人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时课时作业

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时课时作业，共45页。
【夯实基础】
一、概念填空
1．（2022·全国·高二专题练习）夹角
（1）求异面直线所成的角
若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=______ .
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有______=_______.
（3）求二面角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则________为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则=______=_______
（4）求平面与平面的夹角
平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角_________=___________.
二、填空题
2．（2022·全国·高二课时练习）已知和是异面直线，，，则和所成角的大小为______．
3．（2022·全国·高二课时练习）如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是，，那么这条斜线与平面所成角的大小为___________.
4．（2022·全国·高二课时练习）已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成角的大小为___________.
5．（2022·江苏·马坝高中高二期中）已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为__________.
6．（2021·海南·三亚华侨学校高二阶段练习）如图，正方体中，，分别是，的中点，则_________，
7．（2022·全国·高二）如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.
8．（2022·全国·高二课时练习）已知菱形中，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为______．
9．（2021·福建·高二阶段练习）平行六面体的各棱长均相等，与平面交于点E，则的余弦值为___________.
三、单选题
10．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（ ）
A．30°B．150°C．60°D．120°
12．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，，E为PB的中点，，，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
13．（2021·全国·高二课时练习）在正四棱锥中，，分别为，的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）.
A．B．C．D．
14．（2021·陕西汉中·高二期末（理））正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
15．（2021·全国·高二单元测试）把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（ ）.
A．B．C．D．
四、多选题
16．（2022·广东·高二期末）给出下列命题，其中不正确的有（ ）
A．若，则是钝角
B．若，则与一定共线
C．若，则与为同一线段
D．非零向量､､满足与，与，与都是共面向量，则､､必共面
五、解答题
17．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有单位正方体，点E是的中点，求直线与直线CE所成角的余弦值．
18．（2022·全国·高二课时练习）已知是正方体，求直线与直线所成角的大小.
19．（2022·全国·高二专题练习）已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·河南·郑州市第九中学高二阶段练习）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．BD⊥平面ACC₁
C．向量 与的夹角是60°
D．直线BD₁与AC所成角的余弦值为
二、多选题
2．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）在长方体中，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若直线与直线所成的角为，则
B．若经过点的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点，则
C．若经过点的直线与长方体所有面所成的角都为，则
D．若经过点的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则
3．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连接PC，构成三棱锥． 设二面角为，直线和直线所成角为，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．PC与平面BCD所成的最大角为45°
B．存在某个位置，使得PB⊥CD
C．当时，的最大值为
D．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为
4．（2022·浙江·绍兴市教育教学研究院高二期末）在正方体中，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，平面
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，的面积为定值
D．当时，直线与所成角的范围为
三、解答题
5．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求二面角的正弦值．
6．（2022·北京延庆·高二期末）在四棱锥中，，，，，，平面，．
(1)若是的中点，求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求与平面所成角的正弦值．
7．（2022·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别是棱，上的动点.
(1)若是棱的中点，求二面角的大小；
(2)请判断下列条件：①直线与平面所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论.
8．（2022·江苏·南通市通州区石港中学高二阶段练习）如图，在四面体中，为等边三角形，点分别为棱的中点，且.
(1)证明：；
(2)若二面角的大小为，求二面角的余弦值.
9．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面平面，，又为中点
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
10．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）如图所示，在直四棱柱中，，
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
11．（2022·广东广州·高二期末）在四棱锥中，已知侧面为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点M，N分别在线段和上，且．
(1)求证：平面；
(2)设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．
12．（2022·广东湛江·高二期末）如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，.
(1)证明：；
(2)若到直线的距离为，求平面与平面夹角的余弦值.
1.4.2 用空间向量解决角度问题（第2课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、概念填空
1．（2022·全国·高二专题练习）夹角
（1）求异面直线所成的角
若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=______ .
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有______=_______.
（3）求二面角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则________为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则=______=_______
（4）求平面与平面的夹角
平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角_________=___________.
