广州外国语学校2022-2023学年九年级上学期9月训练数学试卷(含解析)

这是一份广州外国语学校2022-2023学年九年级上学期9月训练数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D. y＝x-3
答案：A
解析：
详解：A. 可化为，符合二次函数的定义，故本选项正确；
B. ，该函数等式右边最高次数为3，故不符合二次函数的定义，故本选项错误；
C. ，该函数等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
D. y＝x-3，属于一次函数，故本选项错误.
故选：A.
2. 将二次函数配方为的形式为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：，
故选：B．
3. 已知是方程的一个解，则的值为（ ）
A. 10B. －10C. 2D. －40
答案：B
解析：
详解：∵a是方程的一个解，
∴有，即，，
∴，
故选：B．
4. 如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根是（ ）
A. 1.2B. 2.3C. 3.4D. 4.5
答案：B
解析：
详解：解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一个近似根在2和3之间，
故选：B．
5. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过 ：
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第二、三、四象限D. 第一、三、四象限
答案：C
解析：
详解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴﹣＞0，＜0．
∴＜0，
∴一次函数的图象经过二、三、四象限．
故选C．
6. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
详解：将二次函数的图象向右平移2个单位，可得：
再向下平移3个单位，可得：
故答案为：C.
7. 如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m的墙，另外三边用25 m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1 m宽的门，花圃面积为80 m2，设于墙垂直的一边长为x m，则可以列出方程是（ ）

A. x（26－2x）＝80B. x（24－2x）＝80
C. （x－1）（26－2x）＝80D. x（25－2x）＝80
答案：A
解析：
详解：解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，
根据题意得：x（26-2x）=80．
故选：A．
8. 已知抛物线经过（﹣2，），（0，），（）三点，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：∵，2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小；（）关于直线的对称点是(，)，
∵，
∴，
故选：B．
9. 如图，二次函数和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（﹣2，1）和点B（4，3），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A. x＜﹣2B. x＞4C. ﹣2＜x＜4D. x＜﹣2或x＞4
答案：D
解析：
详解：解：由图可知，x＜﹣2或x＞4时，二次函数图象在一次函数图象上方，
所以，若y1＞y2，则x的取值范围是x＜﹣2或x＞4．
故选：D．
10. 已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．
其中正确的是（ ）
A. ①③B. ②③C. ①④D. ①③④
答案：D
解析：
详解：解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，
∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，
∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2，
根据顶点坐标公式，，
∴，即，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-3)=4，
∴=42=16，解得a=，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
．
二、填空题：（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11. 若是关于的一元二次方程，则的值为___________.
答案：3
解析：
详解：解：由题意可知，且，
解得：，且，
∴，
故答案为：3．
12. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为_____
答案：16
解析：
详解：∵解方程x2-7x+12=0得：x=3或4
∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；
∴菱形的边长为4．
∴菱形ABCD的周长为4×4=16．
故答案：16
13. 已知二次函数，当时有最小值10，则m的值为_______．
答案：或7##7或-1
解析：
详解：解：当m4时，二次函数在x=4时取得最小值，
所以，解得，（舍）；
故答案为：或7．
14. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
答案：且
解析：
详解：解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
则且，
即且，
且，
故答案为：且
15. 已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
答案：6
解析：
详解：∵a－b2＝4
∴
将代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵
∴
当a=4时，取得最小值6
∴的最小值为6
∵
∴的最小值6
故答案为：6．
16. 抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点，且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：；③16a+c＞4b；④若，则．其中正确结论是：_____．
答案：①③##③①
解析：
详解：∵抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，
∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：，即，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．
∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），
∵抛物线开口向下，
∴若，则，故④错误；
故答案为：①③．
三、解答题：（本大题9小题，共72分）
17. 解方程：
（1）；
（2）.
答案：（1），
（2），
解析：
小问1详解：
解：


