高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第10讲指数与指数函数(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第10讲指数与指数函数(精讲)(原卷版+解析)，共48页。试卷主要包含了知识点梳理，题型分类精讲，解答题等内容，欢迎下载使用。

题型目录一览
一、知识点梳理
1.指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
(2)根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2.指数函数
【常用结论】
1.指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
2．（2020·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
6．（2020·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
题型一 指数幂的化简与求值
策略方法指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
【典例1】计算：(1)；
(2)已知：，求的值.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．设则B．若，则
C．若，则D．
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）若，则______
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，化简二次根式的值是________
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值为__________．
三、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算；
（2）若，求的值．
8．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算：；
（2）已知是方程的两根，求的值.
题型二 指数函数的图像与性质
策略方法 解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
【典例1】函数有两个不同的零点，则（且）的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【典例3】比较下列几组值的大小：
(1)和； (2)和；
(3)和； (4)，，．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·天津河东·一模）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
2．（2023·全国·高三专题练习）函数（且）与函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数（其中，）的图象恒过的定点是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（ ）
A．6B．-2C．1D．4
6．（2023·天津·一模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·北京东城·统考二模）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·浙江·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1B．C．D．0
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）请写出一个同时满足下列条件①②③的函数____________．
①；②对任意，当时，；③．
11．（2023秋·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________.
12．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．
四、解答题
13．（2023·全国·高三练习）已知函数（a为常数）和函数，且为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)设不等式恒成立，试求实数的范围．
题型三 解指数方程与不等式
策略方法 指数方程或不等式的解法
(1)解指数方程或不等式的依据
①af (x)＝ag(x)⇔f (x)＝g(x)．
②af (x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f (x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，等价于f (x)＜g(x)．
(2)解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．
【典例1】不等式对于恒成立，则的取值范围是______．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·海南·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河北·高三学业考试）设函数则满足的取值范围是
A．[-1,2]B．[0,2]C．[1,+）D．[0,+）
3．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习） ， ，,则实数的取值范围为___________.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________．
三、解答题
7．（2023·全国·高三练习）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
8．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数，与的图象关于直线对称的图象过点.
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.
题型四 指数函数的综合应用
策略方法 指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题．
【典例1】函数单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】 已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数，下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．函数的值域为
C．不等式的解集是
D．是增函数
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．或C．或D．或
3．（2023·全国·高三专题练习）已知为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为（ ）.
A．B．C．1D．
二、多选题
4．（2023·山东聊城·统考二模）已知函数，则（ ）
A．函数是增函数
B．曲线关于对称
C．函数的值域为
D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
5．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，对于任意的，，，关于的方程的解集可能的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是_______．
7．（2023·全国·高三专题练习）求函数的单调区间___________.
8．（2023·上海·高三专题练习）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.
9．（2023·云南·校联考二模），其最大值和最小值的和为____________．
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知在区间 上的值域为.
(1)求实数的值；
(2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围.
①指数幂的化简与求值
②指数函数的图像与性质
③解指数方程与不等式
④指数函数的综合应用
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
第10讲 指数与指数函数（精讲）
题型目录一览
一、知识点梳理
1.指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
(2)根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2.指数函数
【常用结论】
1.指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
2．（2020·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，
所以有，
故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
3．（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
4．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
5．（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
6．（2020·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
7．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
题型一 指数幂的化简与求值
策略方法指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
【典例1】计算：
(1)；
(2)已知：，求的值.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值；
（2）在等式两边平方可得出，再利用平方关系可求得，代入计算可得出的值.
【详解】（1）解：原式.
（2）解：因为，则，所以，，
所以，，可得，，
因此，.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.
【详解】.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．设则B．若，则
C．若，则D．
【答案】B
【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误．
【详解】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；
对于B，，故，选项B正确；
对于 C，， ，因为，所以，选项C错误；
对于D，，选项D错误.
故选：B．
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）若，则______
【答案】
【分析】在等式两边平方，可得出的值.
【详解】在等式两边平方可得，
因此，.
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，化简二次根式的值是________
【答案】.
【分析】利用根式的性质进行化简.
【详解】由可知，，又，所以，
所以，所以.
故答案为：.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________
【答案】
【分析】利用立方和公式化简，再代入求值即可.
【详解】，
.
故答案为：
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的值为__________．
【答案】
【分析】将变形为，设，求出t的值，可化为，即可求得答案.
【详解】由，，可得，
设，则，则，
解得，（舍去），
故，故答案为：
三、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算；
（2）若，求的值．
【答案】（1）-5；（2）14.
