初中华东师大版（2024）22.1 一元二次方程单元测试综合训练题

这是一份初中华东师大版（2024）22.1 一元二次方程单元测试综合训练题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1.一元二次方程2x2-1=4x化成一般形式后,常数项是-1,一次项系数是( )
A.-4B.-2C.4D.2
2.若方程(m-1)x|m|+1-2x=3是关于x的一元二次方程,则m的值为( )
A.1B.-1C.±1D.不存在
3.将一元二次方程x2+4x+2=0配方后可得到方程( )
A.(x-2)2=2B.(x+2)2=6C.(x-2)2=6D.(x+2)2=2
4.若4a-2b+c=0,则一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0)必有一根是( )
A.0B.无法确定C.-2D.2
5.若关于x的方程x2-kx-3=0的一个根是3,则方程的另一个根是( )
A.-1B.1C.2D.-2
6.如果两数的差为3,积为88,那么这两个数中较大的一个数为( )
A.8B.-11C.11或-8D.-11或8
7.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各自做成一个正方形.若两个正方形的面积之和为12.5 cm2,则这两段铁丝的长度分别是( )
A.5 cm,15 cmB.12 cm,8 cmC.4 cm,16 cmD.10 cm,10 cm
8.小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=3,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c值比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( )
A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根
9.如果m,n是一元二次方程x2+x=4的两个实数根,那么多项式 2n2-
mn-2m的值是( )
A.16B.14C.10D.6
10.形如x2+10x=39的方程,求正数解的几何方法是:如图(1),先构造一个面积为x2的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x的矩形,得到大正方形的面积为39+(52)2×4=64,则该方程的正数解为64-52×2=3.小明尝试用此方法解关于x的方程x2+8x+c=0时,构造出如图(2)所示的正方形.已知图(2)中阴影部分的面积和为36,则该方程的正数解为( )
图(1) 图(2)
A.213-2B.2C.213-4D.25
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.如果x=2是关于x的一元二次方程x2=c的一个根,那么该方程的另一个根是 .
12.请写出一个二次项系数为2的一元二次方程,使得两根分别是-2和1: .
13.若a是方程x2-3x+1=0的一个根,则a2-3a+3aa2+1= .
14.鸡瘟是一种传播速度很快的传染病,一轮传染为一天时间,某养鸡场于某日发现一例,两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每只病鸡传染健康鸡的只数均为x,则可列方程为 .
15.以比方程x2-5x-2=0的两根均大3的数为根的方程是 .
16.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A开始,沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,当一个点到达目的地时,所有运动停止.经过 s,△PBQ的面积等于15 cm2.
三、解答题(共52分)
17.(每小题4分,共12分)用适当的方法解下列方程:
(1)y(y-1)=2-2y;(2)5x2-8x=-5;(3)(x+2)2-8(x+2)+16=0.
18.(7分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+12=0.
(1)当b=a+1时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,请写出一组满足条件的a,b的值,并求出此时方程的根.
19.(7分)如图,有一块长20 cm、宽10 cm的长方形铁皮,在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形,用剩余的部分做成一个底面积为96 cm2的无盖长方体盒子,求剪去的小正方形的边长是多少.
20.(8分)观察下列一元二次方程:
第1个方程x2+x-2=0的根为1和-2;
第2个方程2x2+x-3=0的根为1和-32;
第3个方程3x2+x-4=0的根为1和-43;
……
(1)第2 022个方程是 ,根为 ;
(2)直接写出第n个方程与它的根并验证根的正确性.
21.(8分)原定于2021年8月在四川成都举行的第31届世界大学生夏季运动会延期至2022年举办,此次成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫.
(1)据市场调研发现,某工厂今年四月份共生产200个“蓉宝”玩具,该工厂为增大生产量,计划平均每月的生产量都比前一个月增加20%,则该工厂在今年第二季度共生产 个“蓉宝”玩具;
(2)已知某商店以30元的单价购入一批“蓉宝”玩具准备进行销售,据市场分析,若每个“蓉宝”玩具售价60元,则平均每天可售出40个;若每个“蓉宝”玩具每降价1元,则平均每天可多售出8个.若商店想平均每
天盈利2 000元,则销售单价应定为多少元?
22.(10分)阅读并完成下列问题:任意给定一个矩形A,是否存在另一矩形B,使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?
(1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时,小亮同学是这样研究的:
设所求矩形的两边长分别是x和y,由题意可得方程组x+y=72,xy=3,
消去y,得2x2-7x+6=0.
∵Δ=49-48=1>0,∴x1= ,x2= ,
∴满足要求的矩形B存在.
(2)如果已知矩形A的两边长分别为2和1,那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B.
(3)如果矩形A的两边长分别为m和n,那么请你研究当m,n满足什么条件时,矩形B存在,并说明理由.
参考答案与解析
第22章 一元二次方程
1.A 2x2-1=4x,移项得2x2-4x-1=0,即一次项系数是-4.
2.B 由题意得|m|+1=2,且m-1≠0,解得m=-1.
3.D 将方程x2+4x+2=0移项,得x2+4x=-2,配方得x2+4x+22=-2+22,即(x+2)2=2.
4.D ∵4a-2b+c=0,∴a×22-b×2+c=0,∴方程ax2-bx+c=0(a≠0)必有一根为2.
5.A 设方程的另一个根为a,则根据根与系数的关系得3a=-3,解得a=-1.
另解1:(公式法)将x=3代入,得9-3k-3=0,解得k=2,∴原方程为x2-2x-3=
0,利用公式法解方程得x=2±162,∴x=3或-1.
另解2:(代入验证法)将x=3代入,得9-3k-3=0,解得k=2,∴原方程为x2-2x-3=0.将x=-1代入方程,等式成立,故x=-1是方程的另一个根.
