高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第06讲函数的概念及其表示(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第06讲函数的概念及其表示(精讲)(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了知识点梳理，题型分类精讲，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

题型目录一览
一、知识点梳理
1.函数的概念
(1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为.
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为，
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
2.基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
3.基本初等函数的值域
(1)的值域是.
(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
(3)的值域是.
(4)且的值域是.
(5)且的值域是.
4.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
二、题型分类精讲
题型一 给出函数解析式求解定义域
策略方法 已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)简单函数的定义域：若f (x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
【典例1】求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【题型训练】
一、单选题
1．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）
A． 与B．与
C． 与D． 与
2．函数定义域为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．函数的定义域是__________.
4．函数的定义域是_________．
三、解答题
5．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
6．已知函数的定义域为M，
（1）求M；
（2）当时，求的最小值．
题型二 抽象函数定义域的求法
策略方法 抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．
【典例1】求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
(3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
【题型训练】
一、单选题
1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
4．若已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为；问实数m的值为______．
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域___________.
三、解答题
6．已知函数的定义域为.
(1)求的定义域；
(2)对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围.
7．已知函数的定义域是，设，
(1)求的定义域；
(2)求函数的最大值和最小值.
题型三 函数值域的求法
策略方法 函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法.
【典例1】试求下列函数的值域.
(1)， (2)
(3) (4)
【题型训练】
一、解答题
1．求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝； (4)y＝x＋．
二、单选题
2．函数，，则的值域是（ ）
A．B．C．D．
3．下列四个函数：① ；②；③ ；④ ．其中定义域与值域相同的函数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列函数中，值域是的是（ ）
A．B．，
C．，D．
三、多选题
5．已知函数，则（ ）．
A．的值域是B．的定义域为
C．D．
6．下列函数最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
四、填空题
7．函数的值域为__________.（结果用区间表示）
8．函数的值域为________.
题型四 函数解析式的求法
策略方法 函数解析式的常见求法
【典例1】（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式．
（2）若对任意实数x，均有，求的解析式．
【典例2】（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式．
【题型训练】
一、单选题
1．已知函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
2．一次函数满足，且，则的解析式为（ ）
A．B．C． D．
3．已知定义在上的单调函数，其值域也是，并且对于任意的，都有，则等于（ ）
A．0B．1C．D．
4．设是定义域为R的单调函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．已知函数，则__________．
6．已知，则的值域为______.
7．设定义在上的函数满足，则___________.
三、解答题
8．在①，②，③对任意实数x，y，均有这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.已知函数满足 ，求的解析式.
9．求下列函数的解析式
(1)若，求的表达式．
(2)已知，求的表达式．
(3)已知是二次函数,且满足,求.
题型五 分段函数的应用
策略方法
1．分段函数求值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
(2)当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
2．求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
3．分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
【典例1】已知
(1)求
(2)若，求实数的值
【题型训练】
一、单选题
1．设则（ ）
A．B．1C．2D．4
2．函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，若，则实数的值是（ ）
A．或5B．3或C．5D．3或或5
4．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
5．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．D．若，则的值是2
6．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有（ ）
A．函数的值域为B．
C．D．，都有
三、填空题
7．已知函数若，则实数的值为______.
8．定义在上的函数满足，则______.
9．已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
①给出函数解析式求解定义域
②抽象函数定义域的求法
③函数值域的求法
④函数解析式的求法
⑤分段函数的应用
第06讲 函数的概念及其表示（精讲）
题型目录一览
一、知识点梳理
1.函数的概念
(1)一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为.
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为，
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
2.基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围； = 2 \* GB3 ②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
3.基本初等函数的值域
(1)的值域是.
(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．
(3)的值域是.
(4)且的值域是.
(5)且的值域是.
4.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
二、题型分类精讲
题型一 给出函数解析式求解定义域
策略方法 已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)简单函数的定义域：若f (x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
【典例1】求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1).
(2)且.
(3).
(4)且.
【分析】（1）根据分母不为0，列式可求出；
（2）根据底数不为0以及二次根式的被开方数大于等于0且分母不为0，列式可求出；
（3）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式可得出；
（4）根据分母不为0和二次根式的被开方数大于等于0，即可求出定义域.
【详解】（1）由题意知，，即：，所以这个函数的定义域为.
（2）由题意知，，解得：且，所以这个函数的定义域为且.
（3）由题意知，，解得：，所以这个函数的定义域为.
（4）由题意知，，解得：且，所以这个函数定义域为且.
