湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知随机变量，且，则的最小值为，已知某圆台上下底面半径分别为2，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试装、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知b，，虚数是方程的根，则（ ）
A.B.C.4D.2
3.已知向量，，若，则（ ）
A.2B.C.1D.0
4.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是（ ）cm.
A.B.C.D.
5.已知随机变量，且，则的最小值为（ ）
A.5B.C.D.
6.已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
7.设函数，若，则a，b满足的关系式为（ ）
A.B.C.D.
8.小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（ ）
A.B.
C.D.与6的大小无法确定
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，则（ ）
A.的极小值点为1
B.有三个零点
C.点为曲线的对称中心
D.过点可以做曲线的两条切线
10.受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：
以下选项正确的有（ ）
A.水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为，
B.该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口
C.该船卸完货物后可以在19：00离开港口
D.该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：00
11.已知圆，过点向圆M引切线l，切点为Q，记Q的轨迹为曲线C，则（ ）
A.曲线C关于x轴对称
B.C在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为
C.C的渐近线为
D.当点在C上时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在的展开式中，若的系数为，则_____.
13.M、N分别为曲线与直线上的点，则的最小值为______.
14.将椭圆上所有的点绕原点逆时针旋转角，得到椭圆的方程：，椭圆的离心率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，，求AB边上的中线长.
16.（本题满分15分）
已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.
17.（本题满分15分）
某学校有A，B两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去A餐厅用餐的概率是.如果第1天去A餐厅，那么第2天继续去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，如此往复.
（1）计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.
（2）记王同学第n天去A餐厅用餐概率为，求；
（3）求九月（30天）王同学去A餐厅用餐的概率大于去B餐厅用餐概率的天数.
18.（本题满分17分）
已知函数.
（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；
（2）在定义域内恒成立，求a的值；
（3）求证：，.
19.（本题满分17分）
类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）S的方程，若曲面S和三元方程之间满足：①曲面S上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面S上，则称曲面S的方程为，方程的曲面为S.已知曲面C的方程为.
（1）写出坐标平面xOz的方程（无需说明理由），并说明xOz平面截曲面C所得交线是什么曲线；
（2）已知直线l过曲面C上一点，以为方向量，求证：直线l在曲面C上（即l上任意一点均在曲面C上）；
（3）已知曲面C可视为平面xOz中某双曲线的一支绕z轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面C上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C上.设直线在曲面C上，且过点，求异面直线l（第二间中的直线l）与所成角的余弦值.
2024年高三9月起点考试
高三数学答案
12.13.14.
1.因为6为2和3的公倍数，故
2.是方程的根，则方程另一根为，故.
3.由于，
.
4.大轮有45齿，小轮有30齿，…当大轮转动一周时小轮转动周，
当大轮的转速为时，小轮转速为，
小轮周上一点每1s转过的弧度数为：.
又小轮的半径为10cm，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：.
5.，，
当且仅当，即时取等.
6.四台轴截面等腰梯形底角为60°，高为，
边长为12的正三角形内切圆半径为，，
故能放入最大球半径为，表面积为4
7.，
且恒成立，在定义域上单调增且零点为，
在定义域上单调减且零点为，
故与在定义域内函数值正负相反且零点重合，则.
8.X服从二项分布，则，
最大即为满足的最小N，
即为，
又，故为整数时，，；
不为整数时N为大于的最小整数，为的整数部分，.故，
9.，其中为极大值点，1为极小值点，A对；
，，故有两个零点，B错；
，，故为曲线的对称中心，C对；
在对称中心处的切线上方，故只能做一条切线，D错.
10.依题意，，，解得，
显然函数的图象过点，
即，又，因此，
所以函数表达式为，.故A对
依题意，，整理得，
即有，即
解得或，所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.故B对.
该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，
19时水深为，故C错，
该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x小时后，
该船符合安全条例的最小水深为
函数与的图像交于点，
即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，
下次水深为7米时刻为11点，
故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，
综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.故D对.
11.圆，圆心，半径，且，且.
，则点在圆M外.
由题意知，设，
则①
又点Q在圆M上，则②，
①-②得，，解得③，
由且，解得，且
将③代入②消a得，，即为曲线C的方程.
设，，则，
令解得，或，或（舍）
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
且，，当时，.
