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新高考物理一轮复习提升练习导学案第44讲 机械振动（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考物理一轮复习提升练习导学案第44讲 机械振动（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考物理一轮复习提升练习导学案第44讲机械振动原卷版doc、新高考物理一轮复习提升练习导学案第44讲机械振动解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
学习目标
明确目标 确定方向
简谐运动的特点
简谐运动的描述
简谐运动图像和方程
单摆规律和应用
受迫振动和共振
【知识回归】 回归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一简谐运动
1、定义
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(xt图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
2、特点
简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程关于平衡位置对称，是一种往复运动。弹簧振子的运动就是简谐运动。
3、简谐运动的图像(如图所示)
(1)简谐运动的图像是振动物体的位移随时间的变化规律。
(2)简谐运动的图像是正弦(或余弦)曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度大小和方向的变化趋势。
二简谐运动的描述
1、振幅
振动物体离开平衡位置的最大距离。振幅是表示振动幅度大小的物理量，单位是米。振幅的两倍表示的是做振动的物体运动范围的大小。
2、周期和频率
（1）、全振动：一个完整的振动过程，称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
（2）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。
（3）频率：单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。
3、相位
在物理学中，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
2、简谐运动的表达式为 SKIPIF 1 < 0 。
①A表示简谐运动的振幅。
② SKIPIF 1 < 0 是一个与频率成正比的量，叫做简谐运动的圆频率。它也表示简谐运动的快慢， SKIPIF 1 < 0 。
③ SKIPIF 1 < 0 代表简谐运动的相位， SKIPIF 1 < 0 是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。
3、相位差
如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，它们的相位差是 SKIPIF 1 < 0 。
三受迫振动和共振 Ⅰ
1.共振曲线（见下图）
四3单摆及其周期公式
1单摆的受力特征
①回复力：摆球重力沿切线方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
②向心力：细线的拉力和重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcs θ。
2两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝ SKIPIF 1 < 0 ，F向最大，FT＝mg+ SKIPIF 1 < 0 。
3周期公式T＝2π eq \r(\f(l,g))
第二部分重难点辨析
简谐运动的特征
1动力学特征
F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2运动学特征
简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。
3运动的周期性特征
相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。
4对称性特征
①相隔eq \f(T,2)或eq \f(（2n＋1）T,2)(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
②如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
③振子由P到O所用时间等于由O到P所用时间，即tPO＝tOP′，
④振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
5能量特征
振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
【典例分析】 精选例题 提高素养
【例1】2．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动， SKIPIF 1 < 0 ，振动周期为1.6s。当 SKIPIF 1 < 0 时，振子由平衡位置开始向右运动，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 时，振子的加速度方向向左
B． SKIPIF 1 < 0 时，振子的速度方向向右
C． SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的时间内，振子的动能逐渐减小
D． SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的时间内，振子通过的路程是80cm
【答案】A
【详解】A．振动周期为 SKIPIF 1 < 0 ，可知当 SKIPIF 1 < 0 时，振子到达B点，此时振子受到弹簧水平向左的弹力即加速度方向向左，故A正确；
B． SKIPIF 1 < 0 时，此时振子处于BO间的某个位置向平衡位置运动，速度方向向左，故B错误；
C．同理可知 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的时间内，振子从B点向平衡位置O点运动，速度在增大，即动能逐渐增大，故C错误；
D． SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的时间内，振子运动的时间为 SKIPIF 1 < 0 ，故可知振子通过的路程是
SKIPIF 1 < 0
故D错误。
故选A。
【例2】．假定地球为密度均匀分布的球体，球半径为 SKIPIF 1 < 0 。某单摆在地面处做简谐运动的周期 SKIPIF 1 < 0 与在某矿井底部做简谐运动的周期 SKIPIF 1 < 0 之间满足 SKIPIF 1 < 0 。忽略地球的自转，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零，则该矿井底部离地面的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】球壳部分对物体的万有引力0，则矿井内重力加速度