【题型训练】
一、单选题
1．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）
A． 与B．与
C． 与D． 与
【答案】D
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数．
【详解】对于A，，，而，，二者定义域不相同，不是同一函数；
对于B，，，而，，二者定义域不相同，不是同一函数；
对于C，，二者定义域相同，对应法则不相同，不是同一函数；
对于D，，，二者定义域、对应法则均相同，是同一函数.
故选：D.
2．函数定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由计算得解.
【详解】由得，所以函数定义域为.
故选 ：A.
二、填空题
3．函数的定义域是__________.
【答案】
【分析】根据题意可得出所满足的不等式组，进而可得函数的定义域.
【详解】由题意可得，解得且.
因此，函数的定义域是.
故答案为：.
4．函数的定义域是_________．
【答案】
【分析】根据偶次开方的被开方数为非负且对数函数的真数大于0可以得到不等式组求解即可.
【详解】要使函数有意义，需
解得：
即
故答案为：
三、解答题
5．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）R；（3），且；（4）且
【解析】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（2）根据偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可；
（3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（4）根据偶次方根被开方数为非负实数、分式中的分母为不为零直接求解即可
【详解】解：（1），
，定义域为；
（2）不论x取什么实数，二次根式都有意义，所以定义域为R；
（3），
，且，定义域为，且；
（4）且.
∴定义域为且.
【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了数学运算能力，属于基础题.
6．已知函数的定义域为M，
（1）求M；
（2）当时，求的最小值．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据被开方数大于等于零、分式分母不为零、对数的真数大于零求解定义域；（2）将看成是关于的二次函数，根据的范围讨论的范围来确定最小值.
【详解】解：（1）∵由题意可得
可解得
（2）∴=
又，，
∴
①若，即时，，
②若，即时，
所以当即时，
∴
【点睛】（1）常见的定义域问题中会涉及：分式分母不为零、对数真数大于零、根号下数大于等于零、中等；
（2）对于形如形式的函数，可将其转化为二次函数的形式，然后完成问题的求解.
题型二 抽象函数定义域的求法
策略方法 抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．
【典例1】求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
(3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
【答案】(1)[0，]
(2)[3，5]
(3)[2，3]
【分析】(1)由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域；(2)由的定义域可得，求出2x+1的取值集合即可得出的定义域；(3)由的定义域可得，求出2x+1的取值集合即可得出的定义域，进而得出2x-1的取值集合，再求出x的取值集合即可；
(1)设，由于函数定义域为[1，2]，
故，即，解得，
所以函数的定义域为[0，]；
(2)设，因为，
所以，即，函数的定义域为[3，5]，
由此得函数的定义域为[3，5]；
(3)因为函数的定义域为[1，2]，即，
所以，所以函数的定义域为[3，5]，
由，得，
所以函数的定义域为[2，3].
【题型训练】
一、单选题
1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的定义域，可得，求出的范围，即可得到函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【详解】∵函数的定义域为，即，可得，
∴函数的定义域为，
令，解得，
故函数的定义域为.
故选：B.
3．函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用抽象函数和分式函数的定义域求解.
【详解】解：由题意得
解得且.
故选：D
二、填空题
4．若已知函数的定义域为，则可求得函数的定义域为；问实数m的值为______．
【答案】1
【分析】分别求得和的取值范围，由这两个范围相同可得值．
【详解】函数中，，
函数中，，
所以，．
故答案为：1．
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域___________.
【答案】或
【分析】根据函数的定义域关系转化求解即可得解.
【详解】已知函数的定义域为，
所以函数的定义域为，
在函数中，，
所以或
所以函数的定义域：或.
故答案为：或
三、解答题
6．已知函数的定义域为.
(1)求的定义域；
(2)对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由复合函数的定义域定义求解，即由已知的范围求得的取值范围；
（2）求出在时的最小值即得．
【详解】（1）的定义域为，
（2）令，使得成立，即大于在上的最小值，
因为在上的最小值为，
实数的取值范围为.
7．已知函数的定义域是，设，
(1)求的定义域；
(2)求函数的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据的定义域列出不等式即可求出；
（2）可得，即可求出最值.
【详解】（1）的定义域是，，
因为的定义域是，所以，解得
于是的定义域为.
（2）设.
因为，即，所以当时，即时，
取得最小值，值为；
当时，即时，取得最大值，值为.
题型三 函数值域的求法
策略方法 函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法.
【典例1】试求下列函数的值域.
(1)，
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)定义域为，值域为.
(2)定义域为，值域为
(3)定义域为，值域.
(4)定义域是，值域.
【分析】（1）定义域已知，代入计算得到值域.
（2）变换，得到答案.
（3）确定定义域，变换，得到值域.
（4）设，，计算得到定义域和值域.
