数学选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用备课课件ppt

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1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.(数学抽象)2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.(逻辑推理)3.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.(逻辑推理)
1.空间中点、直线和平面的向量表示(1)点→点+位置向量 (2)线→点+方向向量 (3)平面→点+法向量
2.空间中直线、平面的平行
类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
思考： 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
思考1：如何用直线的方向向量表示两条直线的垂直？
思考2：如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面垂直关系？
思考3：由平面与平面的垂直的关系，可以得到平面的法向量有什么关系？
【基底法】比【坐标法】更具有一般性
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.
利用空间向量证明线面垂直的方法(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.(3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4, ,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4. 求证:BD⊥平面PAC.
证明:因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则B(4,0,0),P(0,0,4),
证明“平面与平面垂直的判断定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
思路分析要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法向量n1,n2,证明n1·n2=0.
解:由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0),A1(2,0,1),
1.利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.
利用空间向量证明面面垂直的方法
2.如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=.求证:平面AMD⊥平面CDE.
分析:因为FA⊥平面ABCD,所以可以以点A为坐标原点建立空间直角坐标系.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.
思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.
证明:(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),
延伸探究本例条件不变,求证:AF⊥BC.
利用向量方法证明线线垂直的方法(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.
证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则