【答案】
二、填空题
2．（2022·全国·高二课时练习）已知和是异面直线，，，则和所成角的大小为______．
【答案】60°##
【分析】根据向量数量积求出与夹角的余弦，再根据异面直线所成夹角的范围即可求出角．
【详解】，
∵异面直线夹角范围是，
∴AB和CD所成角的大小为60°．
故答案为：60°．
3．（2022·全国·高二课时练习）如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是，，那么这条斜线与平面所成角的大小为___________.
【答案】60°##
【分析】利用向量数量积求出，从而求出，再根据斜线与平面夹角的概念即可求解．
【详解】∵，
∴，
又∵斜线和平面夹角的范围是，
∴这条斜线与平面所成角的大小为．
故答案为：60°．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成角的大小为___________.
【答案】45°##
【分析】根据法向量和平面夹角的关系即可求解．
【详解】，∴，
因为两平面夹角范围是[0°,90°]，
∴这两个平面所成角的大小为45°．
故答案为：45°．
5．（2022·江苏·马坝高中高二期中）已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为__________.
【答案】或
【分析】利用法向量夹角可得二面角.
【详解】由，，
则，
所以二面角余弦值，
所以或，
故答案为：或.
6．（2021·海南·三亚华侨学校高二阶段练习）如图，正方体中，，分别是，的中点，则_________，
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，
则，
，
所以.
故答案为：
7．（2022·全国·高二）如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______.
【答案】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，即可得到方程，解得，从而得解．
【详解】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：
则设，
则，设直线与所成角为
所以，即，
解得或（舍去），所以，
故答案为：．
8．（2022·全国·高二课时练习）已知菱形中，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为______．
【答案】
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，根据二面角余弦值的空间向量求解方法进行计算即可.
【详解】设菱形的边长为1，取的中点，连接，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
如图，建立空间直角坐标系，则，，，
所以，．
设平面的一个法向量为，则，令，则，
同理，平面的一个法向量为，
所以，
设二面角为，由图可知二面角为锐角，即，
所以，所以二面角的余弦值为．
故答案为：
9．（2021·福建·高二阶段练习）平行六面体的各棱长均相等，与平面交于点E，则的余弦值为___________.
【答案】
【分析】利用基底表示，结合向量夹角公式求得的余弦值.
【详解】连接，，连，设，
不妨设棱长为1，则，易知平面，E是的中心，
又与相似，∴，
∴，又，有，
∴，，
，
，
，，
∴，
.
所以.
故答案为：
三、单选题
10．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间直角坐标系，根据向量的夹角的余弦值来确定异面直线的夹角.
【详解】取中点为，连接，所以，
又面面且交线为，面，
所以面，面，则.
设正方形的对角线长度为2，
如图所示，建立空间直角坐标系，，
所以，.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选:A
11．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（ ）
A．30°B．150°C．60°D．120°
【答案】C
【分析】利用向量夹角公式求得正确选项.
【详解】依题意，，
设直线与所成角为，，所以.
故选：C
12．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，，E为PB的中点，，，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，根据，得到，解方程即得的值，即得解.
【详解】设，则，，，，
，，
，，
的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查空间向量所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．（2021·全国·高二课时练习）在正四棱锥中，，分别为，的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不妨设正四棱锥底面边长为2，则由该正四棱锥侧面与底面所成二面角的正切值为，易得其高为.取底面正方形的中心为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量进行求解即可
【详解】如图所示.
不妨设正四棱锥底面边长为2，底面中心为，
连，则平面，
取中点，连，则，
所以为侧面与底面所成的角，
即，所以
取底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
所以，.
设与所成的角为，则.
故选：B.
【点睛】此题考查求异面直线所成的角，考查空间向量的用法，属于基础题
14．（2021·陕西汉中·高二期末（理））正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直接坐标系，利用空间向量求解.
【详解】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为2，
因为E，F分别为，的中点，易知，A(2，0，0)，E(0，1，2)，
C(0，2，0)，F(2，2，1)，所以，，
所以=.
因为异面直线AE与FC所成角为锐角.
