高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)素养拓展07导数中利用构造函数解不等式(精讲+精练)(原卷版+解析)

这是一份高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)素养拓展07导数中利用构造函数解不等式(精讲+精练)(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了知识点梳理，构造函数解不等式解题技巧等内容，欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
二、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于，构造
模型2.对于不等式，构造函数.
模型3.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型4.对于不等式，构造函数
模型5.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型6.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造
（2）若，则构造
模型8.对于，构造.
模型9.对于，构造.
模型10.（1）对于，即，
构造．
对于，构造．
模型11.（1） （2）
二、题型精讲精练
【典例1】定义在R上的可导函数满足，若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】令，则，则在R上单减，
又等价于，
即，由单调性得，解得.故选：B.
【典例2】已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【详解】令，则，所以在单调递减，
不等式可以转化为，即，所以.故选：D.
【典例3】设函数是函数的导函数，，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B． C． D．
【解析】依题意，令函数，则，且，
所以是上的增函数，，解得．故选：A
【典例4】定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，
且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．−∞,ln2022C．D．
【解析】设，则，
因为，所以，为定义在上的减函数，
因为为奇函数，所以，，，
，即，，，故选：C.
【典例5】已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（ ）
A．B． C． D．
【详解】因为是奇函数，所以是偶函数．设，
∴当时，，
∴在区间上是增函数，∴在区间是减函数，
∵．当时，不等式等价于，
当时，不等式等价于，
∴原不等式的解集为．故选：D．
【题型训练】
1.加减法模型
一、单选题
1．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知是定义在R上的奇函数,是其导函数.当x≥0时, 且,则的解集是（ ）
A． B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·漠河市高级中学）已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B． C． D．
4．（2023·全国高三专题练习）已知定义在上的函数满足，对恒有，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
2.和模型
一、单选题
1．（2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（理））已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B． C． D．
2.（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考期末）设定义R在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·陕西·高三校联考期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）设定义在上的奇函数的导函数为，已知，当时，，则不等式的解集为________．
3.和模型
一、单选题
1．（2023·贵州贵阳·高三月考（理））已知是函数的导数，且满足对恒成立，，是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·陕西渭南·高三期末（理））已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C． D．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A．B．
C．D．
4.（2023·全国·高三专题练习）是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上有极大值B．在上有极小值
C．在上既有极大值又有极小值D．在上没有极值
5.（2023秋·陕西汉中·高三统考期末）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
6.（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4.（sinx）和（csx）模型
一、单选题
1．（2023·广东·东莞市东华高级中学高三期末）已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2.已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有，则（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023·辽宁·大连市第四十八中学高三期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4.（2023·江苏·高三阶段练习）已知定义在的函数的导函数为，且满足成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．B． C． D．
5.（2022·湖北·高二阶段练习）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（，π）B． C． D．
6．（2021·甘肃省武威第二中学高二期中（理））对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（ ）
A．B． C． D．
素养拓展07 导数中利用构造函数解不等式（精讲+精练）
一、知识点梳理
一、构造函数解不等式解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
二、构造函数解不等式解题技巧
求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形
模型1.对于，构造
模型2.对于不等式，构造函数.
模型3.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型4.对于不等式，构造函数
模型5.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型6.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造
（2）若，则构造
模型8.对于，构造.
模型9.对于，构造.
模型10.（1）对于，即，
构造．
对于，构造．
模型11.（1） （2）
二、题型精讲精练
【典例1】定义在R上的可导函数满足，若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】令，则，则在R上单减，
又等价于，
即，由单调性得，解得.故选：B.
【典例2】已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【详解】令，则，所以在单调递减，
不等式可以转化为，即，所以.故选：D.
【典例3】设函数是函数的导函数，，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B． C． D．
【解析】依题意，令函数，则，且，
所以是上的增函数，，解得．故选：A
【典例4】定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，
且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．−∞,ln2022C．D．
【解析】设，则，
因为，所以，为定义在上的减函数，
因为为奇函数，所以，，，
，即，，，故选：C.
【典例5】已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（ ）
A．B． C． D．
【详解】因为是奇函数，所以是偶函数．设，
∴当时，，
∴在区间上是增函数，∴在区间是减函数，
∵．当时，不等式等价于，
当时，不等式等价于，
∴原不等式的解集为．故选：D．
【题型训练】
1.加减法模型
一、单选题
1．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知是定义在R上的奇函数,是其导函数.当x≥0时, 且,则的解集是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】C
【详解】设，
可得
因为当x≥0时, ，
所以在上递增，
又因为是定义在R上的奇函数，
所以的图像关于对称，如图，
所以在R上递增，
又因为，所以，
则等价于，
所以，即的解集是，
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，
则，
所以在上单调递增，
,
等价于,
即，
即，
所以不等式的解集为.
