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湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合精品习题
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这是一份湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合精品习题，文件包含湘教版2019高中数学必修第一册111《集合》练习原卷版docx、湘教版2019高中数学必修第一册111《集合》练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
题型一 集合的概念及特征
1．下列说法中正确的是（ ）
A．1与表示同一个集合
B．由1，2，3组成的集合可表示为或
C．方程的所有解的集合可表示为
D．集合可以用列举法表示
【答案】B
【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.
【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误；
对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确；
对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误；
对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误.
故选：B.
2．下列对象中不能构成一个集合的是（ ）
A．某校比较出名的教师B．方程的根
C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形
【答案】A
【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可.
【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合；
B：，方程根确定，可构成集合；
C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合；
D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合.
故选：A
3.已知集合，则集合为 .
【答案】
【分析】根据分式为正数，得出为15的因数，即可计算得出答案.
【详解】，且，
为15的因数，
或3或5或15，解得或12或10或0，
集合为.
故答案为：.
4.英文单词necessary的所有字母组成的集合共有 个元素.
【答案】7
【分析】根据英文单词necessary不同的字母和集合定义可得答案.
【详解】英文单词necessary不同的字母有n、e、c、s、a、r、y7个，
组成的集合为，共有7个元素.
故答案为：7.
题型二 元素与集合的关系
1.下列正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断.
【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误；
选项，中没有任何元素，即，则错误；
选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误；
选项，元素为集合中的元素，即，则正确；
故选：D.
2.已知集合，则与集合的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把集合A用列举法表示出来，利用元素和集合是属于或不属于的关系，就能判断选项.
【详解】
故选：B
3.若集合，，则中所有元素的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解.
【详解】当时，分别取，，，分别为，，；
当时，分别取，，，分别为，，；
当时，分别取，，，分别为，，，
故，所有元素之和为.
故选：B.
4.已知，问：三个数中，的元素是 .
【答案】
【分析】根据题意，结合元素与集合间的关系，即可求解.
【详解】令，解得，则，所以
令，解得，则，所以
令，解得，则，所以
所以是A的元素.
故答案为：.
题型三 集合的表示法
1．集合用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用不等式性质进行计算的结果
【详解】由得，则
．
故选：C
2．下列集合中有无数个元素的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案.
【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误；
对于B，因为，，则，
所以，故B错误；
对于C，，，所以，故C错误；
对于D，有无数个元素.故D正确.
故选：D.
3.已知，集合．则集合中所有元素之和为 ．
【答案】5
【分析】根据题意，求出，即可得集合中所有元素之和．
【详解】由题意，得，
则集合中所有元素之和为.
故答案为：5
4.集合用列举法表示为 .
【答案】
【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解.
【详解】时，；时，；时，；时，；
可得.
故答案为：
5．用列举法表示集合可以是 ．
【答案】
【分析】根据限制条件写出集合的元素即可.
【详解】.
故答案为：.
6．所有正偶数组成的集合是 ．
【答案】
【分析】直接根据正偶数的定义得到集合．
【详解】
所有正偶数组成的集合是．
故答案为：．
题型四 利用元素的互异性求参数
1．已知集合，且，则实数为（ ）
A．2B．3C．0或3D．
【答案】B
【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.
【详解】因为且，
所以或，
①若，此时，不满足元素的互异性；
②若，解得或3，
当时不满足元素的互异性，当时，符合题意.
综上所述，.
故选：B
2．已知，则的取值为（ ）
A．1B．1或2C．0或2D．0或1或2
【答案】C
【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解.
【详解】由元素和集合关系可知：或或，
解的或或，
由集合的性质可知，当时，不满足互异性，
所以的取值为或.
故选：C.
3．若，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合元素与集合的关系计算即可得.
【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，则，符合题意，
当时，有或，已知当时符合题意，
当时，则，符合题意，
故的取值集合为.
故选：C.
4．已知集合，若，则 ．
【答案】
【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解.
【详解】因为，且，
则或，解得.
故答案为：.
5．若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ．
【答案】且且
【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可.
【详解】解：由元素的互异性，可知，
解得:且且.
