新高考物理一轮复习重难点练习专题15 功能关系　能量守恒定律（2份打包，原卷版+解析版）

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1.熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题.
2.掌握一对摩擦力做功与能量转化的关系.
3.会应用能量守恒观点解决综合问题．
考点一 功能关系的理解和应用
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的．
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等．
2．常见的功能关系

1．功的正负与能量增减的对应关系
(1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功．
(2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、静电力等)做负功还是做正功．
(3)机械能的增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功．
2．摩擦力做功的特点
(1)一对静摩擦力所做功的代数和总等于零；
(2)一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，差值为机械能转化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量；
(3)说明：无论是静摩擦力还是滑动摩擦力，都可以对物体做正功，也可以做负功，还可以不做功．
【典例1】在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项．质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，当地的重力加速度为g，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是( )
A．他的动能减少了Fh
B．他的重力势能增加了mgh
C．他的机械能减少了(F－mg)h
D．他的机械能减少了Fh
【答案】D
【解析】运动员进入水中后，克服合力做的功等于动能的减少量，故动能减少(F－mg)h，故A错误；运动员进入水中后，重力做功mgh，故重力势能减小mgh，故B错误；运动员进入水中后，除重力外，克服阻力做功Fh，故机械能减少了Fh，故C错误，D正确．
【典例2】(多选)(2020·全国卷Ⅰ·20)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
【答案】AB
【解析】由E－s图像知，物块动能与重力势能的和减小，则物块下滑过程中机械能不守恒，故A正确；由E－s图像知，整个下滑过程中，物块机械能的减少量为ΔE＝30 J－10 J＝20 J，重力势能的减少量ΔEp＝mgh＝30 J，又ΔE＝μmgcs α·s，其中cs α＝eq \f(\r(s2－h2),s)＝0.8，h＝3.0 m，g＝10 m/s2，则可得m＝1 kg，μ＝0.5，故B正确；物块下滑时的加速度大小a＝gsin α－μgcs α＝2 m/s2，故C错误；物块下滑2.0 m时损失的机械能为ΔE′＝μmgcs α·s′＝8 J，故D错误．
【典例3】(多选)如图所示，一个长为L，质量为M的木板，静止在光滑水平面上，一个质量为m的物块(可视为质点)，以水平初速度v0，从木板的左端滑向另一端，设物块与木板间的动摩擦因数为μ，当物块与木板相对静止时，物块仍在长木板上，物块相对木板的位移为d，木板相对地面的位移为s，重力加速度为g.则在此过程中( )
A．摩擦力对物块做功为－μmg(s＋d)
B．摩擦力对木板做功为μmgs
C．木板动能的增量为μmgd
D．由于摩擦而产生的热量为μmgs
【答案】AB
【解析】根据功的定义W＝Fscs θ，其中s指物体对地的位移，而θ指力与位移之间的夹角，可知摩擦力对物块做功W1＝－μmg(s＋d)，摩擦力对木板做功W2＝μmgs，A、B正确；根据动能定理可知木板动能的增量ΔEk＝W2＝μmgs，C错误；由于摩擦而产生的热量Q＝Ff·Δx＝μmgd，D错误．
考点二 能量守恒定律的理解和应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE减＝ΔE增．
3．应用能量守恒定律解题的步骤
(1)首先确定初、末状态，分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等．
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式．
【典例4】（2022·浙江·高三专题练习）光伏发电系统是利用半导体材料的光伏效应将太阳的辐射能转化为电能的一种发电系统。如图所示，某居民的楼顶平台安装了 SKIPIF 1 < 0 的太阳能电池板，当太阳直射时满载发电功率可达5.0kW，输出电压为380V的直流电。已知太阳直射时地面附近单位时间单位面积内的太阳能为 SKIPIF 1 < 0 ，全年发电总量相当于平均每天满载发电4小时的总量，其中30%的电能供居民自家使用，其余电能并入国家电网。下列说法正确的是（ ）
A．该居民家全年用电总量约为 SKIPIF 1 < 0
B．电池板将太阳能转化为电能的效率约为2%
C．太阳能是一种清洁、安全、不可再生的能源