所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为.故A，B，C错误.
故选：D.
15．（2021·全国·高二单元测试）把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得两两互相垂直，根据点，分别是，的中点，得到，，再分别求得，，代入公式求解.
【详解】因为是正方形中心，所以，
为二面角的平面角，
又正方形沿对角线折起成直二面角，
即二面角是直二面角，所以，
因为点，分别是，的中点，
所以，，
所以.
又，
所以.
因为
所以，
故选：C.
【点睛】本题主要考查空间向量的立体几何中的应用，属于基础题.
四、多选题
16．（2022·广东·高二期末）给出下列命题，其中不正确的有（ ）
A．若，则是钝角
B．若，则与一定共线
C．若，则与为同一线段
D．非零向量､､满足与，与，与都是共面向量，则､､必共面
【答案】ACD
【分析】A. 由判断； B.利用共线向量定理判断； C.由线段与可能平行或重合判断；D.举例判断.
【详解】A. 当时，，但不是钝角，故错误；
B. 当时，，所以与一定共线，故正确；
C.当时，与共线，线段与可能平行或重合，故错误；
D.如图所示：，
设
满足与，与，与都是共面向量，但､､不共面，故错误；
故选：ACD
五、解答题
17．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中有单位正方体，点E是的中点，求直线与直线CE所成角的余弦值．
【答案】
【分析】用空间向量求解空间直线的夹角的余弦值.
【详解】设正方体棱长为a，则，，，，则，，设直线与直线CE所成角为（），则，故直线与直线CE所成角的余弦值为.
18．（2022·全国·高二课时练习）已知是正方体，求直线与直线所成角的大小.
【答案】.
【分析】在正方体中求异面直线所成角，可以用向量法.
【详解】
如图，在正方体中，以为坐标原点，向量，,为正方向建立空间直角坐标系，并设正方体的边长为，则,,,,所以,,
故,又因为，所以，即直线与直线所成角的大小为.
19．（2022·全国·高二专题练习）已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值．
【答案】
【分析】设，且各长度均为，根据空间向量的基本定理，得到，，根据数量积的公式和夹角公式，可得答案.
【详解】设，且各长度均为，
则，
因为，，且，，
所以，
所以.
与所成角的余弦值为.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·河南·郑州市第九中学高二阶段练习）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．BD⊥平面ACC₁
C．向量 与的夹角是60°
D．直线BD₁与AC所成角的余弦值为
【答案】C
【分析】利用空间向量法，通过计算线段长度、向量夹角、线线角以及证明线面垂直等知识确定正确答案.
【详解】以为空间一组基底.
，
，
所以，A选项正确.
由于四边形是菱形，所以，
，
，
所以，即，
由于，所以平面，B选项正确.
，三角形是等边三角形，
由图可知与的夹角为钝角，也即与的夹角为钝角，C选项错误.
，
，
所以.
，，
所以.
.
设直线与直线所成角为，
则，D选项正确.
故选：C
二、多选题
2．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）在长方体中，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若直线与直线所成的角为，则
B．若经过点的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点，则
C．若经过点的直线与长方体所有面所成的角都为，则
D．若经过点的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则
【答案】ABC
【分析】A根据长方体的性质找到直线与直线CD所成角的平面角即可；B构建空间直角坐标系，根据线线角相等，结合空间向量夹角的坐标表示求，即可求M坐标，进而确定线段长；C、D将长方体补为以为棱长的正方体，根据描述找到对应的直线m、平面β，结合正方体性质求线面角、面面角的正弦值.
【详解】解：对于A：如下图，直线与直线所成角，即为直线与直线所成角，则，故A正确；
对于B：构建如下图示的坐标系，过的直线与长方体所有棱所成的角相等，与面交于且，又，
则
，故，则，故B正确；
对于C：如下图，过A的直线m与长方体所有面所成的角都为θ，则直线m为以为棱长的正方体的体对角线，故，故C正确；
对于D：如下图，过A的平面β与长方体所有面所成的二面角都为，只需面β与以为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如面，故，则，故D错误.
