江西省金溪县第二中学2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份江西省金溪县第二中学2024届九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共9页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
本试卷满分120分，考试时间120分钟，
一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确的选项．
1．下列方程是一元二次方程的是（）
A．x2−2x＝0 B．x＋1＝2 C．x2＋y＝0 D．x3＋2x2＝1
2．菱形不具备的性质是（）
A．是轴对称图形B．是中心对称图形
C．对角线互相垂直D．对角线一定相等
3．关于x的方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是（ ）
F
第5题图
A
B
C
D
P
E
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
4．用配方法解方程x2＋2x＝1，变形后的结果正确的是（）
A．(x＋1)2＝1B．(x＋1)2＝0
C．(x＋1)2＝2D．(x＋1)2＝1
5．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线
上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足
分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝6，则PE−PF的值为（）
A． B．2 C．3 D．3
6．为庆祝神舟十三号航天员顺利返回、神舟十四号载人飞船成功发射，小明同学在数学兴趣活动课上用图1的“七巧板”，设计拼成了图2的飞船，则飞船模型面积与矩形框的面积之比为（）
A．1:3 B．1:2 C．3:5 D．8:25
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7．方程2x2＋x＝1的常数项是_______．
8．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝5，BD＝12，则AB＝________．
9．已知矩形相邻两边长是一元二次方程x2−5x＋2＝0的两个根，那么这个矩形的周长是_______．
10．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．则该矩形的宽为____cm．
图2
⑦
①
①
②
②
③
③
④
④
⑤
⑤
⑥
⑥
⑦
第6题图
图1
M
A
B
C
D
F
E
第11题图
11．如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，
EF．若MF＝AB，则∠DAF＝_______．
12．若a是方程x2－4x＋3＝0的根，b是4的平方根，则a2－ab＋b＋2的值为
_________________．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）用适当的方法解一元二次方程：(x－1)(2x－3)＝x－1．
F
D
A
C
B
E
（2）如图，在正方形 ABCD 中，点E、F分别在CD、AD上，且△BEF是
等边三角形．求证：CE＝AF
14．当x取何值时，多项式x2﹣6x﹣16的
值与4＋2x的值互为相反数？
15．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
16．金溪日新超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价6元，则平均每天销售数量为________件；
（2）为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？
17．如图，□ABCD≌□AEFG，C、B、E、F点在同一条线上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图1中，画出线段AB的中点；
（2）在图2中，画出菱形AMNQ，使点M、N、Q分别在AB、BE、AE上．
G
A
B
C
D
E
F
图2
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图1，在正方形ABCD中，E点是AD延长线上的一点，F点是BC上一点，
EG⊥AF，AE＝AF，则EG与AB的数量关系是___________；
变式：若F点在CB的延长线上，E点在DA的延长线上，EG⊥AF，AE＝AF，EG与AB的数量关系还成立吗？在图2中完成画图，并说明理由.