SKIPIF 1 < 0
其中
SKIPIF 1 < 0
则
SKIPIF 1 < 0
又地面处重力加速度
SKIPIF 1 < 0
则
SKIPIF 1 < 0
根据单摆周期公式可知
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
且
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故选A。
【例3】．摆，是物理学中重要的模型之一。如图1所示，一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的O点，下端系一个摆球（可看作质点）。将其拉至A点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。
（1）图2所示为绳中拉力F随时间t变化的图线，求：
a．摆的振动周期T；
b．摆的最大摆角 SKIPIF 1 < 0 ；
c．结合该图像，还能求出哪些物理量。
（2）摆角 SKIPIF 1 < 0 很小时，摆球的运动可看作简谐运动。某同学发现他家中摆长为0.993m的单摆在小角度摆动时，周期为2s。他又查阅资料发现，早期的国际计量单位都是基于实物或物质的特性来定义的，称为实物基准，例如质量是以一块1kg的铂铱合金圆柱体为实物基准。于是他想到可以利用上述摆长为0.993m的单摆建立“1s”的实物基准。请判断该同学的想法是否合理，并说明理由。
【答案】（1）a． SKIPIF 1 < 0 ，b． SKIPIF 1 < 0 ，c．还能求出摆球质量；（2）不合理，①单摆周期公式为 SKIPIF 1 < 0 但不同的地区的 SKIPIF 1 < 0 值不同，②单摆是一个理想化的模型，现实中不存在。
【详解】（1）由对称性可知，小球在A、C两点拉力大小相等，但一个周期是A到C再回到A，故周期
SKIPIF 1 < 0
摆球在A点时有
SKIPIF 1 < 0
在B点时有
SKIPIF 1 < 0
从A点到B点由动能定理可得
SKIPIF 1 < 0
联立得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故可解得摆得振动周期、摆球质量、摆的最大摆角。
（2）不合理，①单摆周期公式为
SKIPIF 1 < 0
但不同的不同地区的纬度、海拔高度不同，g值不同；②单摆是一个理想化的模型，现实中不存在。
【巩固练习】 举一反三 提高能力
1．如图所示为某弹簧振子在0~5s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是（ ）
A．振动周期为5s，振幅为8cm
B．第2s末振子的速度为零，加速度为正向的最大值
C．从第1s末到第2s末振子的位移增加，振子在做加速度减小的减速运动
D．第3s末振子的势能最大
【答案】B
【详解】A．由振动像可知，振动周期为4s，振幅为8cm ，A错误；
B．第2s末振子在负方向最大位移处，速度是零，由振子的加速度公式 SKIPIF 1 < 0 ，可知加速度为正向的最大值，B正确；
C．从第1 s末到第2 s末振子的位移增加，由振子的加速度公式 SKIPIF 1 < 0 ，可知振子在做加速度增大的减速运动，C错误；
D．第3 s末振子在平衡位置，速度最大，动能最大，位移是零，势能是0，D错误。
故选B。
2．下列说法正确的是（ ）
A．做简谐运动的物体在平衡位置所受合外力一定为零
B．弹簧振子在任意时间 SKIPIF 1 < 0 内位路程为A（振幅）
C．单摆在周期性外力作用下做受迫振动，外力频率越大，则单摆的振幅越大
D．交通警察向行进中的车辆发射超声波进行测速利用了声波的多普勒效应
【答案】D
【详解】A．做简谐运动的物体在平衡位置所受合外力不一定为零，例如单摆的平衡位置所受合外力提供单摆做圆周运动的向心力，故A错误；
B．弹簧振子在平衡位置和位移最大处时 SKIPIF 1 < 0 内路程为A（振幅），故B错误；
C．单摆在周期性外力作用下做受迫振动，当外力频率等于单摆固有频率时，单摆做受迫运动的振幅最大，当外力频率大于单摆固有频率时，外力频率越大，则单摆的振幅越小，故C错误；
D．交通警察向行进中的车辆发射超声波进行测速利用了声波的多普勒效应，故D正确。
故选D。
3．一列简谐横波沿x轴负方向传播， SKIPIF 1 < 0 时的波形图如图所示，此时 SKIPIF 1 < 0 处的质点a恰好位于平衡位置。已知该列波的波速为 SKIPIF 1 < 0 ，则质点a的振动方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由图可知
SKIPIF 1 < 0
A=8cm
根据
SKIPIF 1 < 0
可得振动周期
SKIPIF 1 < 0
则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时，质点a恰好位于平衡位置，再过
SKIPIF 1 < 0
质点a位于正向最大位移处，则
SKIPIF 1 < 0
质点a的振动方程为
SKIPIF 1 < 0
故选A。
4．小明同学用粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直悬浮在较大的装有水的杯中，如图所示。现把木筷缓慢向上提起5cm后放手并开始计时，之后木筷做简谐运动，测得振动周期为0.4s。不计水的阻力，则（ ）
A．t=1s时，木筷处于平衡位置
B．从0.1s到0.2s过程中木筷的动量逐渐变大
C．t=0.2s时，木筷的重力小于其所受的浮力
D．若把木筷缓慢向上提起3cm后放手，振动周期变小
【答案】C
【详解】A．振动周期为T=0.40s，则 SKIPIF 1 < 0 时
SKIPIF 1 < 0
木筷处于负的最大位移处，故A错误；
B．从0.1s到0.2s过程中木筷从平衡位置向负最大位移处靠近，速度逐渐减小，所以动量逐渐减小，故B错误；
C．t=0.2s时，木筷从负最大位移处向平衡位置靠近，木筷的重力小于其所受的浮力，故C正确；
D．若把木筷缓慢向上提起3cm后放手，振动幅度变小，振动周期不变，故D错误。
故选C。
5．如图甲所示装置，竖直圆盘静止时，小球竖直方向上做简谐振动的振动图像如图乙所示。竖直圆盘绕固定轴转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动T形支架在竖直方向运动，从而使小球从静止开始上下振动。下列说法正确的是（ ）
A．若圆盘转动越快，小球振动的振幅越大
B．若圆盘以12r/min匀速转动，增大圆盘转速则小球振幅一定增加
C．若圆盘以30r/min匀速转动，小球振动达到稳定时其振动的周期为4s
D．若圆盘以30r/min匀速转动，小球振动达到稳定时其振动的周期为2s
【答案】D
【详解】A．由乙图可知小球做简谐运动的固有周期为
SKIPIF 1 < 0
圆盘转动带动小球做受迫振动，当驱动力的周期接近其固有周期时，振幅增大，所以圆盘转动越快，小球振动的振幅不一定越大。故A错误；
B．若圆盘以12r/min匀速转动，小球的驱动力周期为
SKIPIF 1 < 0
增大圆盘转速则小球驱动力周期减小，振幅先增加后减小。故B错误；
CD．若圆盘以30r/min匀速转动，小球的驱动力周期为
SKIPIF 1 < 0
即小球振动达到稳定时其振动的周期为2s。故D正确。
故选D。