故选：ABC
3．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连接PC，构成三棱锥． 设二面角为，直线和直线所成角为，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．PC与平面BCD所成的最大角为45°
B．存在某个位置，使得PB⊥CD
C．当时，的最大值为
D．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为
【答案】BC
【分析】取BD的中点O，由题可得平面，进而可得PC与平面BCD所成的角为∠PCO，，利用特值可判断A，利用向量法可得，结合条件可判断BC，若B到平面PDC的距离为，则有平面PCD，进而判断D．
【详解】取BD的中点O，连接，则，
又，可得平面，平面，
所以平面平面，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，
当PC时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO＝60°＞45°，故A错误；
由上可知为的平面角，即，
因为，
所以，
当时，，即，故B正确；
又，
当时，，
所以，即的最大值为，故C正确；
∵点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，
∴若B到平面PDC的距离为，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，
则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾，故D错误．
故选：BC．
4．（2022·浙江·绍兴市教育教学研究院高二期末）在正方体中，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，平面
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，的面积为定值
D．当时，直线与所成角的范围为
【答案】ABD
【分析】对于A选项，确定点在面对角线上，通过证明面面平行，得线面平行；
对于B选项，确定点在棱上，由等体积法，说明三棱锥的体积为定值；
对于C选项，确定点在棱上，的底不变，高随点的变化而变化；
对于D选项，通过平移直线，找到异面直线与所成的角，在正中，确定其范围.
【详解】对于A选项，如下图，当时，点在面对角线上运动，
又平面，所以平面，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
所以，，平面，平面，平面，
同理可证平面，
，所以，平面平面，
平面，所以，平面，A正确；
对于B选项，当时，如下图，点在棱上运动，
三棱锥的体积为定值，B正确；
对于C选项，当时，如图，点在棱上运动，过作于点，
则，其大小随着的变化而变化，C错误；
对于D选项，如图所示，当时，，，三点共线，
因为且,所以四边形为平行四边形，所以，
所以或其补角是直线与所成角，
在正中，的取值范围为，D正确.
故选：ABD.
三、解答题
5．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高二期中）如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点．
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先建立空间直角坐标系．设出点的坐标，求出两直线的方向向量，最后利用向量的夹角公式计算即得异面直线BE与AC所成的角的余弦值；
（2）先分别求得平面ABE的法向量和平面BEC的一个法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值，根据三角函数同角关系即可求得正弦值．
（1）以为原点，，，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则有，，，.
，.
.
由于异面直线与所成的角是锐角，故其余弦值是.
（2）.
设平面的法向量为，
则由，得，取.
由题意可得，平面为平面，则其一个法向量为，
，
则，
即二面角的正弦值为．
6．（2022·北京延庆·高二期末）在四棱锥中，，，，，，平面，．
(1)若是的中点，求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）取的中点，连接，先证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）先证明两两垂直，以点坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明，再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（3）利用空间向量法求解线面角即可.
（1）解：取的中点，连接．
因为是中点，所以,
因为，，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）证明：因为平面，平面,平面,
所以，，又，所以两两垂直．
如图，以点坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．
则，
所以，，
因为，所以，
因为平面，所以，
因为，平面,平面，
所以平面．
（3）解：由（2）知是平面的一个法向量，，，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
7．（2022·云南·巍山彝族回族自治县第二中学高二阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别是棱，上的动点.
(1)若是棱的中点，求二面角的大小；
(2)请判断下列条件：①直线与平面所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论.