【分析】（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果．
（2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果．
【详解】（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．
（2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．
8．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算：；
（2）已知是方程的两根，求的值.
【答案】（1）16；（2）．
【分析】（1）把根式化为分数指数幂，然后由幂的运算法则计算．
（2）由韦达定理筣出，求出，求值式变形后代入已知值即可得．
【详解】（1）原式＝；
（2）由题意，，又，而，所以，
所以
，
题型二 指数函数的图像与性质
策略方法 解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
【典例1】函数有两个不同的零点，则（且）的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数有两个不同的零点，求出的范围，再根据函数的图象是由函数的图象向下平移个单位得到的，作出函数的大致图象，即可得解.
【详解】因为函数有两个不同的零点，
所以，解得或，
则在函数中，
函数的图象是由函数的图象向下平移个单位得到的，
作出函数的大致图象，如图所示，
所以（且）的图象可能为B选项.
故选：B.
【典例2】已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】求出函数的图象所过的定点坐标，由此建立的关系，再利用均值不等式“1”的妙用求解作答.
【详解】函数中，当，即时，恒有，则点，
依题意，，即，又，因此，
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8.
故选：D
【典例3】比较下列几组值的大小：
(1)和； (2)和；
(3)和； (4)，，．
【答案】(1) (2)
(3)> (4)
【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数函数的单调性分析比较大小即可
（1）由于，．
∵在上为增函数，且，
∴，即；
（2）由于．
∵在上为减函数，且，
∴；
（3）∵在上为减函数，在上为增函数，且，
∴，，
∴；
（4）∵，在上为增函数，且
∴，
∴．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·天津河东·一模）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案.
【详解】解：由指数函数的性质可知：
①是的部分图象；③是的部分图象；④是的部分图象；
所以只有②不是指数函数的图象.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数（且）与函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分析各选项中两函数的单调性及其图象与轴的交点位置，即可得出合适的选项.
【详解】A选项，函数为减函数，则，
且函数的图象交轴正半轴点，则，可得，
函数为增函数，且函数交轴正半轴于点，则，，A满足；
对于B选项，函数交轴于点，函数交轴于点，
显然，B不满足；
对于C选项，函数交轴于点，函数交轴于点，
显然，C不满足；
对于D选项，函数为减函数，则，
函数为减函数，则，D不满足.
故选：A.
3．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数（其中，）的图象恒过的定点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令可得定点.
【详解】令，即，得，
函数（其中，）的图象恒过的定点是.故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数型函数的定点求解，代入后再求解一元二次不等式.
【详解】当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（ ）
A．6B．-2C．1D．4
【答案】D
【分析】令，求得，由点A在双曲线上，得到，然后由“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】令，解得，
所以，
因为点A在双曲线上，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以m-n的最大值为4
故选：D
6．（2023·天津·一模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案．
【详解】由，，，
则，，
又，，
则，即，
所以．
故选：D．
7．（2023·北京东城·统考二模）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得且，结合与的函数图象及增长趋势求出参数的取值范围.
【详解】因为，当时函数单调递增，
又在上单调递增，在上单调递减，
要使函数为增函数，则且，
又函数与在上有两个交点和，
且的增长趋势比快得多，
与的函数图象如下所示：
所以当时，当时，当时，
所以，即实数的取值范围是.
故选：B
8．（2023·浙江·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解.
【详解】，又因为通过计算知，所以，即，
又，所以，所以.
故选：B
二、多选题
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1B．C．D．0
【答案】BC
【分析】根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围.
【详解】由表示与点所成直线的斜率，
又是在部分图象上的动点，图象如下：
如上图，，则，只有B、C满足.
故选：BC
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）请写出一个同时满足下列条件①②③的函数____________．
①；②对任意，当时，；③．
【答案】（答案不唯一）.
【分析】根据的图像经过原点，且在R上单调递增，又，利用指数函数的图像和性质构造函数即可.
【详解】根据题意知的图像经过原点，且在R上单调递增，又.考虑到图像有“渐近线”的指数函数，构造符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
11．（2023秋·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末）已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】由函数的奇偶性与单调性转化后求解，
【详解】由函数与均在上单调递增，
故在上单调递增，
而为上的奇函数，故在上单调递增，
等价于，得，
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．
【答案】
【分析】先画出函数，再根据函数在上单调递减求解.
