福建部分学校教学联盟2024~2025学年高二8月入学检测数学试题+答案

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（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1．答题前，请考生认真检查试题卷有无缺印、漏印等问题。本卷共4页，19小题。
2．答题时，选择题部分用2B铅笔规范填涂。非选择题部分用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上答题无效。
学校：姓名： 准考证号：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，且，则的值为（ ）
A．6B．10C．12D．14
3．在△ABC中，三个内角的对边分别是，若，则（ ）
A．B．C．D．.
4．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ）
A．，3B．，2C．1，3D．，2
5．如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（ ）
（参考数据：，，，）
A．米B．米C．米D．米
8．平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分。
9．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（ ）
A．平面
B．
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面与平面的夹角的正切值为
10．△ABC中，角所对的边为下列叙述正确的是（ ）
A．若，则△ABC一定是锐角三角形
B．若，则△ABC一定是等边三角形
C．若，则
D．若，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ）
A．在中点时，平面平面
B．异面直线所成角的余弦值为
C．在同一个球面上
D．，则点轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是．
13．若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为．
14．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，则该木楔子的外接球的表面积为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
记△ABC的内角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若是边上一点，且，求△ABC的面积．
16．（15分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心、为直径的球面交于点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．
17．（15分）
三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与DE的距离．
18．（17分）
如图，在△ABC中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有.
(1)证明：；
(2)已知，，，直线与平面所成角的正弦值为.
（i）求△SDE的面积；
（ii）求三棱锥的体积.
19．（17分）
在空间直角坐标系中，己知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
(1)若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）；
(2)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值；
(3)若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．
2024~2025学年第一学期福建省部分学校教学联盟高中入学适应性检测
高二数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．13．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）因为，则，
可得，
则，
若，则，且B∈0,π，所以；
若，则，即，
且，所以，
但，由正弦定理可得，不合题意；
综上所述：.
（2）因为，则，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，解得或（舍去），
则，所以的面积.
16.（15分）
（1）证明：因为平面，平面，平面，
所以，，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
有题意可知，又，平面，平面，
所以平面．
（2）分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
因平面，平面，所以，
因为，所以为中点，
故，
平面的一个法向量为，
，
设平面的法向量为，
由得，令得，，
则，所以，
因为二面角是钝二面角，所以二面角的大小为．
17.（15分）
（1）证明：三棱台中，，则，
有，得，所以，
又，所以在平面内，，有，
平面平面，
所以平面．
（2）解：已知平面平面ABC，平面平面，，
平面，所以平面，由平面，得，
又平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，由平面ABC，得.
以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系．
则有，
，
因为，所以，
设向量，且满足：，
则有，令，
在的投影数量为，
异面直线与DE的距离.
18.（17分）
（1）证明：因为E为边AB的中点，所以.
又，即，即.
，
所以.
又因为，所以，即.
因为平面，
所以平面.
因为平面，所以.

（2）解：（i）由余弦定理可得，
所以，
所以.
（ii）由（1）可知，平面，
所以即为与平面所成角.
因为，所以，，
所以，得.
设到平面的距离为，点到直线的距离为，
则
.
因为，
又，所以.
（17分）
解：（1）记平面，的法向量为，设直线的方向向量，
因为直线为平面和平面的交线，
所以，，即，取，则，
所以直线的单位方向向量为．
（2）设，
由平面经过点，，
所以，解得，即，
所以记平面的法向量为，
与（1）同理，与确定的交线方向向量为，
所以，即，解得．
（3）由集合知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，
，，
设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为，
平面，设平面法向量，
平面，设平面法向量，
所以，
所以几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
D
B
B
C
D
题号
9
10
11
答案
ABD
BC
ACD