A
D
B
C
图2
G
D
A
B
C
E
F
第18题图
图1
C
A
B
F
D
E
19．如图，在△ABC中，EF∥AC，DE∥BC，CE⊥AB，F点是BC的中点．
（1）求证：四边形CDEF是菱形．
（2）若EB＝6，CE＝8，求菱形CDEF的面积．
第19题图
20．设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1、x2，若该方程的一个根与另一个根的2倍的和为0，我们就称这个一元二次方程为“两根相反倍数”方程．
（1）如果方程2x2＋3x＋2m－3＝0是“两根相反倍数”方程，则m＝______；
（2）如果方程x2＋2x＋c＝0是“两根相反倍数”方程，求2x1－x1 x2的值．
五、（每小题9分，共18分）
A
l
C
B
D
E
21．如图，C是直线l上的两点，AC⊥l，点B是直线l上的
一个动点，且在C点右侧，以AB为边在直线l的上方
作□ABDE，若AC＝3，AE＝12，BE＋CB＝17．
（1）若四边形ABDE为矩形时，求CB的长；
（2）若四边形ABDE为菱形时，求CB的长．
22．如图，图1是一个用总长65dm的木板制作的矩形置物架，图2是它的简化图．已知：矩形置物架ABCD是由一个正方形EHKL，四个全等的矩形BENM、矩形LKSR、矩形RSGF、矩形HCQP，两个全等的矩形AMNF、矩形PQDG组成的，设正方形的边长LE＝x(dm)．
（1）则AB＝ ___________dm，FR＝___________dm(用含x的代数式表示)；
（2）当x＝4dm时，则矩形ABCD的面积为 _____________dm2；
（3）为了便于置放物品，EH的高度不得超过4dm，若矩形ABCD的面积为
99(dm2)，求x的值．
A
B
C
D
E
F
G
H
M
N
P
Q
R
S
L
K
图2
图1
六、（本大题共1小题，共12分）
23．探究1：
（1）如图1，在菱形ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，P点为射线BC上一动点，DE⊥AP于E，连接BE，PD．当PD＝AD时，BE＝_______________；
A
B
C
D
E
P
图2
A
B
C
D
E
P
图1
图3
A
P
B
C
D
E
探究2：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，P为为射线BC上一点，DE⊥AP于E，连接BE，PD．当PD＝AD时，BE＝_______________；
拓展探究：
（3）如图3，在□ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P点为射线BC上一点，DE⊥AP于E，连接BE，PD．(数据：≈6)
①若BE∥PD，则S△ADE____S△PCD；(填“＞”或“＝”或“＜”)
②若PD＝AD，求BE的长．
数学参考答案
一、选择题
1．A；2．D；3．B；4．C；5．C；6．D；
二、填空题
7．－1；8．6.5；9．10；10．4；11．18°；12．3或7或15
三、解答题
13．（1）解：(x－1)(2x－3)－(x－1)＝0
(x－1)(2x－3－1)＝0
x1＝1，x2＝2…………………………………3分
（2）证明：∵正方形ABCD
∴∠A＝∠C＝90°
AD＝AC
∵△DEF为等边三角形
∴DF＝DE
∴Rt△ADF≌Rt△CDE(HL)
∴AF＝CE…………………………………6分
14．解：依题意得
x2－6x－16＋4＋2x＝0…………………………2分
x2－4x－12＝0
(x－6)(x＋2)＝0
x1＝6，x2＝－2…………………………………5分
当x为6或－2时，多项式x2﹣6x﹣16的
值与4＋2x的值互为相反数…………………………………6分
15．（1）解：△＝(2k＋1) 2－4(k2＋1)＝4k－3，
∵方程有两个不等实数根，
∴4k－3＞0，
∴k＞
（2）根据根与系数的关系得：
x1x2＝k2＋1＝5．
k＝±2
∵k＞
∴k＝2…………………………………6分
16．解：（1）由题意得，若降价6元，则平均每天销售数量为20+6×2＝32件
…………………………………2分
（2）设每件商品应降价x元，
由题意得，（40－x）（20＋2x）＝1200，
整理得：x2－30x＋200＝0，
解得x＝10或x＝20，
∵要尽快减少库存，
∴x＝20，
∴每件商品应降价20元．………………………6分
17．解：（1）如图1，点M为所求的AB的中点；……………3分