D．太阳能电池板输出的电流可直接并入国家电网
【答案】B
【解析】A．该居民家全年发电总量为
SKIPIF 1 < 0
用电总量为
SKIPIF 1 < 0
故A错误；
B．太阳能电池板吸收太阳能的功率为
SKIPIF 1 < 0
电池板将太阳能转化为电能的效率约为
SKIPIF 1 < 0
故B正确；
C．太阳能是一种清洁、安全、可再生的能源，故C错误；
D．太阳能电池板输出的电流为直流，不可直接并入国家电网（交流电网），故D错误。
故选B。
【典例5】（2022·辽宁·模拟预测）如图（a）所示，一个可视为质点的小球从地面竖直上抛，小球的动能 SKIPIF 1 < 0 随它距离地面的高度 SKIPIF 1 < 0 的变化关系如图（b）所示，取小球在地面时的重力势能为零，小球运动过程中受到的空气阻力大小恒定，重力加速度为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为 SKIPIF 1 < 0
B．小球受到空气阻力的大小为 SKIPIF 1 < 0
C．上升过程中，小球的动能等于重力势能时，小球距地面的高度为 SKIPIF 1 < 0
D．下降过程中，小球的动能等于重力势能时，小球的动能大小为 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】AB．上升阶段，根据能量守恒
SKIPIF 1 < 0
下降阶段，根据能量守恒
SKIPIF 1 < 0
联立解得，小球的质量为
SKIPIF 1 < 0
小球受到空气阻力的大小为
SKIPIF 1 < 0
故AB错误；
C．上升过程中，小球的动能等于重力势能时，根据能量守恒
SKIPIF 1 < 0
解得小球距地面的高度为
SKIPIF 1 < 0
故C正确；
D．下降过程中，小球的动能等于重力势能时，设此时高度 SKIPIF 1 < 0 ，根据能量守恒
SKIPIF 1 < 0
即
SKIPIF 1 < 0
解得小球的动能大小
SKIPIF 1 < 0
不等于 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误。
故选C。
一、单选题
1.（2022·上海·模拟预测）随着能源危机的不断加剧，我们不但要合理节约常规能源，还要大力开发新能源，下列能源中属于新能源的是（ ）
A．石油B．天然气C．太阳能D．煤炭
【答案】C
【解析】常规能源是指传统的能源，包括植物秸秆和化石燃料，而石油，天然气和煤都是化石燃料，故都是常规能源故只有太阳能是新能源，故C正确。
故选C。
2．（2022·浙江·模拟预测）如图所示是工业上疏浚河道的船只。其参数性能如下表所示：
则该船只开挖一次泥沙对泥沙做的功最大约为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】依题意，根据功能关系，可得该船只开挖一次泥沙对泥沙做的功最大约为
SKIPIF 1 < 0
故选A。
3．（2021·湖北十堰·高三期中）如图所示，两个皮带轮顺时针转动，带动水平传送带以不变的速率 SKIPIF 1 < 0 运行。将质量为 SKIPIF 1 < 0 的物体 SKIPIF 1 < 0 （可视为质点）轻轻放在传送带左端，经时间 SKIPIF 1 < 0 后， SKIPIF 1 < 0 的速度变为 SKIPIF 1 < 0 ，再经过时间 SKIPIF 1 < 0 后，到达传送带右端，则整个过程（ ）
A．物体 SKIPIF 1 < 0 由传送带左端到右端的平均速度为 SKIPIF 1 < 0
B．传送带对物体 SKIPIF 1 < 0 做的功为 SKIPIF 1 < 0
C．放上物块 SKIPIF 1 < 0 后，电动机多消耗的电能为 SKIPIF 1 < 0
D．传送带与物体间摩擦而产生热量为 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】A．物体A由传送带左端到右端的平均速度
SKIPIF 1 < 0
故A错误；
B．物体从静止释放后经时间t速度变为v，对此过程，应用动能定理可得：传送带对物体A做的功
SKIPIF 1 < 0
故B错误。
C．物体从静止释放后经时间t速度变为v，此过程物体通过距离
SKIPIF 1 < 0
传送带通过距离
x2=vt
则摩擦力对物体做的功
SKIPIF 1 < 0
传送带克服物体A对它的摩擦力所做的功
W克=fx2
解得
W克＝2Wf＝mv2
故C正确。
D．传送带与物体间摩擦而产生热量
SKIPIF 1 < 0
故D错误。
故选C。
4．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，在名为“勇敢者”的课堂演示实验中，用不可伸长的轻长绳将一铁球悬挂在天花板上。一同学靠墙站立，双手拉球使其与鼻尖恰好接触，然后由静止释放铁球。若该同学保持图示姿势不变，则下列说法中正确的是（ ）
A．铁球可能会撞击该静止不动的同学B．铁球运动到最低点时处于失重状态
C．释放瞬间铁球的加速度水平向右D．释放瞬间长绳拉力小于铁球重力
【答案】D
【解析】A．铁球释放后，由于空气阻力做负功，在空中摆动过程中机械能损失，所以再次摆到左边最高点的高度低于释放点的高度，所以肯定不会撞击到该同学，A错误；
B．铁球运动到最低时，合力向上，加速度向上，处于超重状态，B错误；
C．释放瞬间，铁球在长绳拉力和重力的共同作用下沿轨迹切线方向加速，加速度方向沿轨迹切线斜向下，C错误；
D．释放瞬间，铁球在沿长绳方向合力为零，长绳的拉力等于重力沿长绳方向的分力，所以长绳拉力小于铁球重力，D正确。