【详解】（1）函数的定义域为，则，
同理可得，，，，所以函数的值域为.
（2）函数的定义域为，因为，所以函数的值域为.
（3）函数的定义域为，因为，
所以函数的值域为.
（4）要使函数有意义，需满足，即，故函数的定义域是.
设，则，于是，
又，所以，所以函数的值域为.
【题型训练】
一、解答题
1．求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝；
(4)y＝x＋．
【答案】(1)R；
(2)[2,11)；
(3){y|y≠3}；
(4)[0,＋∞).
【分析】(1)根据一次函数的图像性质即可求其值域；
(2)作二次函数在[1，5)之间的图像，数形结合即可求其值域；
(3)函数解析式分离常数法即可求其值域；
(4)利用换元法，结合二次函数的性质即可求其值域.
（1）因为x∈R，所以2x＋1∈R，即函数的值域为R．
（2）y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为x∈[1，5)，如图所示：
所以所求函数的值域为[2，11)．
（3）借助反比例函数的特征求．
，
显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y|y≠3}．
（4）设(x≥0)，则x＝u2(u≥0)，，
由u≥0，可知≥，所以y≥0．
所以函数y＝x＋的值域为[0,＋∞)．
二、单选题
2．函数，，则的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数值域定义可得答案.
【详解】由题意得：.
故的值域是.
故选：A.
3．下列四个函数：① ；②；③ ；④ ．其中定义域与值域相同的函数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据函数解析式分别求得每个函数的定义域和值域，即可判断出答案.
【详解】①的定义域和值域均为R,
②,定义域为 ，∴值域为，定义域与值域相同；
③的定义域为R，值域为 ，
定义域与值域不相同；
④的定义域为R，当时，；
当时，，则函数值域为R, 故函数定义域与值域相同，
所以函数定义域与值域相同的函数是①②④，共有3个．
故选：C．
4．下列函数中，值域是的是（ ）
A．B．，
C．，D．
【答案】D
【分析】根据函数的性质分别进行判断即可．
【详解】对选项A：，即函数的值域为，错误；
对选项B：，则函数在上为减函数，则，即函数的值域为，错误；
对选项C：函数的定义域为，函数的，值域不连续，错误；
对选项D：，函数的值域为.
故选：D
三、多选题
5．已知函数，则（ ）．
A．的值域是B．的定义域为
C．D．
【答案】ACD
【分析】由分式性质求定义域，分离常量法确定值域，进而得到的对称中心，即可判断C、D正误.
【详解】由，则定义域为，值域为，
所以是的对称中心，则，
综上，A、C、D正确，B错误.
故选：ACD
6．下列函数最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用配方法判断A，利用对勾函数的性质判断B，利用均值不等式判断C，利用对数函数的值域判断D.
【详解】，最小值为2，选项A正确；
当时，，无最小值，选项B错误；
，当且仅当，即时取得最小值2，选项C正确；
，所以，，当时取得最小值2，选项D正确．故选：ACD
四、填空题
7．函数的值域为__________.（结果用区间表示）
【答案】
【分析】，则，得到的值域.
【详解】，则，故的值域为.故答案为：
8．函数的值域为________.
【答案】
【分析】应用分离常量法求函数值域即可.
【详解】由，又，则，所以.
故答案为：
题型四 函数解析式的求法
策略方法 函数解析式的常见求法
【典例1】（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式．
（2）若对任意实数x，均有，求的解析式．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设，利用待定系数法求解即可；
（2）构造关于方程组求解即可.
【详解】（1）因为是一次函数，所以设，，
又因为，
所以，整理得，
故，解得，
所以.
（2）因为①，
所以②，
由①②得：，
解得：.
【典例2】（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）应用换元法求函数解析式；
（2）构造方程组并作差求函数解析式.
【详解】（1）令，则，故，
所以；
（2）由题设①，结合②，
3×①②得：，故.
【题型训练】
一、单选题
1．已知函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用换元法求解即可.
【详解】因为，，
令，则，，
所以，
故.
故选：C.
2．一次函数满足，且，则的解析式为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】由题意，设.根据，且，利用待定系数法求解即可．
【详解】由题意，设.
∵，
即，
可得：.
又∵
即
∴，
∴的解析式为．
故选：A．
3．已知定义在上的单调函数，其值域也是，并且对于任意的，都有，则等于（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件可得“存在，使得”，再利用给定函数关系式，求出解析式即可计算作答.
【详解】由于在上单调，且值域为，则必存在，使得，
令得，，即，
于是，，则，
从而，有.
故选：D
4．设是定义域为R的单调函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】换元，利用函数的单调性及函数值即可求出函数解析式，然后求函数值.
