人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆备课ppt课件

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我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆. 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢?
如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线. 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.
本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力.
01不同方法求椭圆的标准方程
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。
探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两点F1, F2, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线? 在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?
通过动画演示可知，画出的轨迹是椭圆.
在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是：
移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离之和是定值, 并且这个定值大于两定点间的距离，即
平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距.
思考 动点的轨迹是椭圆应满足什么条件？
① 在平面内----(这是前提条件)；② 动点M到两个定点F1, F2的距离之和是常数；
动点M的轨迹是线段F1F2 ；
下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系, 建立椭圆的方程.
下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，推导椭圆方程，并通过方程研究椭圆的性质.
如图示, 建立平面直角坐标系.设M(x,y)是椭圆上任一点, 椭圆的焦距为2c(c>0), M与F1, F2的距离的和等于常数2a(a>0), 则
为了使方程形式更简单：
我们把方程①叫做椭圆的标准方程.
思考1 观察图, 你能从中找出表示a,b,c的线段吗？
2. 椭圆的标准方程:
如图示, 若椭圆的焦点在x轴上, 则椭圆的标准方程为
其中焦点坐标为F1(－c,0), F2(c,0), c2＝a2－b2.
思考2 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么?
解2: (待定系数法)
(3) 求椭圆的标准方程，要先定“位”，
1. 求椭圆标准方程的主要方法有：
a, b, c 满足的关系有：
根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值.
用定义寻找a, b, c的方程；
待定系数法更为常用，是解此类问题的通法.
即求 a, b 的大小 .
设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0). 由点M是线段PD的中点，得
寻求点M的坐标(x,y)中x, y与x0, y0之间的关系,然后消去x0, y0, 得到点M的轨迹方程. 这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法. 利用信息技术, 可以更方便地探究点M的轨迹的形状.
解1：(相关点代入法)
∵ P 在圆 x2 + y2 = 4 上，
∴ 可设P(2csθ, 2sinθ),
∴点M的轨迹是一个椭圆 .
设 点M的坐标为(x, y),
说明：椭圆的参数方程是椭圆方程的另外一种表现形式，它的优越性在于将曲线上点的横, 纵坐标 (两个变量) 用同一个参数θ表示，这样就能将椭圆上点的很多问题转化为函数问题解决，很好地将几何问题代数化.
(2) 圆x2＋y2＝r2的参数方程是
(3) 圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程是
思考 由例2我们发现，可以由圆通过 “压缩” 得到椭圆. 你能由圆通过 “拉伸” 得到椭圆吗? 如何 “拉伸” ? 由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗?
解: 设点M (x, y)，由A(-5, 0), B(5, 0)，可得
总结：解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
1.直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.2.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．　
故△AF1B的周长为：
(2) 如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长不会有变化.
∴△AF1B的周长为：
4. 已知A, B两点的坐标分别是(－1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么? 为什么?
解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得
5.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.
解:如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又点M在AQ的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,