6．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，下述正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则在t时刻和t＋ SKIPIF 1 < 0 时刻振子振动的加速度一定大小相等，方向相反
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则在t时刻和（ SKIPIF 1 < 0 ）时刻振子的速度一定大小相等，方向相反
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则在t时刻t＋ SKIPIF 1 < 0 时刻弹簧的长度一定相等
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则在t时刻和（ SKIPIF 1 < 0 ）时刻的时间内振子的路程一定等于一个振幅
【答案】B
【详解】A．若 SKIPIF 1 < 0 ，振子处于同一位置，则在t时刻和t＋ SKIPIF 1 < 0 时刻振子振动的加速度一定大小相等，方向相同，故A错误；
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，振子处于关于平衡位置对称的位置，则在t时刻和（ SKIPIF 1 < 0 ）时刻振子的速度一定大小相等，方向相反，故B正确；
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，振子处于关于平衡位置对称的位置，故弹簧的长度不相等，故C错误；
D．若 SKIPIF 1 < 0 在t时刻和（ SKIPIF 1 < 0 ）时刻的时间内振子的路程不一定等于一个振幅，与振子的初始位置有关，故D错误。
故选B。
7．某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asinωt，振动图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧在第1s末与第3s末的长度相同
B．简谐运动的角频率ω＝ SKIPIF 1 < 0 rad/s
C．第3s末振子的位移大小为 SKIPIF 1 < 0 A
D．从第3s末到第5s末，振子的速度方向发生变化
【答案】D
【详解】A．由题图知，振子在第1s未与第3s末的位移相同，即振子经过同一位置，故弹簧的长度相同，A正确；
B．由题图知，振子振动的周期T＝8s，则角频率
SKIPIF 1 < 0
B正确；
C．位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asinωt，第3s末振子的位移大小为
SKIPIF 1 < 0
C正确；
D．x-t图像的切线斜率表示速度，可知，从第3s末到第5s末，振子的速度方向并没有发生变化，一直沿负方向，D错误。
本题选择不正确的。
故选D。
8．在图中，甲、乙两位同学分别使用a图所示的同一套装置观察单摆做简谐运动时的振动图象，已知二人实验时所用的单摆的摆长相同，落在木板上的细砂分别形成的曲线如b图所示，下面关于两图线的说法中正确的是（ ）
①.甲图表示砂摆摆动的幅度较大，乙图摆动的幅度较小
②.甲图表示砂摆摆动的周期较大，乙图摆动的周期较小
③.二人拉木板的速度不同，甲、乙木板的速度关系 SKIPIF 1 < 0
④.二人拉木板的速度不同，甲、乙木板的速度关系 SKIPIF 1 < 0
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】A
【详解】由图可知，甲的振动幅度较大，乙的幅度较小，①正确；两摆由于摆长相同，则由单摆的性质可知，两摆的周期相同，②错误；由图可知，甲的时间为2T，乙的时间为4T；则由
SKIPIF 1 < 0
可知，二人拉木板的速度不同，甲、乙木板的速度关系
v甲=2v乙
③正确，④错误。
故选A。
9．钓鱼可以修身养性，颇受人们喜爱。如图为某鱼漂的示意图，鱼漂上部可视为圆柱体。当鱼漂受到微小扰动而上下振动，某钓友发现鱼漂向下运动时圆柱体上的M点恰好可以到达水面，向上运动时圆柱体上的N点恰好可以露出水面。忽略水的阻力和水面波动影响，则（ ）
A．鱼漂的振动为简谐运动
B．鱼漂振动过程中机械能守恒
C．M点到达水面时，鱼漂的动能最大
D．N点到达水面时，鱼漂的加速度最小
【答案】A
【详解】A．设鱼漂静止时水下部分的长度为x0，根据平衡条件得
SKIPIF 1 < 0
取向下为正方向，鱼漂从平衡位置再向下位移为x时，鱼漂的合力为
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
鱼漂的振动为简谐运动，A正确；
B．鱼漂振动过程中水的浮力做功，所以鱼漂的机械能不守恒，B错误；
C．M点到达水面时，鱼漂位于最低点，鱼漂的动能最小等于零，C错误；
D．N点到达水面时，鱼漂位于最高点，相对于平衡位置的位移最大，合力最大，鱼漂的加速度最大，D错误。
故选A。
多选10．弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始时时，经过0.5s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（ ）
A．0.6sB．0.8sC．1.2sD．2.4s
【答案】BD
【详解】如图甲所示
若振子从O点开始向右振动，根据简谐振动的对称性可知，振子从M点到最大位移处和从最大位移处到点M 所用时间相等，则可知
SKIPIF 1 < 0
故可得
SKIPIF 1 < 0
如图乙所示
若振子从O点开始向左振动，则振子振动到左边最大位移处后接着振动到右边最大位移处所用时间为 SKIPIF 1 < 0 ，而根据简谐振动的对称性可知，振子从M点到右端最大位移处和从右端最大位移处到点M 所用时间相等，则可知
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故选BD。
多选11．甲图中的水平弹簧振子在 SKIPIF 1 < 0 内的振动图像如图乙所示，规定向右为正方向，下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 时振子的回复力方向向正方向
B． SKIPIF 1 < 0 时弹簧的长度最长
C． SKIPIF 1 < 0 振子在做加速运动
D． SKIPIF 1 < 0 振子运动的路程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】A． SKIPIF 1 < 0 时，振子在平衡位置的右侧，振子的回复力方向向负方向，故A错误；
B． SKIPIF 1 < 0 时振子位移负向最大，弹簧被压缩，弹簧的长度最短，故B错误；
C． SKIPIF 1 < 0 振子从左侧最大位置向平衡位置运动，速度在增加，做加速运动，故C正确；
D． SKIPIF 1 < 0 振子经过半个周期，运动的路程为2A= SKIPIF 1 < 0 ，故D正确。
故选CD。
多选12．科技文化节中，“果壳”社团做了如下一个沙摆实验。如图甲所示，薄木板被沿箭头方向水平拉出的过程中，漏斗漏出的沙在板上形成的一段曲线如图乙所示，当沙摆摆动经过最低点时开始计时（记为第1次），当它第20次经过最低点时测得所需的时间为19s（忽略摆长的变化），取当地重力加速度g=10m/s2，下列说法中正确的是（ ）
