高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第11讲对数与对数函数(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第11讲对数与对数函数(精讲)(原卷版+解析)，共51页。试卷主要包含了知识点梳理，题型分类精讲，双空题，填空题等内容，欢迎下载使用。
题型目录一览
一、知识点梳理
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且； ②(其中且，)；
③对数换底公式：； ④；
⑤； ⑥，；
⑦和； ⑧；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
【常用结论】
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
1．（2020·山东·统考高考真题）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·天津·统考高考真题）化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
3．（2021·天津·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．
4．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
5．（2020·全国·统考高考真题）Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
6．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·天津·统考高考真题）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
9．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2020·全国·统考高考真题）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．（2020·北京·统考高考真题）函数的定义域是____________．
14．（2020·山东·统考高考真题）若，则实数的值是______.
三、双空题
15．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．
题型一 对数式的化简与求值
策略方法 对数运算的一般思路
【典例1】解答下列问题：
(1)用表示；
(2)已知，且，求M的值．
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）计算：（1）；（2）．
2．（2023·全国·高三专题练习）（1）计算；
（2）已知，求实数x的值；
（3）若，，用a，b，表示．
二、单选题
3．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）若函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知，则（ ）
A．B．9C．D．16
5．（2023·新疆·统考二模）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度x（单位：）满足.一般两人正常交谈时，声音的等级约为60dB，燃放烟花爆竹时声音的等级约为150dB，那么燃放烟花爆竹时声音强度约为两人正常交谈时声音强度的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
三、多选题
6．（2023·重庆九龙坡·统考二模）若a，b，c都是正数，且则（ ）
A．B．C．D．
四、填空题
7．（2023·上海黄浦·统考二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若，则实数a的值为____________．
8．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，），已知大气压强随高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为___________米.（答案保留整数，参考数据）
题型二 对数函数的图像与性质
策略方法 1.利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
2.比较对数值大小的常见类型及解题方法
【典例1】若对数有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【典例2】在同一平面直角坐标系中，函数，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3】 已知直线过函数（，且）的定点T，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．
【典例4】 分别比较下列各组数的大小：
(1)，，；
(2)，，；
(3)与．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．且D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（2023·全国·模拟预测）函数的部分图象为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·陕西榆林·统考二模）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·北京·高三专题练习）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·福建莆田·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）若，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）的定义域为_______________
10．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则__________.
11．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为________．
四、解答题
12．（2023秋·山东潍坊·高三统考期中）定义在上的函数和，满足，且，其中.
(1)若，求的解析式;
(2)若不等式的解集为，求的值.
题型三 解对数方程与不等式
策略方法 求解对数不等式的两种类型及方法
【典例1】（1）当时，求实数x的取值范围；
（2）当时，求实数x的取值范围；
（3）当恒取正值时，求实数x的取值范围.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）方程的解是（ ）
A．1B．2C．eD．3
2．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·安徽淮北·统考二模）已知集合，则下列命题错误的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．4
二、填空题
5．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知函数，则不等式的解集为______.
6．（2023·全国·高三专题练习）设命题，命题．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是______．
7．（2023·上海·统考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是__________.
题型四 对数函数的综合应用
策略方法 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
【典例1】已知函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若在上为减函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，则（ ）
A．在单调递减，在单调递增B．在单调递减
C．的图像关于直线对称D．有最小值，但无最大值
4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若函数有最大值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使的可以是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是________．(填序号)
①为奇函数；
②为偶函数；
③在上单调递减；
④在上单调递增．
10．（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．
四、解答题
12．（2023·上海·高三专题练习）已知.
（1）解不等式：；
（2）若在区间上的最小值为，求实数a的值.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数.
(1)当，函数存在零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，若函数与的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
①对数式的化简与求值
②对数函数的图像与性质
③解对数方程与不等式
④对数函数的综合应用
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1，0等中间量进行比较
类型
方法
lgax＞lgab
借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论
lgax＞b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解
一求
求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论
二判
判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况
判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
第11讲 对数与对数函数（精讲）
题型目录一览
一、知识点梳理
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且； ②(其中且，)；
③对数换底公式：； ④；
⑤； ⑥，；
⑦和； ⑧；
2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
【常用结论】
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
二、题型分类精讲
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2020·山东·统考高考真题）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】由题知：，解得且.
所以函数定义域为.
故选：B
2．（2022·天津·统考高考真题）化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B
3．（2021·天津·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】，，
.
故选：C.
4．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.故选：C.
5．（2020·全国·统考高考真题）Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【答案】C
【分析】将代入函数结合求得即可得解.
【详解】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
6．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以，故选：D
7．（2021·天津·统考高考真题）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
8．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据与的关系图可得正确的选项.
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
9．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
10．（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
11．（2020·全国·统考高考真题）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
12．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0