故选：A.
3．（2023·漠河市高级中学）已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则
又上，，则，即函数在上单调递减，
又是定义在上的奇函数，则函数为上的奇函数，故在上单调递减，
又,，即
可得：，解得：.故选：B.
4．（2023·全国高三专题练习）已知定义在上的函数满足，对恒有，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，又因为对恒有
所以恒成立，所以在R上单减.
又，所以的解集为故选：B
2.和模型
一、单选题
1．（2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（理））已知定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【详解】设，则，所以在R上单调递减；
由，得，即，所以，解得.故选：A.
2.（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考期末）设定义R在上的函数，满足任意，都有，且时，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】依题意，任意，都有，所以是周期为的周期函数.
所以.
构造函数，
所以在区间上单调递增，所以，
即，也即.
故选：A
3．（2023秋·陕西·高三校联考期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设函数，，则，
所以在上单调递减，从而，
即，则.
故选：A.
4．（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）设定义在上的奇函数的导函数为，已知，当时，，则不等式的解集为________．
【答案】
【详解】令，取，则函数为偶函数，
当时，，故，即，
由偶函数性质知，函数在是严格减函数，在是严格增函数，
又，故等价于或，
解得．
故答案为：
3.和模型
一、单选题
1．（2023·贵州贵阳·高三月考（理））已知是函数的导数，且满足对恒成立，，是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先令，求导，根据题意，得到在区间上单调递增，再由题意，得到，进而可得出结果.
【详解】令，则，
因为对恒成立，所以对恒成立，∴在区间上单调递增；
又∵，是锐角三角形的两个内角，∴，∴，∴，
因此，即，∴.故选：C.
2．（2023·陕西渭南·高三期末（理））已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【详解】构造函数,则,因为,故,
因此可得在上单调递减，由于，故，故选：A
3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】构造函数，
在时恒成立，
所以在时单调递增，
所以，即，所以，
故选:C.
4.（2023·全国·高三专题练习）是定义在上的函数，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上有极大值B．在上有极小值
C．在上既有极大值又有极小值D．在上没有极值
【答案】D
【详解】解：根据题意，，故，
又，得，故，
令，
则，
即，
记，
所以，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，即，即，
所以在上单调递增，故在上没有极值.
故选项ABC说法错误，选项D说法正确.
故选：D
5.（2023秋·陕西汉中·高三统考期末）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，
∴在上单调递减.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故选：B．
6.（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】令，函数的定义域为，
因为
所以，
故
故在R上单调递减，
又因为
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
所以的解集为
故选：B.
4.（sinx）和（csx）模型
一、单选题
1．（2023·广东·东莞市东华高级中学高三期末）已知函数为上的偶函数，且对于任意的满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：偶函数对于任意的满足，
令，则，即为偶函数．
又，故在区间上是减函数，
所以，
即，故B正确；
，故A错误；
，故C错误；
，故D错误；故选：B．
2.已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】由题意：构造函数，
则在恒成立，
所以在单调递减，
所以
所以，
即
故， ，，
故选：A
3.（2023·辽宁·大连市第四十八中学高三期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令，定义域为，
因为函数为奇函数，所以，
则函数是定义在上的奇函数，，
因为任意的，有，
所以当时，，则在上单调递增，
则函数是上的奇函数并且单调递增，
由，
因为，所以,，即，所以，
又因为，因此.故选：C.
4.（2023·江苏·高三阶段练习）已知定义在的函数的导函数为，且满足成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则，所以在上是减函数，
所以，即，A错；
，即，B正确；
，即，C错；
的正负不确定，因此与大小不确定，D不能判断．故选：B．
5.（2022·湖北·高二阶段练习）奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．（，π）B． C． D．
【答案】D
【详解】解：令，因为当时，有，
所以，当时，，所以，函数在(内为单调递减函数，
所以，当时，关于的不等式可化为，
即，所以；
当时，，则关于的不等式可化为，即
因为函数为奇函数，故，也即
所以，即，所以，．综上，原不等式的解集.故选：D．
6．（2021·甘肃省武威第二中学高二期中（理））对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项.
【详解】解：构造函数，则，
∵，∴，即在上为增函数，
由，即，即，故A正确；
，即，即，故B正确；
，即，即，故C正确；
由，即，即，即，
故错误的是D．故选D．