【答案】(1)；
(2)条件②，证明见解析
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角的大小；
（2）若选择①，过作的垂线，垂足为，易得是直线与平面所成角，得到是的中点，利用空间向量证明与平面不平行；若选择②，通过线面平行的判定定理即可证明
（1）以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示坐标系，
则，，，，，，
则，，，，
设平面的法向量，平面的法向量，
由，得，当时，，
则，
由，得，当时，，
则，
因为，
故二面角的大小为；
（2）条件②可以推断平面；
以下证明条件①不可以，条件②可以，
若选择条件①，
因为在线段上，所以，所以，
过作的垂线，垂足为，易得是直线与平面所成角，
所以，解得， 所以
由（1）可得，，
设平面的法向量，
由，得，当时，，
则，
所以，则与不垂直，即与平面不平行;
若选择条件②，
如图，连接，相交于点，连结，
在梯形中，有，，
根据三角形的相似得，
又因为，故，
又平面，平面，
所以平面
8．（2022·江苏·南通市通州区石港中学高二阶段练习）如图，在四面体中，为等边三角形，点分别为棱的中点，且.
(1)证明：；
(2)若二面角的大小为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）设为的中点且，根据已知可得，结合等比例得到，进而有，再由等边三角形、中位线性质得，最后应用线面垂直的判定和性质证结论.
（2）构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值.
（1）
不妨设为的中点且，则，
连接，为棱的中点，且，
，即，
，且，
，即，
又为等边三角形，点为棱的中点，则，
分别为的中点，则，
，
平面，且，
平面，又平面，
.
（2）建立如图所示空间直角坐标系，
由（1）知，为二面角的平面角，且，
若二面角的大小为，则，
，
，
设平面的一个法向量为，则，令，则，
显然为平面的一个法向量，
，
由图知：锐二面角的余弦值为.
9．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）如图所示，在四棱锥中，平面平面，，又为中点
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）构建空间直角坐标系，求面的法向量及方向向量，由向量数量积坐标运算判断与面的法向量位置关系，最后根据线面平行的判定证结论.
（2）根据（1）求出面的法向量，利用向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.
（1）如图，过作的垂线交于，
以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
由，则，又，
所以点到轴的距离为1，到轴的距离为，
则有，
，
设面的法向量为，则，令，则，
，即，又平面，
所以平面
（2）设平面的法向量为，且，
则，令，则.
又平面的法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值是.
10．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）如图所示，在直四棱柱中，，
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）构造空间直角坐标系，求出的坐标，由向量数量积的坐标运算判断它们的位置关系即可；
（2）求面的法向量、的方向向量，利用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.
（1）
以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，
，
（2）
设平面的法向量为，
则，令，则，
设直线与平面所成的角为，而，
，
直线与平面所成角的正弦值为.
11．（2022·广东广州·高二期末）在四棱锥中，已知侧面为正三角形，底面为直角梯形，，，，，点M，N分别在线段和上，且．
(1)求证：平面；
(2)设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，交于点，根据平行线分线段成比例可证得，由线面平行的判定可证得结论；
（2）取中点，作，利用线面垂直的判定可证得平面，平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角平面角的定义可知二面角的平面角为，由此可得的线段长度，得到所需点的坐标，利用线面角的向量求法可求得结果.
(1)连接，交于点，连接；
，，，，
又，，，
又平面，平面，平面.
(2)取中点，连接；作，垂足为；
为正三角形，；
，，四边形为平行四边形，，
又，，又，平面，
平面；
平面，，
又，，平面，平面；
作，交于点，则，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，
，，即为二面角的平面角，
又，，，；
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
设直线和平面所成角为，，故直线和平面所成角的正弦值为
12．（2022·广东湛江·高二期末）如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，.
(1)证明：；
(2)若到直线的距离为，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析.
(2).
【分析】(1)证明异面直线垂直，通常先证明线面垂直.所以先证明与平面垂直，即可得到异面直线与垂直.
(2)以为原点建立空间直角坐标系，根据到直线的距离求出边长，从而得出各点的坐标，然后求出平面和平面的法向量，即可得到夹角的余弦值.
(1)证明：因为平面，平面，所以；
因为，所以；
因为，平面，所以平面；
因为平面，所以.
(2)以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.
则，，，
设，，，
因为若到直线的距离为，
即，解得.
故，，，
，，，.
设平面的法向量为，则，
所以，不妨取.
设平面的法向量为，则，
所以，不妨取.
设平面与平面夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.