A．随着沙子不断漏出，沙摆摆动的频率将会增加
B．该沙摆的摆长约为1m
C．由图乙可知薄木板做的是匀加速运动，且加速度大小约为7.5×10-3m/s2
D．当图乙中的C点通过沙摆正下方时，薄木板的速率约为0.126m/s
【答案】BD
【详解】A．沙摆摆动的周期、频率与质量无关，A错误；
B．由
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
由单摆周期公式可得
SKIPIF 1 < 0
故B正确；
C．由图乙中数据可知，木板在连续且相等的时间段内的位移差恒定，约为 SKIPIF 1 < 0 ，由匀变速直线运动的规律可知木板做匀加速运动，加速度大小为
SKIPIF 1 < 0
C错误；
D．匀变速直线运动在一段时间间隔的中间时刻的瞬时速度，等于这段时间内的平均速度，有
SKIPIF 1 < 0
故D正确。
故选BD。
多选13．一单摆做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，则（ ）
A．此单摆的固有周期约为0.5s
B．此单摆的摆长约为1m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动
【答案】BD
【详解】A．由图可知，此单摆的振动频率与固有频率相等，固有频率是0.5Hz，所以固有周期为
SKIPIF 1 < 0
故A错误；
B．由公式 SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0
故B正确；
C．若摆长增大，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，故C错误；
D．若摆长增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故D正确。
故选BD。
多选14．宇航员为了测定某行星的质量，用同一个单摆分别在地球和该行星上进行实验，发现该单摆在该行星表面上摆动周期是地球表面上摆动周期的n倍，已知地球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，地球表面重力加速度为 SKIPIF 1 < 0 ，地球和该行星密度相等，则关于该行星说法正确的是（ ）
A．该行星表面重力加速度 SKIPIF 1 < 0
B．该行星表面重力加速度 SKIPIF 1 < 0
C．该行星半径为 SKIPIF 1 < 0
D．该行星半径为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】AB．根据单摆周期公式
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故A错误，B正确；
CD．在任一星球表面物体重力等于万有引力，即
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
地球和该行星密度相等，故
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故C错误，D正确。
故选BD。
多选15．劲度系数相同的两根弹簧分别与甲、乙两个小钢球组成弹簧振子，让两弹簧振子各自在水平面内做简谐运动，某时刻开始计时，两者的振动图像如图所示。已知弹簧振子的振动周期 SKIPIF 1 < 0 ，其中m为振子质量、k为弹簧劲度系数，下列说法正确的是（ ）
A．甲球质量等于乙球质量
B．甲球的加速度始终大于乙球的加速度
C．t=0.15s时，甲弹簧对小球的作用力大于乙弹簧对小球的作用力
D．若用两根相同的无弹性细长绳分别系住两个小球制成单摆，甲球做成的单摆周期大于乙球做成的单摆
【答案】AC
【详解】A．由图知，甲、乙周期相同，由 SKIPIF 1 < 0 知，两个小球质量相同，A正确；
B．甲、乙都做简谐振动，由图像可知，甲、乙的振动不是同步的，因此甲球的加速度不可能始终大于乙球的加速度，B错误；
C．对甲有
SKIPIF 1 < 0
对乙有
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时，则有
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
弹簧劲度系数相同，由 SKIPIF 1 < 0 可知，甲弹簧对小球的作用力大于乙弹簧对小球的作用力，C正确；
D．单摆周期公式 SKIPIF 1 < 0 ，与小球质量无关，甲球做成的单摆周期等于乙球做成的单摆周期，D错误。
故选AC。
多选16．如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧固定连接的物体A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k．C为一固定的挡板．现让一质量为m的物体D从距A为L的位置由静止释放，D和A相碰后立即粘为一体，在之后的运动过程中，物体B对C的最小弹力为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．D和A在斜面上做简谐运动B．D的最大加速度大小为 SKIPIF 1 < 0
C．D和A做简谐运动的振幅为 SKIPIF 1 < 0 D．B对C的最大弹力为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】A．D和A相碰后立即粘为一体，在之后的运动过程中，当弹簧弹力等于A、D的重力沿斜面方向的分力时，A、D处于平衡状态，则有
SKIPIF 1 < 0
可知平衡时弹簧的压缩量为
SKIPIF 1 < 0
以沿斜面向上为正方向，当A、D整体相对平衡位置的位移为 SKIPIF 1 < 0 时，A、D整体受到的合力为
SKIPIF 1 < 0
可知D和A在斜面上做简谐运动，故A正确；
C．当B对C的弹力最小时，对B受力分析，则有
SKIPIF 1 < 0
此时弹簧伸长达最大位移处，伸长量为
SKIPIF 1 < 0
简谐运动的振幅为
SKIPIF 1 < 0
故C错误；
B． A、D整体在最高点时，加速度最大，则有
SKIPIF 1 < 0
解得整体最大加速度为
SKIPIF 1 < 0
故B错误；
D．当A、D运动到最低点时，B对C的弹力最大，此时弹簧的压缩量为
SKIPIF 1 < 0
此时弹簧的弹力最大，为
SKIPIF 1 < 0
此时B对C的弹力
SKIPIF 1 < 0
故D正确。
故选AD。
17．取一单摆，将摆球拉离最初的静止位置（即平衡位置），无初速释放后，摆球可以在平衡位置附近往复运动，空气阻力忽略不计，请回答下列问题：
（1）如图1所示，单摆运动的回复力由什么力提供？并画出受力分析图
（2）试证明：在摆角较小的情况下，摆球做的是简谐运动；
（3）图2是两个单摆的振动图像，则甲、乙两个摆的摆长之比是多少？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）单摆运动的回复力由重力垂直摆线方向的分力提供，摆球受力分析如图所示
（2）回复力
SKIPIF 1 < 0
当θ很小时，有
SKIPIF 1 < 0
θ等于θ角对应的弧长与半径的比值，则
SKIPIF 1 < 0
当θ很小时，弧长 SKIPIF 1 < 0 近似等于弦长，即摆球偏离平衡位置的位移x的大小
SKIPIF 1 < 0