且当时，函数与单调性相同，
且，，当时，.
故的大致图象如下图，
又由方程可知曲线C关于x轴对称，且.
故曲线C的大致图象为如下图，
故C在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为，浙近线为，A、B项正确，C错误；
D项，当点在C上时，则由，或.
得，又，，
则，所以要成立，故D正确；
12.由二项式定理通项公式得，
则，
则.
13.恒成立，
则曲线在直线上方，
则当M处切线与直线平行时最小，
求导得，此时点到直线距离即为最短距高，
此时.
14.设点在该椭圆上，
则其关于的对称点代入椭圆方程有，即，
则该对称点位于椭圆方程上，同理其关于的对称点也位于椭圆方程上，
则关于对称，
将代入可得，
可得椭圆长轴的顶点为，，所以，
将代入可得，
可得椭圆短轴的顶点为，，所以，
则，则.
15.（1）（2）
解：（1）因为，由正弦定理可得.
又因为，则，所以.
整理得，即.
因为，所以，所以，所以.（6分）
（2）由余弦定理，且，
则有，
又，故.（8分）
设AB边上中线为CM，则，
，故AB边上中线长为（13分）
16.（1）；（2）过定点，定点为原点.
解：（1）设动圆圆心，
当时，由已知得，即；
当时，点C的轨迹为点，满足.
综上可知，点C的轨迹方程为.（5分）
（2）设直线l方程为：，
则，恒成立，
，设圆心为P，则，，，（8分）
直径，
故圆P的方程为，
由对称性可知，若存在定点，则必在x轴上，
令，则，（12分）
化简得：对恒成立，故，
存在定点，故以MN为直径的圆过定点.（15分）
17.（1）；（2）；（3）1天.
解：（1）设表示第1天去A餐厅，表示第2天去A餐厅，则表示第1天去B餐厅，
根据题意得，，，，，
所以.（4分）
（2）设表示第n天去A餐厅用餐，则，，
根据题意得，，，
由全概率公式得，，
即，（7分）
整理得，，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，（10分）
（3）由题意，只需，即，
则，即，
显然n必为奇数，n为偶数时不成立，当时，
考虑的解，
当时，显然成立，当时，，不成立，
由单调递减得，时，也不成立，
综上，该同学只有1天去A餐厅用餐的概率大于去B餐厅用餐概率.（15分）
18.（1），；（2）；（3）证明见解析.
解：（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，
则其关于对称的点在图像上，
则，则，
故，；（5分）
（2）令，，
则在在恒成立，
又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，
，，
下证当时，在恒成立，
令，,
当，，单调递增，
当，，单调递减，
故，在上恒成立，又，
则时，恒成立，
综上，.（11分）
（3）证明：由（2）可知：，
则，即，
则，
又由（2）可知：在上恒成立，
则在上恒成立且当且仅当时取等，
令，，则，
即，
则
，
综上，，即证.（17分）
19.（1），双曲线：（2）证明见解析：（3）.
解：（1）根据坐标平面xOy内点的坐标的特征可知，坐标平面xOz的方程为，
已知曲面C的方程为，
当时，xOz平面截曲面C所得交线上的点满足，
从而xOz平面截曲面C所得交线是平面xOz上，以原点O为对称中心，
焦点在x轴上，实轴长为2，虚轴长为4的双曲线.（4分）
（2）设是直线l上任意一点，由，
均为直线l的方向向量，有，
从而存在实数，使得，即，
则，解得，，，
所以点p的坐标为，
于是，
因此点P的坐标总是满足曲面C的方程，从而直线l在曲面C上.（10分）
（3）直线在曲面C上，且过点,
设是直线上任意一点，直线!的方向向量为，
由，均为直线的方向向量，有，
从而存在实数t，使得，即，
则，解得，，，所以点M的坐标为，
在曲面C上，，
整理得，
由题意，对任意的t，有恒成立，
，且，或，不妨取，或，
，或，
又直线l的方向向量为
则异面直线l与所成角的余弦值均为.（17分）时刻
2：00
5：00
8：00
11：00
14：00
17：00
20：00
23：00
水深/米
10
7
4
7
10
7
4
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
A
C
B
D
A
C
B
AC
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ABD