故答案为：且且.
6.已知集合.
(1)若A中只有一个元素，求的值；
(2)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)或；(2).
【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可
(2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素
的情况即可得出的取值范围
【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时，
为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素，
A中只有一个元素时或.
（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且
，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为.
1.下列关于集合相等的说法正确的有（ ）
①；②；
③；④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可.
【详解】因为，所以①正确；
因为，，所以②不正确；
因为，，故③正确；
，故④错误.
故选：C
2.(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ）
A．大于6的所有整数
B．高中数学的所有难题
C．被3除余2的所有整数
D．函数图象上所有的点
【答案】ACD
【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解.
【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合．
故选：ACD
3.非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，假设，则令，则，
令，则，
令，不存在，即，矛盾，
∴，故A对；
对于B，由题，，则
∴，故B对；
对于C，∵，，，
∵故C对；
对于D，∵，，若，则，故D错误．
故选：ABC．
4.已知集合，定义集合，则中元素的个数为（ ）
A．77B．49C．45D．30
【答案】C
【分析】根据题意作出图示表示集合A、B所表示的点，由数形结合思想可得出表示的点集的横坐标和纵坐标的范围，从而可得出中元素的个数.
【详解】，
则集合中有5个元素，即5个点，如下图中黑点所示，
集合中有25个元素（即25个点），
即下图中正方形内部及正方形边上的整点，
所以或或或或或或，共7个值；
所以或或或或或或，共7个值，
所以集合中的元素可看作下图中正方形内部及正方形边上除去四个顶点外的整点，共（个）．
故选：C.
5.集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 .
【答案】或
【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案.
【详解】由方程，则或，
当存在两个相等的实数根时，，解得，
此时方程的解为，符合题意；
当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得，
此时，则方程另一个解为，符合题意.
综上所述，当或时，集合中恰有两个元素.
故答案为：或.
6.含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 .
【答案】0
【分析】结合已知条件，利用集合元素的互异性，即可求得本题答案.
【详解】因为，且，所以，
则有，
所以，且，得，
所以，
故答案为：0
题型一 集合的概念及特征
1．下列说法中正确的是（ ）
A．1与表示同一个集合
B．由1，2，3组成的集合可表示为或
C．方程的所有解的集合可表示为
D．集合可以用列举法表示
【答案】B
【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.
【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误；
对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确；
对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误；
对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误.
故选：B.
2．下列对象中不能构成一个集合的是（ ）
A．某校比较出名的教师B．方程的根
C．不小于3的自然数D．所有锐角三角形
【答案】A
【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可.
【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合；
B：，方程根确定，可构成集合；
C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合；
D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合.
故选：A
3.已知集合，则集合为 .
【答案】
【分析】根据分式为正数，得出为15的因数，即可计算得出答案.
【详解】，且，
为15的因数，
或3或5或15，解得或12或10或0，
集合为.
故答案为：.
4.英文单词necessary的所有字母组成的集合共有 个元素.
【答案】7
【分析】根据英文单词necessary不同的字母和集合定义可得答案.
【详解】英文单词necessary不同的字母有n、e、c、s、a、r、y7个，
组成的集合为，共有7个元素.
故答案为：7.
题型二 元素与集合的关系
1.下列正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断.
【详解】选项，不是的元素，即不成立，则错误；
选项，中没有任何元素，即，则错误；
选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误；
选项，元素为集合中的元素，即，则正确；
故选：D.
2.已知集合，则与集合的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把集合A用列举法表示出来，利用元素和集合是属于或不属于的关系，就能判断选项.
【详解】
故选：B
3.若集合，，则中所有元素的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解.
【详解】当时，分别取，，，分别为，，；
当时，分别取，，，分别为，，；
当时，分别取，，，分别为，，，
故，所有元素之和为.
故选：B.
4.已知，问：三个数中，的元素是 .
【答案】
【分析】根据题意，结合元素与集合间的关系，即可求解.
【详解】令，解得，则，所以
令，解得，则，所以
令，解得，则，所以
所以是A的元素.
故答案为：.