方向与位移得方向相反，则有
SKIPIF 1 < 0
其中振动系数
SKIPIF 1 < 0
所以在偏角很小的情况下，单摆的摆动是简谐运动。
（3）由图2可知，甲、乙两个单摆的周期之比为 SKIPIF 1 < 0 ，根据单摆周期公式
SKIPIF 1 < 0
可知甲、乙两个摆的摆长之比为 SKIPIF 1 < 0 。
学习目标
明确目标 确定方向
简谐运动的特点
简谐运动的描述
简谐运动图像和方程
单摆规律和应用
受迫振动和共振
【知识回归】 回归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一简谐运动
1、定义
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(xt图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
2、特点
简谐运动是最简单、最基本的振动，其振动过程关于平衡位置对称，是一种往复运动。弹簧振子的运动就是简谐运动。
3、简谐运动的图像(如图所示)
(1)简谐运动的图像是振动物体的位移随时间的变化规律。
(2)简谐运动的图像是正弦(或余弦)曲线，从图像上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度大小和方向的变化趋势。
二简谐运动的描述
1、振幅
振动物体离开平衡位置的最大距离。振幅是表示振动幅度大小的物理量，单位是米。振幅的两倍表示的是做振动的物体运动范围的大小。
2、周期和频率
（1）、全振动：一个完整的振动过程，称为一次全振动。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
（2）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期，用T表示。在国际单位制中，周期的单位是秒(s)。
（3）频率：单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率，用f表示。在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。
3、相位
在物理学中，我们用不同的相位来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
2、简谐运动的表达式为 SKIPIF 1 < 0 。
①A表示简谐运动的振幅。
② SKIPIF 1 < 0 是一个与频率成正比的量，叫做简谐运动的圆频率。它也表示简谐运动的快慢， SKIPIF 1 < 0 。
③ SKIPIF 1 < 0 代表简谐运动的相位， SKIPIF 1 < 0 是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。
3、相位差
如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，它们的相位差是 SKIPIF 1 < 0 。
三受迫振动和共振 Ⅰ
1.共振曲线（见下图）
四3单摆及其周期公式
1单摆的受力特征
①回复力：摆球重力沿切线方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
②向心力：细线的拉力和重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcs θ。
2两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝ SKIPIF 1 < 0 ，F向最大，FT＝mg+ SKIPIF 1 < 0 。
3周期公式T＝2π eq \r(\f(l,g))
第二部分重难点辨析
简谐运动的特征
1动力学特征
F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2运动学特征
简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。
3运动的周期性特征
相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。
4对称性特征
①相隔eq \f(T,2)或eq \f(（2n＋1）T,2)(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
②如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
③振子由P到O所用时间等于由O到P所用时间，即tPO＝tOP′，
④振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
5能量特征
振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
【典例分析】 精选例题 提高素养
【例1】2．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动， SKIPIF 1 < 0 ，振动周期为1.6s。当 SKIPIF 1 < 0 时，振子由平衡位置开始向右运动，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 时，振子的加速度方向向左
B． SKIPIF 1 < 0 时，振子的速度方向向右
C． SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的时间内，振子的动能逐渐减小
D． SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的时间内，振子通过的路程是80cm
【答案】A
【详解】A．振动周期为 SKIPIF 1 < 0 ，可知当 SKIPIF 1 < 0 时，振子到达B点，此时振子受到弹簧水平向左的弹力即加速度方向向左，故A正确；
B． SKIPIF 1 < 0 时，此时振子处于BO间的某个位置向平衡位置运动，速度方向向左，故B错误；
C．同理可知 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的时间内，振子从B点向平衡位置O点运动，速度在增大，即动能逐渐增大，故C错误；
D． SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的时间内，振子运动的时间为 SKIPIF 1 < 0 ，故可知振子通过的路程是
SKIPIF 1 < 0
故D错误。
故选A。
【例2】．假定地球为密度均匀分布的球体，球半径为 SKIPIF 1 < 0 。某单摆在地面处做简谐运动的周期 SKIPIF 1 < 0 与在某矿井底部做简谐运动的周期 SKIPIF 1 < 0 之间满足 SKIPIF 1 < 0 。忽略地球的自转，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零，则该矿井底部离地面的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】球壳部分对物体的万有引力0，则矿井内重力加速度
SKIPIF 1 < 0
其中
SKIPIF 1 < 0
则
SKIPIF 1 < 0
又地面处重力加速度
SKIPIF 1 < 0
则