∴或
∴，
小问2详解：
解：
∴
∴，．
18. 已知二次函数．
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式.
答案：（1）证明见解析；（2）.
解析：
详解：（1）证明：令y=0，则，
∵△=，
=，
=，
∵≥0，
∴＞0
∴无论取何实数，此二次函数的图像与轴都有两个交点．
(2).∵对称轴为x=，
∴k=2
∴解析式为
19. 已知，关于x的方程有两个实数根、．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若、满足，求实数m的值．
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
，
根据题意得，
解得；
小问2详解：
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
20. 如图二次函数的图象与轴交于点A(－3，0)，B(1，0)两点，与轴交于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围；
（3）若直线与轴的交点为点，连结，，求的面积
答案：（1）
（2）或
（3）4
解析：
小问1详解：
∵二次函数 过，
∴
解得
所以解析式为：
小问2详解：
∴该函数的对称轴是直线x=-1，
∵点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴点D（-2，3），
∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜-2或x＞1
小问3详解：
连结AE，
设直线BD：y＝mx＋n，
代入B（1，0），D（−2，3）得，
解得：，
故直线BD的解析式为：y＝−x＋1
把x＝0代入y＝−x＋1得，y=1，
所以E（0，1），
∴OE＝1，
又∵AB＝4
21. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系．轴是抛物线的对称轴，最高点到地面距离为4米．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）在距离地面米高处，隧道的宽度是多少？
（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
答案：（1）
（2）米
（3）能通过，见解析
解析：
小问1详解：
解：最高点到地面距离为4米，
米，点E为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为y轴，
设抛物线的解析式为，
四边形ABCD是矩形，
，
又，
四边形BCOF是矩形，
米，
(米)，
点E的纵坐标为1，
，
，
又米，
点C的坐标为(2,0)，
把点C的坐标代入解析式，得，
解得，
故抛物线的解析式为；
小问2详解：
解：把代入解析式，
得，
解得，，
故在距离地面米高处，隧道的宽度是(米)；
小问3详解：
解：这辆货运卡车能通过该隧道；
当x=1.2时，，
，
这辆货运卡车能通过该隧道．
22. 如图，抛物线经过点A（ ，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且 ，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当 的值最小时，求出点F的坐标及的最小值．
答案：（1）抛物线的表达式为；直线BC的表达式为
（2）点F的坐标为（1，3）、的最小值为
解析：
小问1详解：
解：由点A的坐标知，，
∵ ，
∴点C的坐标为，
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：
，
解得，，
∴抛物线的表达式为；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：
，
解得，，
∴直线BC的表达式为 ；
小问2详解：
解：∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当 的值最小，
∵抛物线的表达式为，
∴抛物线的对称轴为即，
由函数的对称性知， ，
则 为最小，
当 时， ，
∴点 ，
由点B、C的坐标知， ，
∴ ，
即点F的坐标为 、 的最小值为．
23. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要求自变量的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
答案：（1）与之间的函数表达式为；（2）这种衬衫定价为每件70元；（3）价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
解析：
详解：解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b（k≠0），
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，
，
解得，，
∴与之间的函数表达式为；
（2）设该种衬衫售价为x元，根据题意得，
（x-50）(-20x+2600)=24000
解得，，，
∵批发商场想尽量给客户实惠，
∴，
故这种衬衫定价为每件70元；
（3）设售价定为x元，则有：

=
∵
∴
∵k=-20＜0，
∴w有最大值，即当x=65时，w的最大值为-20（65-90）2+32000=19500（元）．
所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．
24. 已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．
答案：（1）c=1；（2）a≠1且a＞0；（3）见解析，1
解析：
详解：（1）解：把C（0，1）代入抛物线得：1=0+0+c，
解得：c=1，
答：c的值是1．
（2）解：把A（1，0）代入得：0=a+b+1，
∴b=﹣1﹣a，
ax2+bx+1=0，
b2﹣4ac=（﹣1﹣a）2﹣4a=a2﹣2a+1＞0，
∴a≠1且a＞0，
答：a的取值范围是a≠1且a＞0；
（3）证明：∵0＜a＜1，
∴B在A的右边，
设A（m，0），B（n，0），
∵ax2+（﹣1﹣a）x+1=0，
由根与系数的关系得：m+n=，，
∴AB=n﹣m=，
把y=1代入抛物线得：ax2+（﹣1﹣a）x+1=1，
解得：x1=0，x2=，
∴CD=，
过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，则MN⊥x轴，
∵CD∥AB，
∴△CPD∽△BPA，
∴，
∴，
∴PN=，PM=，
∴S1﹣S2=－，
即不论a为何值，S1﹣S2的值都是常数．
答：这个常数是1．
25. 如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的关系式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3
（2）P点坐标为（，）
（3）h的取值范围为3≤h≤4
（4）存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）或（，）
解析：
小问1详解：
解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），
∴ ，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
小问2详解：
如图1，过P作PGy轴，交OE于点G，

设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，
3＝3k，
解得k＝1，
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG
PG•AE
3×（﹣m2+5m﹣3）
（m2﹣5m+3）
（m）2，
∵0，
∴当m时，△OPE面积最大，
此时m2﹣4m+3＝，
∴P点坐标为（，）；
小问3详解：
由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，

∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；
小问4详解：
设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m或，
∵m＞2，不合题意，舍去，
∴m，
此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1或m2，
∵＞2，不合题意，舍去，
∴m＝，
此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m1或m2；
∵＜2，不合题意，舍去，
∴m＝，
此时m2﹣4m+3＝，
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．x
1
2
3
4
y
﹣3
﹣1
3
9
售价（元/件）
60
65
70
销售量（件）
1400
1300
1200