题型三 集合的表示法
1．集合用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用不等式性质进行计算的结果
【详解】由得，则
．
故选：C
2．下列集合中有无数个元素的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案.
【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误；
对于B，因为，，则，
所以，故B错误；
对于C，，，所以，故C错误；
对于D，有无数个元素.故D正确.
故选：D.
3.已知，集合．则集合中所有元素之和为 ．
【答案】5
【分析】根据题意，求出，即可得集合中所有元素之和．
【详解】由题意，得，
则集合中所有元素之和为.
故答案为：5
4.集合用列举法表示为 .
【答案】
【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解.
【详解】时，；时，；时，；时，；
可得.
故答案为：
5．用列举法表示集合可以是 ．
【答案】
【分析】根据限制条件写出集合的元素即可.
【详解】.
故答案为：.
6．所有正偶数组成的集合是 ．
【答案】
【分析】直接根据正偶数的定义得到集合．
【详解】
所有正偶数组成的集合是．
故答案为：．
题型四 利用元素的互异性求参数
1．已知集合，且，则实数为（ ）
A．2B．3C．0或3D．
【答案】B
【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.
【详解】因为且，
所以或，
①若，此时，不满足元素的互异性；
②若，解得或3，
当时不满足元素的互异性，当时，符合题意.
综上所述，.
故选：B
2．已知，则的取值为（ ）
A．1B．1或2C．0或2D．0或1或2
【答案】C
【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解.
【详解】由元素和集合关系可知：或或，
解的或或，
由集合的性质可知，当时，不满足互异性，
所以的取值为或.
故选：C.
3．若，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合元素与集合的关系计算即可得.
【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，则，符合题意，
当时，有或，已知当时符合题意，
当时，则，符合题意，
故的取值集合为.
故选：C.
4．已知集合，若，则 ．
【答案】
【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系结合集合的互异性分析求解.
【详解】因为，且，
则或，解得.
故答案为：.
5．若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ．
【答案】且且
【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可.
【详解】解：由元素的互异性，可知，
解得:且且.
故答案为：且且.
6.已知集合.
(1)若A中只有一个元素，求的值；
(2)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)或；(2).
【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可
(2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素
的情况即可得出的取值范围
【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时，
为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素，
A中只有一个元素时或.
（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且
，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为.
1.下列关于集合相等的说法正确的有（ ）
①；②；
③；④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可.
【详解】因为，所以①正确；
因为，，所以②不正确；
因为，，故③正确；
，故④错误.
故选：C
2.(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ）
A．大于6的所有整数
B．高中数学的所有难题
C．被3除余2的所有整数
D．函数图象上所有的点
【答案】ACD
【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解.
【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合．
故选：ACD
3.非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，假设，则令，则，
令，则，
令，不存在，即，矛盾，
∴，故A对；
对于B，由题，，则
∴，故B对；
对于C，∵，，，
∵故C对；
对于D，∵，，若，则，故D错误．
故选：ABC．
4.已知集合，定义集合，则中元素的个数为（ ）
A．77B．49C．45D．30
【答案】C
【分析】根据题意作出图示表示集合A、B所表示的点，由数形结合思想可得出表示的点集的横坐标和纵坐标的范围，从而可得出中元素的个数.
【详解】，
则集合中有5个元素，即5个点，如下图中黑点所示，
集合中有25个元素（即25个点），
即下图中正方形内部及正方形边上的整点，
所以或或或或或或，共7个值；
所以或或或或或或，共7个值，
所以集合中的元素可看作下图中正方形内部及正方形边上除去四个顶点外的整点，共（个）．
故选：C.
5.集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 .
【答案】或
【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案.
【详解】由方程，则或，
当存在两个相等的实数根时，，解得，
此时方程的解为，符合题意；
当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得，
此时，则方程另一个解为，符合题意.
综上所述，当或时，集合中恰有两个元素.
故答案为：或.
6.含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 .
【答案】0
【分析】结合已知条件，利用集合元素的互异性，即可求得本题答案.
【详解】因为，且，所以，
则有，
所以，且，得，
所以，
故答案为：0
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