SKIPIF 1 < 0
根据单摆周期公式可知
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
且
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故选A。
【例3】．摆，是物理学中重要的模型之一。如图1所示，一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的O点，下端系一个摆球（可看作质点）。将其拉至A点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。
（1）图2所示为绳中拉力F随时间t变化的图线，求：
a．摆的振动周期T；
b．摆的最大摆角 SKIPIF 1 < 0 ；
c．结合该图像，还能求出哪些物理量。
（2）摆角 SKIPIF 1 < 0 很小时，摆球的运动可看作简谐运动。某同学发现他家中摆长为0.993m的单摆在小角度摆动时，周期为2s。他又查阅资料发现，早期的国际计量单位都是基于实物或物质的特性来定义的，称为实物基准，例如质量是以一块1kg的铂铱合金圆柱体为实物基准。于是他想到可以利用上述摆长为0.993m的单摆建立“1s”的实物基准。请判断该同学的想法是否合理，并说明理由。
【答案】（1）a． SKIPIF 1 < 0 ，b． SKIPIF 1 < 0 ，c．还能求出摆球质量；（2）不合理，①单摆周期公式为 SKIPIF 1 < 0 但不同的地区的 SKIPIF 1 < 0 值不同，②单摆是一个理想化的模型，现实中不存在。
【详解】（1）由对称性可知，小球在A、C两点拉力大小相等，但一个周期是A到C再回到A，故周期
SKIPIF 1 < 0
摆球在A点时有
SKIPIF 1 < 0
在B点时有
SKIPIF 1 < 0
从A点到B点由动能定理可得
SKIPIF 1 < 0
联立得
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故可解得摆得振动周期、摆球质量、摆的最大摆角。
（2）不合理，①单摆周期公式为
SKIPIF 1 < 0
但不同的不同地区的纬度、海拔高度不同，g值不同；②单摆是一个理想化的模型，现实中不存在。
【巩固练习】 举一反三 提高能力
1．如图所示为某弹簧振子在0~5s内的振动图像，由图可知，下列说法中正确的是（ ）
A．振动周期为5s，振幅为8cm
B．第2s末振子的速度为零，加速度为正向的最大值
C．从第1s末到第2s末振子的位移增加，振子在做加速度减小的减速运动
D．第3s末振子的势能最大
【答案】B
【详解】A．由振动像可知，振动周期为4s，振幅为8cm ，A错误；
B．第2s末振子在负方向最大位移处，速度是零，由振子的加速度公式 SKIPIF 1 < 0 ，可知加速度为正向的最大值，B正确；
C．从第1 s末到第2 s末振子的位移增加，由振子的加速度公式 SKIPIF 1 < 0 ，可知振子在做加速度增大的减速运动，C错误；
D．第3 s末振子在平衡位置，速度最大，动能最大，位移是零，势能是0，D错误。
故选B。
2．下列说法正确的是（ ）
A．做简谐运动的物体在平衡位置所受合外力一定为零
B．弹簧振子在任意时间 SKIPIF 1 < 0 内位路程为A（振幅）
C．单摆在周期性外力作用下做受迫振动，外力频率越大，则单摆的振幅越大
D．交通警察向行进中的车辆发射超声波进行测速利用了声波的多普勒效应
【答案】D
【详解】A．做简谐运动的物体在平衡位置所受合外力不一定为零，例如单摆的平衡位置所受合外力提供单摆做圆周运动的向心力，故A错误；
B．弹簧振子在平衡位置和位移最大处时 SKIPIF 1 < 0 内路程为A（振幅），故B错误；
C．单摆在周期性外力作用下做受迫振动，当外力频率等于单摆固有频率时，单摆做受迫运动的振幅最大，当外力频率大于单摆固有频率时，外力频率越大，则单摆的振幅越小，故C错误；
D．交通警察向行进中的车辆发射超声波进行测速利用了声波的多普勒效应，故D正确。
故选D。
3．一列简谐横波沿x轴负方向传播， SKIPIF 1 < 0 时的波形图如图所示，此时 SKIPIF 1 < 0 处的质点a恰好位于平衡位置。已知该列波的波速为 SKIPIF 1 < 0 ，则质点a的振动方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由图可知
SKIPIF 1 < 0
A=8cm
根据
SKIPIF 1 < 0
可得振动周期
SKIPIF 1 < 0
则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时，质点a恰好位于平衡位置，再过
SKIPIF 1 < 0
质点a位于正向最大位移处，则
SKIPIF 1 < 0
质点a的振动方程为
SKIPIF 1 < 0
故选A。
4．小明同学用粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直悬浮在较大的装有水的杯中，如图所示。现把木筷缓慢向上提起5cm后放手并开始计时，之后木筷做简谐运动，测得振动周期为0.4s。不计水的阻力，则（ ）
A．t=1s时，木筷处于平衡位置
B．从0.1s到0.2s过程中木筷的动量逐渐变大
C．t=0.2s时，木筷的重力小于其所受的浮力
D．若把木筷缓慢向上提起3cm后放手，振动周期变小
【答案】C
【详解】A．振动周期为T=0.40s，则 SKIPIF 1 < 0 时
SKIPIF 1 < 0
木筷处于负的最大位移处，故A错误；
B．从0.1s到0.2s过程中木筷从平衡位置向负最大位移处靠近，速度逐渐减小，所以动量逐渐减小，故B错误；
C．t=0.2s时，木筷从负最大位移处向平衡位置靠近，木筷的重力小于其所受的浮力，故C正确；
D．若把木筷缓慢向上提起3cm后放手，振动幅度变小，振动周期不变，故D错误。
故选C。
5．如图甲所示装置，竖直圆盘静止时，小球竖直方向上做简谐振动的振动图像如图乙所示。竖直圆盘绕固定轴转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动T形支架在竖直方向运动，从而使小球从静止开始上下振动。下列说法正确的是（ ）
A．若圆盘转动越快，小球振动的振幅越大
B．若圆盘以12r/min匀速转动，增大圆盘转速则小球振幅一定增加
C．若圆盘以30r/min匀速转动，小球振动达到稳定时其振动的周期为4s
D．若圆盘以30r/min匀速转动，小球振动达到稳定时其振动的周期为2s
【答案】D
【详解】A．由乙图可知小球做简谐运动的固有周期为
SKIPIF 1 < 0
圆盘转动带动小球做受迫振动，当驱动力的周期接近其固有周期时，振幅增大，所以圆盘转动越快，小球振动的振幅不一定越大。故A错误；
B．若圆盘以12r/min匀速转动，小球的驱动力周期为
SKIPIF 1 < 0
增大圆盘转速则小球驱动力周期减小，振幅先增加后减小。故B错误；
CD．若圆盘以30r/min匀速转动，小球的驱动力周期为
SKIPIF 1 < 0
即小球振动达到稳定时其振动的周期为2s。故D正确。
故选D。
6．一弹簧振子做简谐运动，周期为T，下述正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则在t时刻和t＋ SKIPIF 1 < 0 时刻振子振动的加速度一定大小相等，方向相反