【详解】解：因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，
函数图象如图所示：
由图象知，其在上单调递减，所以k的取值范围是．
故答案为：
四、解答题
13．（2023·全国·高三练习）已知函数（a为常数）和函数，且为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)设不等式恒成立，试求实数的范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义求出a；
（2）运用参数分离法，构造函数，运用函数的单调性求解.
【详解】（1）为奇函数，，即，解得，
经检验符合题意；
（2）由，得，则，
而，，，
，
实数的取值范围是；
题型三 解指数方程与不等式
策略方法 指数方程或不等式的解法
(1)解指数方程或不等式的依据
①af (x)＝ag(x)⇔f (x)＝g(x)．
②af (x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f (x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，等价于f (x)＜g(x)．
(2)解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．
【典例1】不等式对于恒成立，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意结合指数函数的单调性，得对于恒成立，设，结合二次函数的性质可求得答案.
【详解】由得，得，即对于恒成立，
设，显然开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，当时，取得最小值0，
则，即 a的取值范围为.
故答案为：.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·海南·统考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出集合A，集合的交集运算即可求出．
【详解】集合，
，
．
故选：A．
2．（2023·河北·高三学业考试）设函数则满足的取值范围是
A．[-1,2]B．[0,2]C．[1,+）D．[0,+）
【答案】D
【分析】根据函数解析式，结合指对数函数的单调性，讨论不同区间对应的x范围，然后取并.
【详解】由，可得；或，可得；
综上，的取值范围是.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分离参数将问题转化为有解，计算即可.
【详解】由题知，而，所以，
又，所以.
因为关于的不等式有实数解，
即有实数解，所以，即.
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为恒成立，利用判别式，从而求得实数的取值范围.
详解：不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选B.
点睛：该题考查的是有关不等式恒成立，求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确指数式的运算法则，注意应用指数函数的单调性，得到指数所满足的大小关系，利用二次不等式恒成立问题，结合式子的判别式，求得结果.
二、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习） ， ，,则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】分别根据对数和指数函数的单调性解不等式，再求交集即可．
【详解】,
当时成立；
当时，解得．所以
又,
∴a的取值范围是．
故答案为：
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于原点对称，若，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】先求得a的值，再利用函数单调性把不等式转化为，解之即可求得的取值范围.
【详解】定义在R上函数的图象关于原点对称，
则，解之得，经检验符合题意
均为R上增函数，则为R上增函数，
又，
则不等式等价于，解之得
故答案为：
三、解答题
7．（2023·全国·高三练习）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或；
(4)
【分析】（1）（2）根据指数幂的运算法则结合指数函数的性质即得；
（3）（4）根据对数的运算律结合对数函数的性质即得.
【详解】（1）由，可得，
所以，
所以，即，
所以；
（2）由，可得，
所以，
所以或，
由，可得，故，
由，可得，即，所以，即，
所以或；
（3）因为，
所以原方程可化为，即，
两边取对数可得，即，
所以或，
经检验或是原方程的解，
所以或；
（4）由，可得，
所以，
即，经检验满足题意，
所以.
8．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数，与的图象关于直线对称的图象过点.
(1)求的值；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)；
(2)且}．
【分析】（1）由对称性知的图象过点，代入后可得值；
（2）结合指数函数性质解不等式．
【详解】（1）由题意的图象过点，所以，；
（2）由（1），显然，
不等式为，化简得，，
所以不等式的解集为且}．
题型四 指数函数的综合应用
策略方法 指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题．
【典例1】函数单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复合函数同增异减，即可判断出单调递增区间．
【详解】由，设，则为减函数，
求的单调递增区间，等价于求的单调递减区间，
因为在单调递减，
所以函数的单调递增区间是，
故选：C．
【典例2】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将时，不等式恒成立，转化为对一切恒成立，再，求得其最小值即可.
【详解】因为时，不等式恒成立，
所以对一切恒成立，
令，
所以，
解得.
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
【典例3】已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】通过条件，利用定义法证明抽象函数的单调性，通过赋值，求得和，再利用奇偶性和单调生即可求出结果.
【详解】令，则，即，
令，，则，又，则，
不妨取任意正数，
，
因为，所以，即，所以在区间上单调递增，
又是定义在上的奇函数，故在区间上单调递增，
令，则，
令，，则，
∴，
又因为，即，由和，结合函数单调性可以得到或，
故选：B.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）函数，下列关于函数的说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．函数的值域为
C．不等式的解集是
D．是增函数
【答案】A
【分析】利用特殊值法可判断A选项；求出函数的值域，可判断B选项；解不等式可判断C选项；利用指数型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，且，
所以，函数的图象不关于原点对称，A错；
对于B选项，因为，所以，，B对；
对于C选项，由可得，则，解得，C对；
对于D选项，对任意的，，
且函数在上单调递减，故函数是增函数，D对.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】由函数解析式可知函数的单调性和对称性，利用单调和对称性可得的范围，再由必要不充分条件的定义可得选项.