【详解】令，则，
因为是定义域为R的单调函数，
所以t为常数，即，
所以，解得，
所以，
故.
故选：B
二、填空题
5．已知函数，则__________．
【答案】
【分析】利用换元法求得，即可求得答案.
【详解】令 ，故由，
可得，
所以.
故答案为：
6．已知，则的值域为______.
【答案】
【分析】先求出，再结合二次函数的性质即可得出值域.
【详解】解：令，则，所以，
所以，
故的解析式为，其值域为.
故答案为：.
7．设定义在上的函数满足，则___________.
【答案】
【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解.
【详解】因为定义在上的函数满足，
将换成可得：，将其代入上式可得：
，
所以，
故答案为：.
三、解答题
8．在①，②，③对任意实数x，y，均有这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.已知函数满足 ，求的解析式.
【答案】.
【分析】选①，利用换元法即可求出函数的解析式；
选②，利用方程法即可求出函数的解析式；
选③，利用赋值法即可求出函数的解析式.
【详解】选①，令，则，
因为，
所以，
，
，
即.
选②，因为，
所以，
得，
即.
选③，令，
则，即，
令，则，
所以.
9．求下列函数的解析式
(1)若，求的表达式．
(2)已知，求的表达式．
(3)已知是二次函数,且满足,求.
【答案】(1)（或）
(2)
(3)
【详解】（1）解：令，当时，则，当且仅当时取等号，
当时，，当且仅当时取等号，
所以，或，
且，所以，，其中或，
因此，（或）.
解：由已知条件可得，解得.
（3）解:由题知是二次函数,
不妨设,
因为,
所以,
即,
故有,
解得:,
故;
题型五 分段函数的应用
策略方法
1．分段函数求值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
(2)当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
2．求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
3．分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
【典例1】已知
(1)求
(2)若，求实数的值
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)根据分段函数解析式计算即可;
(2)分情况讨论,代入求解,再验证后得出实数的值
【详解】（1）
（2）若，则，由得，解得
若，则，由得，
解得或，由于，
综上或
【题型训练】
一、单选题
1．设则（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】C
【分析】根据分段函数的解析式，先求，再求即可.
【详解】由已知，
.
故选：C.
2．函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式可得.
【详解】.
故选：B.
3．已知函数，若，则实数的值是（ ）
A．或5B．3或C．5D．3或或5
【答案】A
【分析】根据函数解析式，分别讨论，两种情况，结合题中条件，即可求出结果.
【详解】若，则，∴（舍去），
若，则，∴，
综上可得，或.
故选：A．
4．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数和反比例函数的性质列不等式求参数范围即可.
【详解】函数是上的增函数，则在上单调递增，故，
此时满足函数在上也是单调递增；
最后，只需在处满足，
综上：的取值范围是.
故选：D
二、多选题
5．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．D．若，则的值是2
【答案】BCD
【分析】对A：根据解析式判断定义域；对B：结合一次函数、二次函数求出值域；对C：代值即可求出结果；对D：利用函数值分段讨论求出变量的值.
【详解】对A：由题意知函数的定义域为，故A错误；
对B：当时，；当时，；
则的值域为，故B正确；
对C：当时，，故C正确；
对D：当时，，解得，不合题意；
当时，，解得或（舍去）；
综上所述：若，则的值是2，故D正确；
故选：BCD．
6．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有（ ）
A．函数的值域为B．
C．D．，都有
【答案】ABD
【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.
【详解】对于A，因为函数，所以的值城为，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，，，所以，，C错误；
对于D，由题意，函数定义域为，且，所以，为偶函数，
若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数；
所以，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，
对恒成立，故，
所以，都有，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
7．已知函数若，则实数的值为______.
【答案】或
【分析】根据解析式，利用代入法分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，，显然满足；
当时，，或，而，
所以，
故答案为：或
8．定义在上的函数满足，则______.
【答案】2
【分析】根据分段函数，结合周期性，代入求值.
【详解】因为，，所以当时，函数的周期为5，
所以.
故答案为：2
9．已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】先求出时，的值域为；再分类讨论，分别求出在上的值域，根据题意列不等式，分别求解即可.
【详解】当时，由于为上的增函数，其值域为；
当时，为顶点在开口向上的抛物线，对称轴.
i.若，则二次函数的最小值为.
要使的值域为R，只需：，解得：.
所以；
ii.若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为.
要使的值域为R，只需：，解得：.
所以；
综上所述：实数t的取值范围是.
故答案为：
①给出函数解析式求解定义域
②抽象函数定义域的求法
③函数值域的求法
④函数解析式的求法
⑤分段函数的应用