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则在t时刻和（ SKIPIF 1 < 0 ）时刻振子的速度一定大小相等，方向相反
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则在t时刻t＋ SKIPIF 1 < 0 时刻弹簧的长度一定相等
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则在t时刻和（ SKIPIF 1 < 0 ）时刻的时间内振子的路程一定等于一个振幅
【答案】B
【详解】A．若 SKIPIF 1 < 0 ，振子处于同一位置，则在t时刻和t＋ SKIPIF 1 < 0 时刻振子振动的加速度一定大小相等，方向相同，故A错误；
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，振子处于关于平衡位置对称的位置，则在t时刻和（ SKIPIF 1 < 0 ）时刻振子的速度一定大小相等，方向相反，故B正确；
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，振子处于关于平衡位置对称的位置，故弹簧的长度不相等，故C错误；
D．若 SKIPIF 1 < 0 在t时刻和（ SKIPIF 1 < 0 ）时刻的时间内振子的路程不一定等于一个振幅，与振子的初始位置有关，故D错误。
故选B。
7．某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asinωt，振动图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧在第1s末与第3s末的长度相同
B．简谐运动的角频率ω＝ SKIPIF 1 < 0 rad/s
C．第3s末振子的位移大小为 SKIPIF 1 < 0 A
D．从第3s末到第5s末，振子的速度方向发生变化
【答案】D
【详解】A．由题图知，振子在第1s未与第3s末的位移相同，即振子经过同一位置，故弹簧的长度相同，A正确；
B．由题图知，振子振动的周期T＝8s，则角频率
SKIPIF 1 < 0
B正确；
C．位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asinωt，第3s末振子的位移大小为
SKIPIF 1 < 0
C正确；
D．x-t图像的切线斜率表示速度，可知，从第3s末到第5s末，振子的速度方向并没有发生变化，一直沿负方向，D错误。
本题选择不正确的。
故选D。
8．在图中，甲、乙两位同学分别使用a图所示的同一套装置观察单摆做简谐运动时的振动图象，已知二人实验时所用的单摆的摆长相同，落在木板上的细砂分别形成的曲线如b图所示，下面关于两图线的说法中正确的是（ ）
①.甲图表示砂摆摆动的幅度较大，乙图摆动的幅度较小
②.甲图表示砂摆摆动的周期较大，乙图摆动的周期较小
③.二人拉木板的速度不同，甲、乙木板的速度关系 SKIPIF 1 < 0
④.二人拉木板的速度不同，甲、乙木板的速度关系 SKIPIF 1 < 0
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】A
【详解】由图可知，甲的振动幅度较大，乙的幅度较小，①正确；两摆由于摆长相同，则由单摆的性质可知，两摆的周期相同，②错误；由图可知，甲的时间为2T，乙的时间为4T；则由
SKIPIF 1 < 0
可知，二人拉木板的速度不同，甲、乙木板的速度关系
v甲=2v乙
③正确，④错误。
故选A。
9．钓鱼可以修身养性，颇受人们喜爱。如图为某鱼漂的示意图，鱼漂上部可视为圆柱体。当鱼漂受到微小扰动而上下振动，某钓友发现鱼漂向下运动时圆柱体上的M点恰好可以到达水面，向上运动时圆柱体上的N点恰好可以露出水面。忽略水的阻力和水面波动影响，则（ ）
A．鱼漂的振动为简谐运动
B．鱼漂振动过程中机械能守恒
C．M点到达水面时，鱼漂的动能最大
D．N点到达水面时，鱼漂的加速度最小
【答案】A
【详解】A．设鱼漂静止时水下部分的长度为x0，根据平衡条件得
SKIPIF 1 < 0
取向下为正方向，鱼漂从平衡位置再向下位移为x时，鱼漂的合力为
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0
鱼漂的振动为简谐运动，A正确；
B．鱼漂振动过程中水的浮力做功，所以鱼漂的机械能不守恒，B错误；
C．M点到达水面时，鱼漂位于最低点，鱼漂的动能最小等于零，C错误；
D．N点到达水面时，鱼漂位于最高点，相对于平衡位置的位移最大，合力最大，鱼漂的加速度最大，D错误。
故选A。
多选10．弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始时时，经过0.5s，第一次到达点M，再经过0.2s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为（ ）
A．0.6sB．0.8sC．1.2sD．2.4s
【答案】BD
【详解】如图甲所示
若振子从O点开始向右振动，根据简谐振动的对称性可知，振子从M点到最大位移处和从最大位移处到点M 所用时间相等，则可知
SKIPIF 1 < 0
故可得
SKIPIF 1 < 0
如图乙所示
若振子从O点开始向左振动，则振子振动到左边最大位移处后接着振动到右边最大位移处所用时间为 SKIPIF 1 < 0 ，而根据简谐振动的对称性可知，振子从M点到右端最大位移处和从右端最大位移处到点M 所用时间相等，则可知
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故选BD。
多选11．甲图中的水平弹簧振子在 SKIPIF 1 < 0 内的振动图像如图乙所示，规定向右为正方向，下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 时振子的回复力方向向正方向
B． SKIPIF 1 < 0 时弹簧的长度最长
C． SKIPIF 1 < 0 振子在做加速运动
D． SKIPIF 1 < 0 振子运动的路程为 SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】A． SKIPIF 1 < 0 时，振子在平衡位置的右侧，振子的回复力方向向负方向，故A错误；
B． SKIPIF 1 < 0 时振子位移负向最大，弹簧被压缩，弹簧的长度最短，故B错误；
C． SKIPIF 1 < 0 振子从左侧最大位置向平衡位置运动，速度在增加，做加速运动，故C正确；
D． SKIPIF 1 < 0 振子经过半个周期，运动的路程为2A= SKIPIF 1 < 0 ，故D正确。
故选CD。
多选12．科技文化节中，“果壳”社团做了如下一个沙摆实验。如图甲所示，薄木板被沿箭头方向水平拉出的过程中，漏斗漏出的沙在板上形成的一段曲线如图乙所示，当沙摆摆动经过最低点时开始计时（记为第1次），当它第20次经过最低点时测得所需的时间为19s（忽略摆长的变化），取当地重力加速度g=10m/s2，下列说法中正确的是（ ）
A．随着沙子不断漏出，沙摆摆动的频率将会增加
B．该沙摆的摆长约为1m
C．由图乙可知薄木板做的是匀加速运动，且加速度大小约为7.5×10-3m/s2
D．当图乙中的C点通过沙摆正下方时，薄木板的速率约为0.126m/s
【答案】BD
