湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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一、单选题
1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用列举法表示集合即可得解.
【详解】依题意，，
所以中元素的个数为5.
故选：C
2. 已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（ ）
A. 20B. C. 0D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值.
【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为．
又两直线垂直，则，解得．
，即，
将交点代入直线的方程中，得．
将交点代入直线的方程中，得．
所以，．
故选：B．
3. 在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理将化为，然后化简可得答案.
【详解】，
由余弦定理可得，则，
则，所以为直角三角形.
故选：A.
4. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ）
①若，则为异面直线 ②若，则
③若，则 ④若，则
⑤若，，，则
A. ②③⑤B. ①②⑤C. ④⑤D. ①③
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可.
【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误；
对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；
对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确；
对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误.
对⑤：若，，则存在且，
因为，，所以，又因为，所以，故⑤正确，
故选：A.
5. 已知点关于直线对称的点在圆：上，则（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程计算即可.
【详解】设，则，解得，.
因在上，所以，解得.
故选：B
6. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是（ ）
A. 甲：中位数为2，众数为3B. 乙：总体均值为3，中位数为4
C. 丙：总体均值为2，总体方差为3D. 丁：总体均值为1，总体方差大于0
【答案】C
【解析】
【分析】通过举反例排除ACD三个选项，根据方差的计算判断C选项正确.
【详解】A选项，数据可以为“”，不符合该标志；
B选项，数据可以为“”，不符合该标志；
C选项，总体均值是2时，只要出现超过7人时，方差就大于3，故C正确；
D选项，数据可以为“”，不符合该标志；
故选：C.
7. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是（ ）

A. 直线与所成的角不可能是
B. 若，则二面角的平面角的正弦值为
C. 当时，
D. 当时，点到平面的距离为
【答案】B
【解析】
【分析】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用向量法可求面面角的余弦值后结合同角的三角函数基本关系式计算后可判断B的正误，利用空间中的距离公式计算CD后可判断它们的正误，.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
对于A，设，故，
故，而，
设直线与所成的角为，则，
若直线与所成的角是，则，
整理得到：，此方程在0,1上无实数解，
故直线与所成的角不可能是，故A正确.
对于B，当时，结合A分析得，此时，
故，而，设此时平面的法向量为，
则即，取，则，，故，
又，，设平面的法向量为，
则即，取，则，，故，
故，故二面角的平面角的正弦值为，故B错误.
对于C，当时，又B的分析可得，故，故，故C正确.
对于D，当时，结合A中分析可得，故，故，
而，设平面的法向量为，
则即，取，则，，故，
又，故到平面的距离为，故D正确.
故选：B.
8. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数的对称中心为
B. 若，则的最大值为
C. 若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据新定义，把新函数转化为熟悉的三角函数，再分析它们的有关性质即可.
【详解】对A：.
由，，，所以函数的对称中心为，故A错误；
对B：.
设，则，且，
所以，
当时，.故B错误；
对C：.
因为且，所以.
所以.
所以圆心角为，半径为3的扇形的面积为：，故C错误；
对D：由.
所以，故D正确.
故选：D
二、多选题
9. 下列四个命题中，是真命题的是( )
A. ∀x∈R，且x≠0，x＋≥2
B. ∃x∈R，使得x2＋1≤2x
C. 若x＞0，y＞0，则≥
D. 若x≥，则的最小值为1
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式即可逐项判断求解.
【详解】对于，且对时不成立；
对于，当时，成立，正确；
对于，若，则，化为，当且仅当时取等号，正确；
对于
∵，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号.
故的最小值为
故选：BCD.
10. 设复数的共轭复数为，i为虚数单位，则下列命题错误的是（ ）
A.
B. 若，则在复平面内对应的点位于第二象限
C. 是纯虚数
D. 若，则的最大值是6
【答案】AB
【解析】
【分析】A选项，举出反例；B选项，先求出共轭复数，由三角函数性质得到，确定所在象限；C选项，利用复数除法法则化简，得到C正确；D选项，由复数模长的几何意义确定其轨迹，从而确定的最大值.
【详解】A选项，设，则，故，A错误；
B选项，，因为，所以cs20⇒−sin2