【详解】因为函数，
所以函数的图象关于对称，当时，单调递增，
根据对称性可知，当时，单调递减，
若不等式成立，则，
即，可得，解得或，
结合选项可知使不等式成立的一个必要不充分条件是或，
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为（ ）.
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最小值即可.
【详解】为偶函数，为奇函数，且①
②
①②两式联立可得，.
由得，
∵在是增函数，且，在上是单调递增，
∴由复合函数的单调性可知在为增函数，
∴，
∴，即实数的最大值为
故选：D.
二、多选题
4．（2023·山东聊城·统考二模）已知函数，则（ ）
A．函数是增函数
B．曲线关于对称
C．函数的值域为
D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
【答案】AB
【分析】由可得是增函数，且对于任意，满足，所以关于对称，可得AB正确；利用指数函数值域易得函数的值域为，即C错误；令，整理可得，易知，可得，即方程无解，因此曲线不存在斜率为的切线，即D错误.
【详解】根据题意可得，易知是减函数，
所以是增函数，即A正确；
由题意可得，所以，
即对于任意，满足，所以关于对称，即B正确；
由指数函数值域可得，所以，即，
所以函数的值域为，所以C错误；
易知，令，整理可得，
令，即，
易知，又因为，即，
所以，即，因此；
即关于的一元二次方程无实数根；
所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，即D错误；
故选：AB
5．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数，对于任意的，，，关于的方程的解集可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】令，探讨一元二次方程根的情况，再结合函数的性质，即可判断作答.
【详解】令，则方程化为，
由给定的选项知，方程有实根，设其根为，
函数定义域为R，
，在上递减，在上递增，
且的图象关于直线对称，，
当时，方程无解，
当时，方程有一解，
当时，方程有两解且和为2，
对于A，当时，方程有两解且和为4，
与题意矛盾，故A不符合要求；
对于B，当时，方程有两解且和为2，又关于对称，故B符合要求；
对于C，当时，方程有三个解，其中一个为1，另两个的和为2，故C不符合要求；
对于D，当时，方程有四个解，必满足其中两根和与另两根和都为2，又关于对称，关于对称，故D符合要求，
故选：BD.
三、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是_______．
【答案】
【分析】令，则，分别判断函数和的单调性，然后利用复合函数单调性的判断方法即可求出原函数的单调区间.
【详解】令，则
∵，∴在上单调递减
作出的图象
由图象可以在上单调递减，在上单调递增
∴在上单调递增，在上单调递减
故答案为：.
7．（2023·全国·高三专题练习）求函数的单调区间___________.
【答案】增区间为，减区间为
【分析】由换元法，结合复合函数的单调性求解即可.
【详解】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，所以函数的增区间为，减区间为.
故答案为：增区间为，减区间为
8．（2023·上海·高三专题练习）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.
【答案】
【分析】利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果．
【详解】函数（）是偶函数，
，
，易得，
设，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
所以函数的值域为．
故答案为：．
9．（2023·云南·校联考二模），其最大值和最小值的和为____________．
【答案】0
【分析】证明函数是奇函数即得解.
【详解】由题得函数的定义域为，关于原点对称.
所以是奇函数，故其最大值和最小值的和为0．
故答案为：0
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知在区间 上的值域为.
(1)求实数的值；
(2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据区间 讨论 的对称轴 的位置，满足值域是 ，求出a；
（2）运用换元法构造函数根据单调性求解.
【详解】（1）函数 是开口向上，对称轴为 的二次函数，根据 的图像有：
当 时， 在 上的最小值 ，
不符合 ，舍；
当 时， 在 上的最小值 或 （舍），
， ，满足题意；
当 时， 在 上的最小值 （舍），
；
（2）由(1)， ，不等式为 ，
即 ，令 ，则 ， 在 时恒成立，
令 ，是对称轴为 开口向上的抛物线，在 时单调递减，
， ，即k的取值范围是 ；
综上， .
【附录-指数运算和指数函数思维导图】
①指数幂的化简与求值
②指数函数的图像与性质
③解指数方程与不等式
④指数函数的综合应用
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数