2024年天津市高考数学试卷

这是一份2024年天津市高考数学试卷，共24页。试卷主要包含了集合，2，3，，，3，4，，则，设，，则“”是“”的，下列图中，相关性系数最大的是，下列函数是偶函数的是，若，，，则，，的大小关系为，已知函数的最小正周期为，双曲线的左、右焦点分别为、，一个五面体等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）集合，2，3，，，3，4，，则
A．，2，3，B．，3，C．，D．
2．（5分）设，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）下列图中，相关性系数最大的是
A．B．
C．D．
4．（5分）下列函数是偶函数的是
A．B．
C．D．
5．（5分）若，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
6．（5分）若，为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则与相交
7．（5分）已知函数的最小正周期为．则函数在的最小值是
A．B．C．0D．
8．（5分）双曲线的左、右焦点分别为、．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，△是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
9．（5分）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知，，．则该五面体的体积为
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
10．（5分）已知是虚数单位，复数 ．
11．（5分）在的展开式中，常数项为 ．
12．（5分）的圆心与抛物线的焦点重合，两曲线与第一象限交于点，则原点到直线的距离为 ．
13．（5分），，，，五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ．
14．（5分）在正方形中，边长为1．为线段的三等分点，，，则 ；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
15．（5分）若函数有唯一零点，则的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（14分）在中，，．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
17．（15分）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，．是的中点，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离．
18．（15分）已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，是线段的中点，其中．
（1）求椭圆方程．
（2）过点的动直线与椭圆有两个交点，，在轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
19．（15分）已知数列是公比大于0的等比数列，其前项和为，若，．
（1）求数列前项和；
（2）设，，其中是大于1的正整数．
当时，求证：；
求．
20．（16分）设函数．
（1）求图像上点，（1）处的切线方程；
（2）若在时恒成立，求的值；
（3）若，，证明．
2024年天津市高考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）集合，2，3，，，3，4，，则
A．，2，3，B．，3，C．，D．
【答案】
【解答】解：集合，2，3，，，3，4，，则，3，．
故选：．
2．（5分）设，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【解答】解：，，则“”可得；
“”可得；所以，，则“”是“”的充要条件．
故选：．
3．（5分）下列图中，相关性系数最大的是
A．B．
C．D．
【答案】
【解答】解：由题意可知选项的散点图可知，相关关系强，越接近于1，相关程度越大；
所以的相关性系数最大．
故选：．
4．（5分）下列函数是偶函数的是
A．B．
C．D．
【答案】
【解答】解：，，定义域为，
（1），，则（1），不符合题意；
，，定义域为，，即为偶函数，符合题意；
，由题意得，，定义域关于原点不对称，函数为非奇非偶函数，不符合题意；
，函数定义域为，
，即为奇函数，不符合题意．
故选：．
5．（5分）若，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：在上递增，且，
所以，所以，即，
因为在上递增，且，
所以，
即，所以，
故选：．
6．（5分）若，为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则与相交
【答案】
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，，则与平行或异面，错误；
对于，若，，则与异面、平行或相交，错误；
对于，设直线，满足且，若，则，而，则，正确；
对于，若，，则与相交或异面，错误．
故选：．
7．（5分）已知函数的最小正周期为．则函数在的最小值是
A．B．C．0D．
【答案】
【解答】解：函数，
，，
可得，，，，
所以在，上单调递减，
，
故函数取最小值是．
故选：．
8．（5分）双曲线的左、右焦点分别为、．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，△是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：根据题意，画出图形，如下图：
设，，
则，
因为△是面积为8的直角三角形，
所以，，
因为直线的斜率为2，所以，
所以，
联立，解得，
所以，即，
所以，即，
所以，
所以双曲线的方程为．
故选：．
9．（5分）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知，，．则该五面体的体积为
A．B．C．D．
【答案】
【解答】解：延长到，使，延长到，使，连接、，
可得，结合，可知为三棱柱，
因为四边形与四边形全等，所以，
由，且它们两两之间的距离为1．可知：
当为正三棱柱时，底面边长为1，高为3，此时．
根据棱柱的性质，若为斜三棱柱，体积也是，
因此，，可得该五面体的体积．
故选：．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。
10．（5分）已知是虚数单位，复数 ．
【答案】．
【解答】解：．
故答案为：．
11．（5分）在的展开式中，常数项为 20 ．
【答案】20．
【解答】解：的常数项为．
故答案为：20．
12．（5分）的圆心与抛物线的焦点重合，两曲线与第一象限交于点，则原点到直线的距离为 ．
【答案】．
【解答】解：的圆心与抛物线的焦点重合，
，，
，
联立，得或，
两曲线与第一象限交于点，，
直线的方程为，即，
原点到直线的距离为．
故答案为：．