故选D。
5．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）传送装置在物流快递中的应用使得分拣工作更加智能化。如图所示，水平传送带在电机的带动下，始终以速度 SKIPIF 1 < 0 沿图示方向匀速运动：一质量为m的快递件以 SKIPIF 1 < 0 的速度从左端水平滑上传送带，最终快递件与传送带共速，则快递件与传送带间由于摩擦产生的热量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】快递件与传送带相对运动过程中，做匀加速直线运动，快递件的位移
SKIPIF 1 < 0
传送带位移
SKIPIF 1 < 0
根据速度时间关系式
SKIPIF 1 < 0
根据牛顿第二定律
SKIPIF 1 < 0
由于摩擦产生的热量
SKIPIF 1 < 0
联立解得
SKIPIF 1 < 0
故选D。
6．（2022·全国·模拟预测）如图所示，水平轻质弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为 SKIPIF 1 < 0 的小物块相连，弹簧处于自然长度时，物块位于O点。将小物块向右拉到P点后由静止释放。已知弹性势能 SKIPIF 1 < 0 ，式中x为弹簧的形变量，若弹簧的劲度系数 SKIPIF 1 < 0 ，小物块与水平面间的动摩擦因数为 SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下判断错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 时，小物块将停在P点B． SKIPIF 1 < 0 时，小物块将停在P点与O点之间
C． SKIPIF 1 < 0 时，小物块将停在O点D． SKIPIF 1 < 0 时，小物块将停在P点与O点之间
【答案】D
【解析】A．若 SKIPIF 1 < 0 ，在P点释放小物块时，由于
SKIPIF 1 < 0
小物块将停在P点，A正确；
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，小物块从P点运动到O点过程中，由功能关系有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
即小物块恰好停在O点，C正确；
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，小物块将停在P点与O点之间，B正确；
D．由于 SKIPIF 1 < 0 ，小物块释放后将越过O点后继续向左运动距离 SKIPIF 1 < 0 ，由功能关系有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
若小物块能再返回O点，由功能关系有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
即小物块将停在O点，D错误。
故选D。
7.（2022·云南·富宁县第一中学高三开学考试）如图所示，一足够长的木板在光滑的水平面上以速度v向右匀速运动，现将质量为m的物体竖直向下轻轻地放置在木板上的右端，已知物体m和木板之间的动摩擦因数为μ，为保持木板的速度不变，从物体m放到木板上到它相对木板静止的过程中，须对木板施一水平向右的作用力F，那么力F对木板做功的数值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 mv2B． SKIPIF 1 < 0 mv2C．mv2D．2mv2
【答案】C
【解析】由能量转化和守恒定律可知，拉力F对木板所做的功W一部分转化为物体m的动能，一部分转化为系统内能，故
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
以上三式联立可得
SKIPIF 1 < 0
故选C。
8．（2021·广东茂名·高三阶段练习）某同学在游乐场乘坐了过山车后，对过山车所涉及的物理知识产生了兴趣，于是自己动手制作了一个过山车轨道模型，如图所示。他将质量为m的小球从倾斜轨道上的某一位置由静止释放，小球将沿着轨道运动到最低点后进入圆轨道。该同学通过测量得到圆轨道的半径为R，轨道连接处都是平滑连接，当小球的释放点距轨道最低点的高度为3R时，小球恰能通过圆轨道的最高点。已知重力加速度为g，则小球从开始释放到通过圆轨道最高点的过程中损失的机械能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．mgR
【答案】C
【解析】小球恰能通过圆轨道的最高点，则
SKIPIF 1 < 0
从开始释放到到达圆弧最高点，由能量关系
SKIPIF 1 < 0
故选C。
9．（2021·广东·高三阶段练习）如图所示，一根轻质弹簧一端固定于水平墙上，另一端系一个重物。现用手托着重物，使得弹簧处于原长状态，然后突然松开手，重物竖直落下，不计空气阻力，重物运动到最低点过程中（ ）
A．重物的机械能保持不变B．重物的机械能减少
C．重物的机械能增加D．弹簧对物块做功大于重力做功
【答案】B
【解析】A．在重物静止落下到最低点的过程中，弹簧的弹力对重物做负功，因此重物机械能不守恒，故A错误；
BC．根据功能关系，除重力外，其余力做的功等于机械能的增加量，故重物的机械能减少量等于克服弹簧弹力所做的功，物体的机械能减小，故B正确，C错误；