6.C 设较小的数为x,则较大的数为x+3,根据题意得x(x+3)=88,即x2+3x-88=0,则(x-8)(x+11)=0,解得x=8或-11,∴x+3=11或-8,∴较大的数为11或-8.
7.D 设铁丝剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm,由题意得(x4)2+(20-x4)2=12.5.解得x1=x2=10,此时20-x=10.∴这两段铁丝的长度都是10 cm.
8.A ∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=3,解出其中一个根是x=-1,∴(-1)2-3+c=0,解得c=2,故原方程中c=4,则Δ=
9-4×1×4=-7<0,∴原方程不存在实数根.
9.B ∵n是一元二次方程x2+x=4的根,∴n2+n=4,即n2=-n+4.∵m,n是一元二次方程x2+x=4的两个实数根,∴m+n=-1,mn=-4,∴2n2-mn-2m=
2(-n+4)-mn-2m=-2(m+n)-mn+8=2+4+8=14.
10.C 8÷4=2,结合题图(2),先构造一个面积为x2的正方形,再以正方形
的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形,得到大正方形的面积为
36+22×4=36+16=52,∴该方程的正数解为52-2×2=213-4.
11.x=-2
12.2x2+2x-4=0 由题意得2(x-1)(x+2)=0,化简,得2x2+2x-4=0.
13.0 ∵a是方程x2-3x+1=0的一个根,∴a2-3a+1=0,则a2-3a=-1,a2+1=
3a,∴原式=-1+1=0.
14.1+x+x(x+1)=169或(1+x)2=169 由每只病鸡传染健康鸡的只数均为x,得第一轮传染x只,第二轮传染x(x+1)只,依题意得1+x+x(x+1)=
169,即(1+x)2=169.
15.x2-11x+22=0 设方程x2-5x-2=0的两根分别为x1,x2,则以x1+3,x2+3为根的方程是(x-3)2-5(x-3)-2=0,整理得x2-11x+22=0.
16.3 设经过x s,△PBQ的面积等于15 cm2.由题意,得12(8-x)×2x=15,解得x1=3,x2=5.点P从点A运动到点B所需时间:8÷1=8(s).点Q从点B运动到点C所需时间:6÷2=3(s),∴017.解：(1)整理方程,得y(y-1)+2(y-1)=0,(2分)
因式分解,得(y+2)(y-1)=0,解得y1=-2,y2=1.(4分)
(2)移项,得5x2-8x+5=0.
∵a=5,b=-8,c=5,∴Δ=b2-4ac=64-100=-36<0,(2分)
∴方程无实数根.(4分)
(3)(整体思想)把(x+2)看成一个整体,令x+2=t,则t2-8t+16=0,
整理,得(t-4)2=0,解得t1=t2=4,∴x1=x2=2.(4分)
18.解：(1)Δ=b2-4a×12=b2-2a,
∵b=a+1,∴Δ=(a+1)2-2a=a2+2a+1-2a=a2+1>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.(3分)
(2)∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=b2-2a=0,即b2=2a.(4分)
取a=2,b=2,则方程为2x2+2x+12=0,(5分)
解得x1=x2=-12.(7分)
(a,b的取值不唯一,解也不唯一,正确即可)
19.解：设剪去的小正方形的边长是x cm,则做成的无盖长方体盒子的底面长为(20-2x)cm,宽为(10-2x)cm,依题意得(20-2x)(10-2x)=96,
整理得x2-15x+26=0,解得x1=2,x2=13.(4分)
∵10-2x>0,∴x<5,∴x=2.
答:剪去的小正方形的边长是2 cm.(7分)
20.解：(1)2 022x2+x-2 023=0 1和-20232022(3分)
(2)第n个方程是nx2+x-(n+1)=0,其根为1和-n+1n.(5分)
验证:当x=1时,nx2+x-(n+1)=n+1-n-1=0.
当x=-n+1n时,nx2+x-(n+1)=n·(-n+1n)2-n+1n-(n+1)=n2+2n+1-n-1-n2-nn=0.(8分)
21.解：(1)728(3分)
解法提示:200+200×(1+20%)+200×(1+20%)2=200+200×1.2+200×1.44
=200+240+288=728(个).
(2)设每个“蓉宝”玩具降价x元,则每个“蓉宝”玩具的销售利润为(60-x-30)=(30-x)元,每天可售出(40+8x)个,
依题意得(30-x)(40+8x)=2 000,
整理得x2-25x+100=0,解得x1=5,x2=20.(6分)
当x=5时,60-x=60-5=55;当x=20时,60-x=60-20=40.
答:商店要想平均每天盈利2 000元,销售单价应定为40元或55元.
(8分)
22.解题思路：(1)直接利用求根公式计算即可;(2)先消去b,得到关于a的一元二次方程,用一元二次方程的根的判别式判断即可;(3)消去q,得到关于p的一元二次方程,再根据一元二次方程的根的判别式大于或等于0,求出m,n满足的条件.
解：(1)32 2(2分)
(2)设所求矩形的两边长分别是a和b,
由题意,得a+b=32,ab=1,消去b,得2a2-3a+2=0.
∵Δ=9-16=-7<0,∴不存在满足要求的矩形B.(5分)
(3)当m,n满足(m-n)2-4mn≥0时,矩形B存在.(6分)
理由如下:
设所求矩形的两边长分别是p和q,由题意,得p+q=m+n2,pq=mn2,
消去q,得2p2-(m+n)p+mn=0,∴Δ=[-(m+n)]2-8mn=(m-n)2-4mn.(7分)
当Δ≥0时,存在满足要求的矩形B,
即当(m-n)2-4mn≥0时,矩形B存在.(10分)