13．（5分），，，，五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到的概率为 ；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为 ．
【答案】，．
【解答】解：设事件表示“选到”，事件表示“选到”，
则甲从中选3个．甲选到的概率为（A），
，
乙选了活动，他再选择活动的概率为：
．
故答案为：，．
14．（5分）在正方形中，边长为1．为线段的三等分点，，，则 ；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
【答案】；．
【解答】解：由题意可知，，
，，
，
如图：
设，
则，
为中点，
，
正方形的边长为1，
，，
，
对于函数，对称轴为，
函数在，上单调递减，
当时，函数取得最小值，
即的最小为．
故答案为：；．
15．（5分）若函数有唯一零点，则的取值范围为 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，可得，令，即．
①当时，，有，则，不符合题意，舍去；
②当时，由，可得或，则，
即函数与函数，有唯一公共点，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，或（正值舍去），
当时，或，有两解，不符合题意，舍去，
综上所述，当，时，在时有唯一解，
因此，当，时，方程在时需无解，
当，，且时，由函数关于对称，
令，可得，且函数在上单调递增，在上单调递减，
令，即，
故时，图案为双曲线右支在轴上方部分向右平移所得，
由双曲线的渐近线方程为，即部分的渐近线方程为，其斜率为2，
又，，即在时的斜率，，
令，可得或（舍去），且函数在上单调递增，
故有，解得，故符合要求；
③当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当，时，在时有唯一解，
则当，时，在时需无解，
当，，且时，
由函数关于对称，令，可得或．
且函数在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图像为双值的左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，，即在时的斜率，，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递减，
故有，解得，故符合要求；
综上所述，．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（14分）在中，，．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
【答案】（1）4； （2）； （3）．
【解答】解：（1）在中，，，
设，则，，
，
解得，
；
（2）由（1）得，，，
由正弦定理得，即，
解得．
（3），，是锐角，且，
，
，
．
17．（15分）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，．是的中点，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解答；
（2）；
（3）．
【解答】（1）证明：取中点，连接，，
由是的中点，得，且，
由是的中点，得，且，
则，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
故平面．
（2）解：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，
则，，，，，
设平面的法向量为，
，则，3，，
设平面的法向量为，
，则，1，，
所以，，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
（3）解：因为，平面的法向量为，
所以点到平面的距离为．
18．（15分）已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，是线段的中点，其中．
（1）求椭圆方程．
（2）过点的动直线与椭圆有两个交点，，在轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2），．
【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，
所以，即，其中为半焦距，
，
则，
所以，，，
，解得，
故，，
故椭圆方程为；
（2）①若过点 的动直线的斜率不存在，
则，或，，此时，
②若过点 的动直线的所率存在，
则可设该直线方程为：，
设， ，，，
，化简整理可得，，
故△ ，；
，，
故

，
恒成立，故，解得，
若恒成立．
结合①②可知，．
故这个点纵坐标的取值范围为，．
19．（15分）已知数列是公比大于0的等比数列，其前项和为，若，．
（1）求数列前项和；
（2）设，，其中是大于1的正整数．
当时，求证：；
求．
【答案】（1）；
（2）证证明见解析；．
【解答】解：（1），，
可得，整理得，
解得或，
因为数列的公比大于0，所以，
所以；
（2）证明：由（1）可知，且，，
当时，则，即，
可知，，
，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以；
，
若，则，，
若，则，
当时，，可知为等差数列，
可得，
，
且，符合上式，综上所述：．
20．（16分）设函数．
（1）求图像上点，（1）处的切线方程；
（2）若在时恒成立，求的值；
（3）若，，证明．
【答案】（1）；
（2）2；
（3）详见解答过程．
【解答】解：（1）由于，故，
所以（1），（1），
所以所求的切线经过，且斜率为1，
故其方程为；
（2）设，则，从而当时，当时，
所以在，上递减，在，上递增，这就说明（1），
即，且等号成立当且仅当，
设，
则．
当时，的取值范围是，
所以命题等价于对任意，都有．
一方面，若对任意，都有，则对，
有，
取，得，故．
再取，得，
所以．
另一方面，若，则对任意都有，满足条件．
综合以上两个方面知．
证明：（3）先证明一个结论：对，有．
证明：前面已经证明不等式，
故，
且，
所以，
即．
由，可知当时，，当时．
所以在上单调递减，在上单调递增．
不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论．
情况一：当时，有，结论成立；
情况二：当时，有
对任意的，设，则
由于单调递增，且有，
且当时，由可知，
．
所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时
故在，上递减，在，上递增．
①当时，有（c）；
②当时，由于，故我们可以取．
从而当时，由，
可得，
再根据在，上递减，即知对都有；
综合①②可知对任意，都有，即．
根据和的任意性，取，，就得到
所以
情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，
可得，，
而根据的单调性，知或．
故一定有成立．
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