D．根据动能定理，重物动能变化量为零，故弹簧对物块做功等于重力做功，故D错误。
故选B。
10．（2022·山东·高三学业考试）如图甲所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率 SKIPIF 1 < 0 运行，初速度大小为 SKIPIF 1 < 0 的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带。若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v-t图象（以地面为参考系）如图乙所示。已知 SKIPIF 1 < 0 ，物块和传送带间的动摩擦因数为 SKIPIF 1 < 0 ，物块的质量为m。则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 时刻，小物块离A处的距离最大
B． SKIPIF 1 < 0 时间内，小物块的加速度方向先向右后向左
C． SKIPIF 1 < 0 时间内，因摩擦产生的热量为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 时间内，物块在传送带上留下的划痕为 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】A．初速度大小为 SKIPIF 1 < 0 的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处滑上传送带，小物块在传送带上运动的 SKIPIF 1 < 0 图象可知， SKIPIF 1 < 0 时刻，小物块离A处的距离达到最大，A错误；
B． SKIPIF 1 < 0 时间内，小物块受到的摩擦力方向一直向右，所以小物块的加速度方向一直向右，B错误；
CD． SKIPIF 1 < 0 时间内物体相对地面向左的位移
SKIPIF 1 < 0
这段时间传送带向右的位移
SKIPIF 1 < 0
因此物体相对传送带的位移
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时间内物体相对地面向右的位移
SKIPIF 1 < 0
这段时间传送带向右的位移
SKIPIF 1 < 0
因此物体相对传送带的位移
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时间内物块在传送带上留下的划痕为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 这段时间内，因此摩擦产生的热量
SKIPIF 1 < 0
C正确，D错误。
故选C。
二、多选题
11．（2022·广西·南宁二中模拟预测）如图甲所示，竖直放置的轻弹簧一端固定于风洞实验室的水平地面，质量m=0.1kg的小球在轻弹簧正上方某处由静止下落，同时受到一个竖直向上恒定的风力。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为x轴正方向，取地面为零势能参考面，在小球下落的全过程中，小球重力势能随小球位移变化关系如图乙中的图线①，弹簧弹性势能随小球位移变化关系如图乙中的图线②，弹簧始终在弹性限度范围内，取重力加速度g=10m/s2，则下列说法中正确的是（ ）
A．弹簧原长为0.6m
B．小球释放位置距地面的高度为0.7m
C．小球在下落过程受到的风力为0.2N
D．小球刚接触弹簧时的动能为0.45J
【答案】BD
【解析】A．由图乙可知，弹簧的原长为0.5m，选项A错误；
B．由图乙可知，小球处于释放位置的重力势能为0.70J，故有
SKIPIF 1 < 0
可得
SKIPIF 1 < 0
选项B正确；
C．由图乙可知小球速度减为0时小球下落
s=0.6m
根据功能关系有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
选项C错误；
D．小球刚接触弹簧时，小球下落了 SKIPIF 1 < 0 =0.5m，则根据动能定理有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
选项D正确。
故选BD。
12．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）如图甲所示，倾角为θ的斜面足够长，质量为m的物块受沿斜面向上的拉力F作用，静止在斜面中点O处，现改变拉力F的大小（方向始终沿斜面向上），物块由静止开始沿斜面向下运动，运动过程中物块的机械能E随离开O点的位移x变化关系如图乙所示，其中O～x1过程的图线为曲线x1～x2过程的图线为直线，物块与斜面间动摩擦因数为μ。物块从开始运动到位移为x2的过程中（ ）
A．O～x1过程物块的加速度在不断变大
B．物块减少的机械能等于物块克服合力做的功
C．物块减少的机械能等于物块克服摩擦力做的功
D．物块减少的机械能小于减少的重力势能
【答案】AD
【解析】BC.物块向下运动的过程中，重力做正功，拉力与摩擦力做负功，物块减少的机械能等于它克服拉力与摩擦力做功之和，故B、C错误；
D.O～x2过程由动能定理可知
WG－(WF＋Wf)＝ΔEk
由题意知ΔEk>0，而减少的重力势能等于重力功WG，所以物块减少的机械能小于减少的重力势能，故D正确；
A.由题图乙可知，O～x1过程图线的斜率逐渐减小，而
ΔE＝－(F＋μmgcsθ)·Δx
所以F＋μmgcsθ减小，物块受到的合外力mgsinθ－(F＋μmgcsθ)增大，由牛顿第二定律可知，物块的加速度增大，故A正确。