（2）如图2，四边形AMNQ为所求的菱形．……………6分
G
A
B
C
D
E
F
图2
Q
M
GG
AA
BB
CC
DD
EE
FF
图1
M
G
A
B
C
D
E
F
图2
N
Q
M
N
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．解（1）EG＝AB…………………………………3分
（2）如图（画出图形）…………………………………4分
EG＝AB仍成立：…………………………………5分
∵正方形ABCD
∴∠ABF＝∠ABC＝90°，
DE∥CF
∴∠EAG＝∠AFB…………………………………6分
∵EG⊥AF
A
D
B
C
图2
G
E
F
∴∠AGE＝90°
∴∠AGE＝∠ABF
在△AEG和△FAB中
∠AGE＝∠ABF
∠EAG＝∠AFB
AE＝AF
∴△AEG≌△FAB
∴EG＝AB…………………………………8分
19．（1）证明：∵EF∥AC，DE∥BC，
∴四边形CDEF为平行四边形
∵CE⊥AB，F点是BC的中点
∴EF＝CF
∴四边形CDEF为菱形…………………………………4分
（2）S△BCE＝×6×8＝24
∵CE⊥AB，F点是BC的中点，
∴S△CEF＝S△BCE＝12，
∴S菱形CDEF＝2S△CEF＝24…………………………………8分
20．（1）m＝－3…………………………………3分
（2）分两种情况
设x1＋2x2＝0，则x1＝－2x2
根据根与系数的关系得：
x1＋x2＝－2，
x1＋2x2＝0
解得：x2＝2，x1＝－4
2x1－x1x2＝－8－(－4×2)＝－8＋16…………………………………4分
设x2＋2x1＝0，则x2＝－2x1
根据根与系数的关系得：
x1＋x2＝－2，
x1＋2x2＝0
解得：x1＝2，x2＝－4
2x1－x1x2＝4－(－4×2)＝4＋16…………………………………8分
五、（每小题9分，共18分）
21．解：（1）∵矩形ABDE
∴∠BAE＝90°
设CB＝x，则BE＝17－x
由勾股定理得：
x2＋32＝(17－x)2－122
x＝4………………5分
（2）∵菱形ABDE
∴AB＝AE
∴x2＋32＝122
解得：x＝3…………………………………9分
22．解：（1）AB＝…………………………………2分
FR＝…………………………………3分
（2）111cm2…………………………………6分
（3）根据题意得：
3x·＝99………………………7分
化简得：7x2－65x＋4×33＝0
(x－3)(7x－44)＝0
解得：x1＝3，x2＝………………………8分
∵EH的高度不得超过4dm
∴x＝3………………………9分
F
六、（本大题共1小题，共12分）
图3
A
P
B
C
D
E
23．（1）4或4…………………………………………3分
（2）2或4…………………………………………5分
（3）①延长BE交AD于F点
∵□ABCD
∴AD∥BC，AD＝BC
∵BE∥DP
∴四边形BPDF为平行四边形
∴DF＝BP
∴AF＝CP
∴S△ABF＝S△PCD
S△FDE＋S△PBE＝S□ABCD
∵S△ABE＋S△PBE＝S□ABCD
∴S△ABE＝S△FDE
∴S△ADE＝S△AFE＋S△FDE＝S△AFE＋S△ABE＝S△ABF＝S△PCD……………………7分
②分两种情况分析
当P点在线段BC上时，
延长BE交AD于G点，过G点作GH⊥BA交
BA的延长于H点，过D点作DF⊥BC于F点．
∵AD＝PD，DE⊥AP
∴AE＝EG
易得：AG＝BP
∵□ABCD
∴AB∥CD
∴∠DCF＝∠ABC＝60°
在Rt△CDF中
CF＝CD＝3，DF＝3
图4
A
P
B
C
D
E
F
H
G
在Rt△PDF中
PF＝＝≈6
∴PC＝PF－CF＝3
∴PB＝BC－CP＝5
∴AG＝5
在Rt△AGH中
AH＝AG＝
GH＝
在Rt△BGH中
BG＝＝
BE＝…………………………………………9分
图5
A
P
B
C
D
E
F
G
H
当P点射线CP上时
延长BE交AD至G点，使EG＝BE，过G点作GH⊥BC交
BC于H点，过D点作DF⊥BC于F点，连PG．
∵AD＝PD，DE⊥AP
∴AE＝EG
易得：PG＝AB，PG∥AB
在Rt△PGH中
PH＝3，GH＝3
在Rt△CDF中
CF＝3，DF＝3
在Rt△PDF中
PF＝＝≈6
BH＝BC＋CF＋PF＋PH＝20
在Rt△BGHF中
BG＝＝
BE＝…………………………………………11分
综上可知：BE的长为或．…………………………………………12分