【详解】A．沙摆摆动的周期、频率与质量无关，A错误；
B．由
SKIPIF 1 < 0
得
SKIPIF 1 < 0
由单摆周期公式可得
SKIPIF 1 < 0
故B正确；
C．由图乙中数据可知，木板在连续且相等的时间段内的位移差恒定，约为 SKIPIF 1 < 0 ，由匀变速直线运动的规律可知木板做匀加速运动，加速度大小为
SKIPIF 1 < 0
C错误；
D．匀变速直线运动在一段时间间隔的中间时刻的瞬时速度，等于这段时间内的平均速度，有
SKIPIF 1 < 0
故D正确。
故选BD。
多选13．一单摆做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，则（ ）
A．此单摆的固有周期约为0.5s
B．此单摆的摆长约为1m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动
【答案】BD
【详解】A．由图可知，此单摆的振动频率与固有频率相等，固有频率是0.5Hz，所以固有周期为
SKIPIF 1 < 0
故A错误；
B．由公式 SKIPIF 1 < 0 ，可得
SKIPIF 1 < 0
故B正确；
C．若摆长增大，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，故C错误；
D．若摆长增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故D正确。
故选BD。
多选14．宇航员为了测定某行星的质量，用同一个单摆分别在地球和该行星上进行实验，发现该单摆在该行星表面上摆动周期是地球表面上摆动周期的n倍，已知地球半径为 SKIPIF 1 < 0 ，地球表面重力加速度为 SKIPIF 1 < 0 ，地球和该行星密度相等，则关于该行星说法正确的是（ ）
A．该行星表面重力加速度 SKIPIF 1 < 0
B．该行星表面重力加速度 SKIPIF 1 < 0
C．该行星半径为 SKIPIF 1 < 0
D．该行星半径为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】AB．根据单摆周期公式
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故A错误，B正确；
CD．在任一星球表面物体重力等于万有引力，即
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
地球和该行星密度相等，故
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
故C错误，D正确。
故选BD。
多选15．劲度系数相同的两根弹簧分别与甲、乙两个小钢球组成弹簧振子，让两弹簧振子各自在水平面内做简谐运动，某时刻开始计时，两者的振动图像如图所示。已知弹簧振子的振动周期 SKIPIF 1 < 0 ，其中m为振子质量、k为弹簧劲度系数，下列说法正确的是（ ）
A．甲球质量等于乙球质量
B．甲球的加速度始终大于乙球的加速度
C．t=0.15s时，甲弹簧对小球的作用力大于乙弹簧对小球的作用力
D．若用两根相同的无弹性细长绳分别系住两个小球制成单摆，甲球做成的单摆周期大于乙球做成的单摆
【答案】AC
【详解】A．由图知，甲、乙周期相同，由 SKIPIF 1 < 0 知，两个小球质量相同，A正确；
B．甲、乙都做简谐振动，由图像可知，甲、乙的振动不是同步的，因此甲球的加速度不可能始终大于乙球的加速度，B错误；
C．对甲有
SKIPIF 1 < 0
对乙有
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时，则有
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
弹簧劲度系数相同，由 SKIPIF 1 < 0 可知，甲弹簧对小球的作用力大于乙弹簧对小球的作用力，C正确；
D．单摆周期公式 SKIPIF 1 < 0 ，与小球质量无关，甲球做成的单摆周期等于乙球做成的单摆周期，D错误。
故选AC。
多选16．如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上，有两个用轻质弹簧固定连接的物体A和B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k．C为一固定的挡板．现让一质量为m的物体D从距A为L的位置由静止释放，D和A相碰后立即粘为一体，在之后的运动过程中，物体B对C的最小弹力为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．D和A在斜面上做简谐运动B．D的最大加速度大小为 SKIPIF 1 < 0
C．D和A做简谐运动的振幅为 SKIPIF 1 < 0 D．B对C的最大弹力为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】A．D和A相碰后立即粘为一体，在之后的运动过程中，当弹簧弹力等于A、D的重力沿斜面方向的分力时，A、D处于平衡状态，则有
SKIPIF 1 < 0
可知平衡时弹簧的压缩量为
SKIPIF 1 < 0
以沿斜面向上为正方向，当A、D整体相对平衡位置的位移为 SKIPIF 1 < 0 时，A、D整体受到的合力为
SKIPIF 1 < 0
可知D和A在斜面上做简谐运动，故A正确；
C．当B对C的弹力最小时，对B受力分析，则有
SKIPIF 1 < 0
此时弹簧伸长达最大位移处，伸长量为
SKIPIF 1 < 0
简谐运动的振幅为
SKIPIF 1 < 0
故C错误；
B． A、D整体在最高点时，加速度最大，则有
SKIPIF 1 < 0
解得整体最大加速度为
SKIPIF 1 < 0
故B错误；
D．当A、D运动到最低点时，B对C的弹力最大，此时弹簧的压缩量为
SKIPIF 1 < 0
此时弹簧的弹力最大，为
SKIPIF 1 < 0
此时B对C的弹力
SKIPIF 1 < 0
故D正确。
故选AD。
17．取一单摆，将摆球拉离最初的静止位置（即平衡位置），无初速释放后，摆球可以在平衡位置附近往复运动，空气阻力忽略不计，请回答下列问题：
（1）如图1所示，单摆运动的回复力由什么力提供？并画出受力分析图
（2）试证明：在摆角较小的情况下，摆球做的是简谐运动；
（3）图2是两个单摆的振动图像，则甲、乙两个摆的摆长之比是多少？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）单摆运动的回复力由重力垂直摆线方向的分力提供，摆球受力分析如图所示
（2）回复力
SKIPIF 1 < 0
当θ很小时，有
SKIPIF 1 < 0
θ等于θ角对应的弧长与半径的比值，则
SKIPIF 1 < 0
当θ很小时，弧长 SKIPIF 1 < 0 近似等于弦长，即摆球偏离平衡位置的位移x的大小
SKIPIF 1 < 0
方向与位移得方向相反，则有
SKIPIF 1 < 0
其中振动系数
SKIPIF 1 < 0
所以在偏角很小的情况下，单摆的摆动是简谐运动。
（3）由图2可知，甲、乙两个单摆的周期之比为 SKIPIF 1 < 0 ，根据单摆周期公式
SKIPIF 1 < 0
可知甲、乙两个摆的摆长之比为 SKIPIF 1 < 0 。
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