故选AD。
三、解答题
13．（2022·云南昆明·一模）传送带是自动化工业生产中一种重要的输送装置。如图所示，是一条罐头生产线部分示意图，电动机带动传送带始终以v=2m/s的速率运动，传送带两端A、B间的距离L=4m。工作时，机器手臂将一瓶罐头无初速放到A点，当该罐头刚离开B点时，机器手臂将下一瓶罐头放到A点，此后不断重复此过程。已知每瓶罐头质量m=0.8kg，与传送带间的动摩擦因数均为 SKIPIF 1 < 0 ，罐头可视为质点且不发生滚动，取重力加速度g=10m/s2。从第一瓶罐头放到A点开始计时，求∶
（1） 1min内能运送多少瓶罐头；
（2） 1min 内因运送罐头需要多消耗的电能。
【答案】（1）24；（2）76.8J
【解析】（1）罐头刚放上传送带时
SKIPIF 1 < 0
加速度
SKIPIF 1 < 0
加速运动时间
SKIPIF 1 < 0
匀加速运动位移
SKIPIF 1 < 0
匀速运动位移
SKIPIF 1 < 0
匀速运动时间
SKIPIF 1 < 0
罐头从A传到B的时间
SKIPIF 1 < 0
1min内能运送罐头的瓶数为
SKIPIF 1 < 0
（2）罐头刚放上传送带做匀加速运动时，相对于传送带的位移大小是
SKIPIF 1 < 0
摩擦力做功大小为
SKIPIF 1 < 0
即产生热量
SKIPIF 1 < 0
到达B时，动能增加量
SKIPIF 1 < 0
所以传送一瓶罐头多消耗的电能
SKIPIF 1 < 0
1min内因运送罐头需要多消耗的电能
SKIPIF 1 < 0
14.（2022·新疆喀什·高三期末）轻质弹簧原长为2L，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为L。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5L的水平轨道，B端与半径为L的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。P的质量为m，物块P与AB间的动摩擦因数 SKIPIF 1 < 0 。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度L，然后放开，P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。
（1）弹簧长度为L时的弹性势能为多少？
（2）求P到达B点时速度的大小；
（3）求它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由题意，当弹簧竖直放置且被压缩至长度为L时，对弹簧和物体组成的系统，根据机械能守恒定律可得此时弹簧的弹性势能为
SKIPIF 1 < 0 ①
（2）设P到达B点时的速度大小为 SKIPIF 1 < 0 ，由能量守恒定律可得
SKIPIF 1 < 0 ②
联立①②解得
SKIPIF 1 < 0 ③
（3）假设P可以通过D点，设其通过D点时的速度大小为vD，对P从B到D的过程，根据机械能守恒定律可得
SKIPIF 1 < 0 ④
联立③④解得
SKIPIF 1 < 0 ⑤
设P能够通过D点的最小速度为v，根据牛顿第二定律有
SKIPIF 1 < 0 ⑥
解得
SKIPIF 1 < 0 ⑦
故假设成立，则P离开D点后做平抛运动，有
SKIPIF 1 < 0 ⑧
SKIPIF 1 < 0 ⑨
联立⑤⑧⑨可得离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离为
SKIPIF 1 < 0 ⑩
15．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）如图所示，用火箭发射人造卫星，假设最后一节火箭的燃料用完后，火箭壳体和卫星一起以速度 SKIPIF 1 < 0 ，绕地球做匀速圆周运动。知卫星质量 SKIPIF 1 < 0 ，最后一节火箭壳体的质量 SKIPIF 1 < 0 ，某时刻火箭壳体与卫星分离，分离时火箭壳体的速度为 SKIPIF 1 < 0 ，方向与原方向相同，试分析计算：
（1）分离后卫星的速度是多大？
（2）卫星与火箭壳体分离过程中动能的增加量。（结果保留两位有效数字）
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）设分离时卫星速度方向为正方向，分离后卫星的速度为 SKIPIF 1 < 0 ，火箭壳体的速度为 SKIPIF 1 < 0 ，由动量守恒，有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
（2）由分析可知
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
16．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）如图所示为某商家为了吸引顾客设计的抽奖活动。4块尺寸相同的木板A、B、C、D随机排序并紧挨着放在水平地面上，木板长度均为L，质量均为m；下表面与地面间的动摩擦因数均为μ，A、B、C、D的上表面各有不同的涂层，滑块与涂层间的动摩擦因数分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 。顾客以某一水平速度 SKIPIF 1 < 0 （未知），从左侧第一块木板的左端推出一质量 SKIPIF 1 < 0 的滑块（视作质点）。从左向右数，若滑块最终停在第一、二、三、四块木板上就会分别获得四、三、二、一等奖，滑离所有木板则不获奖。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度为g。
