种情况进行讨论：根据A′B′＝4列出方程求解即可.
【详解】
⑴如图，
∵四边形ABCD为矩形，将 △ADP 与 △BPE分别沿DP与PE折叠，
∴∠PFD＝∠PFE＝90°,
∴∠PFD＋∠PFE＝180°,即：E ,F,D三点在同一直线上．
设BE＝EF＝x,则EC＝1－x,
∵DC＝AB＝8, DF＝AD＝1,
在Rt△DEC中,∵DE＝DF＋FE＝1＋x, EC＝1－x, DC＝8,
∴(1＋x)2＝(1－x)2＋82,
计算得出x=,即BE＝EF＝,
∴DE＝, EC＝,
∵S△DCE＝DC∙CE＝DECK,
∴CK＝；
⑵①如图2中,设AP＝x,则PB＝8－x,
由折叠可知：PA′＝PA＝x , PB′＝PB＝8－x,
∵A′B′＝4,
∴8－x－x＝4,
∴x＝2, 即AP＝2．
②如图3中,
∵A′B′＝4,
∴x－(8－x)＝4, ∴x＝1, 即AP＝1．
综上所述,PA的长为2或1．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理．熟练运用勾股定理列方程求解是解本题的关键．
26、见解析
【解析】
平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为：平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵点E、F分别是OB、OD的中点，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．（方法不唯一）
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
成本（元/个）
售价 （元/个）
2
2.4
3
3.6