（1）若木板全部固定，要想获奖，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若木板不固定，从左向右按照A、B、C、D的方式放置，要获得最高奖项，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
（3）若木板不固定且随机排序，当 SKIPIF 1 < 0 时，求获得三等奖的概率。
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）若木板全部固定，当滑块恰好能够滑动至D的右端时v0具有最大值，根据动能定理有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
要想获奖，v0的取值范围是
SKIPIF 1 < 0
（2）若木板不固定，从左向右按照A、B、C、D的方式放置，当滑块在A上滑动时，滑块与A之间的滑动摩擦力大小为
SKIPIF 1 < 0
A、B、C、D整体所受地面的最大静摩擦力为
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以滑块在A上滑动时，A、B、C、D均静止；
当滑块在B上滑动时，滑块与B之间的滑动摩擦力大小为
SKIPIF 1 < 0
B、C、D整体所受地面的最大静摩擦力为
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以滑块在B上滑动时，B、C、D均静止；
当滑块在C上滑动时，滑块与C之间的滑动摩擦力大小为
SKIPIF 1 < 0
C、D整体所受地面的最大静摩擦力为
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以滑块在C上滑动时，C、D将滑动，且滑块做匀减速运动，C、D整体将做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得滑块和C、D整体的加速度大小分别为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
设滑块刚滑上C时的速度大小为v1，经时间t1恰好滑到D上且与D达到共同速度v2，由于滑块与D之间的最大静摩擦力大于滑块与D整体以加速度 SKIPIF 1 < 0 做匀减速运动时滑块所受的合外力，所以滑块与D共速后将不会再相对D滑动，最终与D一起停止，此时即可获得最高奖项，对应v0具有最小值。根据运动学规律有
SKIPIF 1 < 0
根据位移关系可得
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
对滑块从刚滑上A到刚滑上C的过程，根据动能定理有
SKIPIF 1 < 0
解得
SKIPIF 1 < 0
（3）若要获得三等奖，首先要求滑块必须能够到达第二块木板上。根据能量守恒定律可知滑块的初动能一定大于滑过第一块木板所产生的摩擦热，由此分析可推知若要滑块到达第二块木板， 第一块木板不能是D，因为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 无解。
①若第一块木板为A，则
SKIPIF 1 < 0
第二块为D，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 无解。可以。
第二块为C，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 无解。可以。
第二块为B，则
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 有解。不可以。
②若第一块为B，则
SKIPIF 1 < 0
同理可判断，第二快为D、C可以，为A不可以。
③若第一块为C，则
SKIPIF 1 < 0
同理可以判断，第二块为D、A、B均可以。根据排列组合知识可知四块木板的排列方式总数为
SKIPIF 1 < 0
所以若木板不固定且随机排序当 SKIPIF 1 < 0 时，获得三等奖的概率为
SKIPIF 1 < 0
能量
功能关系
表达式
势能
重力做功等于重力势能减少量
W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做功等于弹性势能减少量
静电力做功等于电势能减少量
分子力做功等于分子势能减少量
动能
合外力做功等于物体动能变化量
W＝Ek2－Ek1＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02
机械能
除重力和弹力之外的其他力做功等于机械能变化量
W其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦
产生
的内能
一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能
Q＝Ff·x相对
电能
克服安培力做功等于电能增加量
W电能＝E2－E1＝ΔE
发动机最大功率
SKIPIF 1 < 0
最大提升高度
SKIPIF 1 < 0
单次开挖泥沙最大量
1.74吨
最大输送量
SKIPIF 1 < 0